11: Transformadas Discretas de Fourier

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 124955

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

La Transformada Discreta de Fourier (DFT) es una versión discretizada de la transformada de Fourier, la cual es ampliamente utilizada en simulación y análisis numéricos. Dado un conjunto de\(N\) números\(\{f_0, f_1, \dots, f_{N-1}\}\), el DFT produce otro conjunto de\(N\) números\(N\) números\(\{F_0, F_1, \dots, F_{N-1}\}\), definidos de la siguiente manera:

\[\mathrm{DFT}\Big\{f_0, f_1, \dots, f_{N-1}\Big\} = \Big\{F_0, F_1, \dots, F_{N-1}\Big\} \qquad\mathrm{where}\quad F_n = \sum_{m=0}^{N-1} e^{-2\pi i \frac{mn}{N}}\, f_m.\]

La inversa de esta transformación es la Transformada Discreta Inversa de Fourier (IDFT):

\[\mathrm{IDFT}\Big\{F_0, F_1, \dots, F_{N-1}\Big\} = \Big\{f_0, f_1, \dots, f_{N-1}\Big\} \qquad\mathrm{where}\quad f_m = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{2\pi i \frac{mn}{N}}\, F_n.\]

La relación inversa entre la DFT y la IDFT es sencilla de probar, mediante el uso de la identidad

\[\sum_{m=0}^{N-1} e^{\pm 2\pi i \frac{m(n-n')}{N}} = N \delta_{nn'},\]

donde\(\delta_{nn'}\) denota el delta de Kronecker. Esta identidad se deriva de la fórmula geométrica de la serie.