6.4: Valores de expectativa, observables e incertidumbre

Un electrón está atrapado en un pozo de potencial infinito unidimensional de longitud L. Encuentra los valores de expectativa de la posición e impulso del electrón en el estado fundamental de este pozo. Demostrar que las incertidumbres en estos valores no violan el principio de incertidumbre.

Imagínese que un electrón quedó atrapado en el pozo descrito anteriormente y medimos repetidamente su ubicación en el pozo. Debido a la naturaleza de onda del electrón, obtendríamos diferentes valores para estas posiciones pero, después de muchas mediciones, podríamos promediar estos valores para determinar el valor de expectativa de la posición del electrón.
Puede que tengas la tentación de referirte a esto como el valor promedio de la posición del electrón, pero si tomas en serio la naturaleza ondulada del electrón, y deberías, el electrón no tiene una posición hasta que se mide, por lo que no tiene sentido referirse al valor promedio de algo que ¡ni siquiera existe! Lo que estás promediando son tus mediciones de la posición del electrón, no de su posición preexistente. Para evitar este acertijo metafísico, llamaremos al valor que más probablemente esperemos para medir el valor de expectativa de la variable.
El valor de expectativa de la posición (dado por el símbolo<x>) puede ser determinado por un promedio ponderado simple del producto de la probabilidad de encontrar el electrón en una determinada posición y la posición, o
\[\begin{align} & <x> = \int_0^L x \text{Prob}(x)dx \\ & <x> = \int_0^L (\Psi(x))x(\Psi(x))dx \end{align}\]

Lo que te puede parecer algo extraño es por qué coloqué el factor de x entre los dos factores de la función de onda. Matemáticamente, no importa dónde coloque la x, pero resulta que para otras variables la colocación de la variable de interés debe estar “entre” las dos funciones de onda. Antes de explorar por qué es así, terminemos el cálculo.
\[\begin{align} & <x> = \int_0^L \bigg ( \sqrt{ \frac{2}{L} } \sin \bigg( \frac{n\pi x}{L} \bigg ) x \bigg ( \sqrt{ \frac{2}{L} } \sin \bigg( \frac{n\pi x}{L} \bigg ) dx \\ \nonumber & <x> = \frac{2}{L} \int_0^L x \sin^2 \bigg( \frac{\pi x}{L} \bigg )dx \end{align}\]

Esta integral pide una sustitución en U de:
\[ u = \frac{\pi x}{L} \]

\[\begin{align} &<x> = \frac{2}{L} \int_0^\pi \bigg( \frac{2}{L} u \bigg ) \sin^2(u) \bigg ( \frac{L}{\pi}du \bigg ) \\ \nonumber & <x> = \frac{2L}{\pi^2} \int_0^\pi u \sin^2(u) du \\ \nonumber & <x> = \frac{2L}{\pi^2} \frac{\pi^2}{4} \\ \nonumber & <x> = \frac{L}{2} \end{align}\]

Estoy de acuerdo en que esto parece una cantidad estúpida de trabajo solo para determinar que el valor de expectativa de la posición de una partícula en un pozo infinito está en el centro del pozo, pero siempre es agradable a la hora de aprender una nueva técnica matemática para aplicarla a una situación en que ya conoces la respuesta.

Ahora pasemos al valor de expectativa del impulso del electrón. Deberías estar tentado a escribir:

\[ < p > = \int_0^L ( \Psi(x)) p ( \Psi(x))dx \]

El único problema con esto, por supuesto, es que tenemos que expresar el impulso del electrón en términos de su posición para poder hacer lo integral. ¿Cómo podemos hacer eso? Bueno, el impulso del electrón está relacionado (por DeBroglie) con su longitud de onda, y la longitud de onda depende de cuán “curvilínea” esté la función de onda en cualquier punto, y la “curva” de la función ondulada está relacionada con la derivada espacial de la función de onda. Así,
\[ p \propto \frac{d}{dx} \]
no para ponernos demasiado filosóficos aquí, sino en la mecánica cuántica todo lo que existe es la función de onda. Todo lo que es observable en la naturaleza debe de alguna manera ser extraído de la función de onda. Esto significa que cantidades como el impulso solo pueden determinarse manipulando la función de onda es de alguna manera, en este caso tomando una derivada espacial. Así, cantidades como momentum (o energía cinética) están representadas no por las “fórmulas” con las que estás familiarizado de la mecánica clásica sino por operadores matemáticos, básicamente acciones que se deben tomar sobre la función de onda para exprimir de ella la información que te interesa. Es por ello que la colocación de la variable en la fórmula para valores de expectativa es tan importante. El operador de momentum actúa sobre una “copia” de la función de onda, y luego el resultado se multiplica por la otra “copia” y luego se integra sobre todo el espacio. Estamos casi listos para hacer esto, pero primero necesitamos completar la descripción del operador de impulso.

Si recuerdan desde arriba, demostré que la ecuación de Schrödinger es consistente con la idea de conservación de energía:

\[ - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) + U(x) \Psi(x) = E \Psi(x) \]

\[\frac{p^2}{2m} + U(x) = E\]

La comparación cuidadosa de estas dos relaciones lleva a la conclusión de que el operador que representa el impulso puede ser,

\[ p = i \hbar{d}{dx}\]

donde

\[ i = \sqrt{-1}\]

Así, si quieres determinar el impulso de una función de onda, debes tomar una derivada espacial y luego multiplicar el resultado por —ih. ¿Debería preocuparse de que esto implique que el impulso no es “real”? La respuesta corta es no.

Determinemos el valor de expectativa del impulso del electrón:
\[\begin{align} & < p > = \int_0^L \bigg ( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin ( \frac{\pi x}{L}\bigg ) \bigg ) \bigg ( - i \hbar \frac{d}{dx} \bigg ( \sqrt{ \frac{2}{L}} \sin \bigg ( \frac{\pi x}{L} \bigg ) \bigg ) dx \\ \nonumber &< p > = -i\hbar \frac{2}{L} \int_0^L \sin \bigg( \frac{\pi x}{L} \bigg) \bigg ( \frac{\pi}{L} \cos \bigg( \frac{\pi x}{L} \bigg)\bigg)dx \\ \nonumber &<p> = -i\hbar 2\pi \frac{2}{L} \int_0^L \sin \bigg( \frac{\pi x}{L} \bigg) \cos \bigg( \frac{\pi x}{L} \bigg)dx \\ \nonumber &<p> = -ih\int_0^\pi \sin(u)\cos(u) \bigg( \frac{L}{\pi} du \bigg) \\ \nonumber &<p> = -ih\frac{L}{\pi}\int_0^\pi \sin(u)\cos(u)du \\ \nonumber &<p> = -ih \frac{L}{\pi} \int_0^\pi \frac{1}{2} \sin(2u)du \\ \nonumber & <p> = -ih \frac{L}{\pi} (0) \\ \nonumber &<p> = 0 \end{align}\]

Entonces, ¿el valor esperado del impulso de una partícula en un pozo cuadrado infinito es cero? ¡Por supuesto que lo es! Los niveles de energía permitidos en un pozo pueden considerarse como las ondas estacionarias que “encajan” en el pozo. Toda la idea de una onda estacionaria es que no hay flujo neto de energía (o impulso) en ninguna dirección. ¡Por eso lo llamamos onda estacionaria!

Ahora, ¿qué pasa con las incertidumbres en estos valores? Obviamente, cada vez que medimos la posición del electrón no estará en el centro del pozo (igual de probable a la derecha y a la izquierda) y cada vez que medimos el impulso de la partícula no estará en reposo (igual de probable que se “mueva” hacia la derecha o hacia la izquierda). La incertidumbre en estos valores te da una idea del spread en posibles medidas que debes esperar si realizaste un gran número de mediciones. Esta idea de la propagación en una recopilación de datos es simplemente la idea de la desviación estándar.
Matemáticamente, la desviación estándar de un conjunto de datos de posición está determinada por
\[ \sigma_x = \sqrt{<x^2> - <x>^2}\]
es decir, la diferencia entre el valor de expectativa del cuadrado de x y el valor de expectativa de x cuadrado. Así, para encontrar la incertidumbre en la posición, necesitamos el valor de expectativa de x2:
\[ \begin{align} & <x^2> = \int_0^L \bigg( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \bigg( \frac{\pi x}{L} \bigg) \bigg ) x^2 \bigg( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\bigg(\frac{\pi x}{L}\bigg)\bigg)dx \\ \nonumber & <x^2> = \frac{2}{L} \int_0^L x^2 \sin^2 \bigg( \frac{\pi x}{L} \bigg) dx \\ \nonumber &<x^2> = \frac{2}{L}\int_0^\pi \bigg( \frac{L}{\pi} u\bigg)^2 \sin^2(u) \bigg( \frac{L}{\pi} du \bigg) \\ \nonumber &<x^2> = \frac{2L^2}{\pi^3} \int_0^\pi u^2 \sin^2(u) du \\ \nonumber &<x^2> = \frac{2L^2}{\pi^3} \bigg( \frac{\pi^3}{6} - \frac{\pi}{4} \bigg) \\ \nonumber &<x^2> = 0.283 L^2 \end{align}\]

Entonces la incertidumbre en la posición es:
\[\begin{align} & \sigma_x = \sqrt{0.283L^2 - (0.5L)^2} \\ \nonumber & \sigma_x = \sqrt{0.283L^2 - 0.25L^2} \\ \nonumber &\sigma_x = 0.182L \end{align}\]

La incertidumbre en el impulso es:
\[ \sigma_p = \sqrt{<p^2> - <p>^2} \]
y el valor de expectativa de p2 es:
\[\begin{align} & <p^2> = \int_0^L \bigg(\sqrt{\frac{2}{L}}\bigg)\sin bigg( \frac{\pi x}{L}\bigg) \bigg) \bigg( - \hbar^2 \frac{d^2}{dx^2}\bigg(\sqrt{\frac{2}{L}}\bigg) \sin bigg( \frac{\pi x}{L} \bigg) \bigg) \\ \nonumber & <p^2> = -\hbar^2 \frac{2}{L} \int_0^L \sin\bigg( \frac{\pi x}{L}\bigg) \bigg( - \frac{\pi^2}{L^2}\sin\bigg(\frac{\pi x}{L}\bigg)\bigg)dx \\ \nonumber & <p^2> = \frac{2\pi^2 \hbar^2}{L^3} \int_0^L \sin^2 \bigg( \frac{\pi x}{L} \bigg) dx \\ \nonumber & <p^2> = \frac{2\pi \hbar^2}{L^2} \int_0^\pi \sin^2 (u) \bigg( \frac{L}{\pi} du \bigg) \\ \nonumber &<p^2> = <p^2> = \frac{2\pi \hbar^2}{L^2} \int_0^\pi \sin^2 (u) du \\ \nonumber &<p^> = \frac{2\pi \hbar^2}{L^2} \bigg( \frac{\pi}{2}\bigg) \\ \nonumber & <p^2> = \frac{\pi^2 \hbar^2}{L^2} \\ \nonumber & <p^2> = \frac{h^2}{4L^2} \end{align}\]

¿Este resultado le resulta familiar? De no ser así, compárela con la energía del estado base...

Entonces la incertidumbre en el impulso es:
\[ \begin{align} & \sigma_p = \sqrt{\bigg( \frac{h^2}{4L^2}\bigg) - (0)^2} \\ \nonumber & \sigma_p = \frac{h}{2L} \end{align}\]

Obsérvese que la incertidumbre en el impulso es en realidad igual al valor absoluto del impulso. (El electrón tiene una longitud de onda de 2L, por lo que la expresión anterior es en realidad solo la relación de DeBroglie para el impulso del electrón). Esto puede interpretarse como el electrón que tiene una magnitud de impulso de H/2L pero que tiene una dirección desconocida para este impulso. Así el impulso es:
\[ p = 0 \pm \frac{h}{2L} \]

Por último, podemos verificar que la incertidumbre en la posición y el impulso son consistentes con el principio de incertidumbre: ¡
\[ \begin{align} & \sigma_x\sigma_p \geq \hbar/2 (0.182 \text{ L}) \bigg( \frac{h}{2L}\bigg) \geq \frac{h}{4\pi} \\ \nonumber & 0.091 h \geq 0.080 h \end{align} \]
Heisenberg puede dormir tranquilo ya que el estado fundamental del pozo infinito no muestra violación de su principio!