1.3: Desintegración radiactiva

La desintegración radiactiva es el proceso en el que un núcleo inestable pierde energía espontáneamente al emitir partículas ionizantes y radiación. Esta decadencia, o pérdida de energía, da como resultado un átomo de un tipo, llamado nucleido padre, transformándose en un átomo de otro tipo, llamado el nucleido hijo.

Los tres modos principales de desintegración se denominan desintegraciones alfa, beta y gamma. Estudiaremos sus diferencias y mecanismos exactos más adelante en la clase. Sin embargo, estos modos de decaimiento comparten alguna característica común que describimos ahora. Lo que describen estas desintegraciones radiactivas son fundamentalmente procesos cuánticos, es decir, transiciones entre dos estados cuánticos. Así, la desintegración radiactiva es de naturaleza estadística, y solo podemos describir la evolución de los valores de expectativa de cantidades de interés, por ejemplo el número de átomos que se descomponen por unidad de tiempo. Si observamos un solo núcleo inestable, no podemos saber a priori cuándo decaerá a su nucleido hijo. El momento en que ocurre la decadencia es aleatorio, así en cada instante podemos tener el nucleido padre con cierta probabilidad p y la hija con probabilidad 1 − p. Este proceso estocástico sólo puede describirse en términos de la evolución mecánica cuántica del núcleo. Sin embargo, si observamos un conjunto de núcleos, podemos predecir en cada instante el número promedio de nucleidos padre e hija.

Si llamamos N al número de núcleos radiactivos, el número de átomos en descomposición por unidad de tiempo es dN/dt. Se encuentra que esta tasa es constante en el tiempo y es proporcional al número de núcleos mismos:

\[\boxed{ \frac{d N}{d t}=-\lambda N(t)} \nonumber\]

La constante de proporcionalidad λ se llama constante de decaimiento. También podemos reescribir la ecuación anterior como

\[\lambda=-\frac{d N / d t}{N} \nonumber\]

donde el RHS es la probabilidad por unidad de tiempo para que un átomo se descomponga. El hecho de que esta probabilidad sea una constante es una característica de toda la desintegración radiactiva. También conduce a la ley exponencial de la desintegración radiactiva:

\[N(t)=N(0) e^{-\lambda t} \nonumber\]

También podemos definir la vida media

\[\boxed{\tau=1 / \lambda} \nonumber\]

y la vida media

\[\boxed{t_{1 / 2}=\ln (2) / \lambda} \nonumber\]

que es el tiempo que tarda la mitad de los átomos en descomponerse, y la actividad

\[\mathcal{A}(t)=\lambda N(t) \nonumber\]

Ya que también se\( \mathcal{A}\) puede obtener como\(\left|\frac{d N}{d t}\right|\), la actividad se puede estimar a partir del número de desintegraciones ΔN durante un pequeño tiempo δt tal que\(\delta t \ll t_{1 / 2}\).

Una situación común ocurre cuando el nucleido hijo también es radiactivo. Entonces tenemos una cadena de desintegraciones radiactivas, cada una regida por sus leyes de desintegración. Por ejemplo, en una cadena\(N_{1} \rightarrow N_{2} \rightarrow N_{3}\), la decadencia de N ₁ y N ₂ viene dada por:

\[d N_{1}=-\lambda_{1} N_{1} d t, \quad d N_{2}=+\lambda_{1} N_{1} d t-\lambda_{2} N_{2} d t \nonumber\]

Otra característica común de las desintegraciones radiactivas es que son una vía para que los núcleos inestables alcancen una configuración más energéticamente favorable (por lo tanto, estable). En las depresiones α y β, un núcleo emite una partícula α o β, tratando de acercarse al nucleido más estable, mientras que en la desintegración γ un estado excitado decae hacia el estado fundamental sin cambiar las especies nucleares.

Decaimiento alfa

Si volvemos a la gráfica de energía de unión por número de masa (B/A vs. A) vemos que hay una protuberancia (un pico) para A ∼ 60 − 100. Esto significa que hay un mínimo correspondiente (u óptimo de energía) alrededor de estos números. Entonces los núcleos más pesados querrán descomponerse hacia estos nucleidos más ligeros, al arrojar algunos protones y neutrones. Más específicamente, la disminución de la energía de unión a A alta se debe a la repulsión de Coulomb. La repulsión de Coulomb crece de hecho como Z ², mucho más rápido que la fuerza nuclear que es ∝ A.

Esto podría pensarse como un proceso similar a lo que ocurre en el proceso de fisión: a partir de un nucleido padre, se crean dos nucleidos hijos. En el decaimiento α tenemos específicamente:

\[{ }_{Z}^{A} X_{N} \longrightarrow{ }_{Z-2}^{A-4} X_{N-2}^{\prime}+\alpha \nonumber\]

donde α es el núcleo de He-4:\({ }_{2}^{4} \mathrm{He}_{2}\).

La desintegración α debería estar compitiendo con otros procesos, como la fisión en nucleidos hijos iguales, o en pares que incluyen ¹² C y ¹⁶ O que tienen B/A más grande que α. Sin embargo, la desintegración α suele ser favorecida. Para entender esto, comenzamos por mirar la energía de la decadencia, pero necesitaremos estudiar el origen cuántico de la decadencia para llegar a una explicación completa.

Figura\(\PageIndex{1}\): Esquemas de desintegración alfa. (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Energética

Al analizar una desintegración radiactiva (o cualquier reacción nuclear) una cantidad importante es Q, la energía neta liberada en la desintegración:\(Q=\left(m_{X}-m_{X^{\prime}}-m_{\alpha}\right) c^{2} \). Esto también es igual a la energía cinética total de los fragmentos, aquí\( Q=T_{X^{\prime}}+T_{\alpha}\) (aquí asumiendo que el nucleido parental está en reposo).

Cuando se libera energía Q > 0 en la reacción nuclear, mientras que para Q < 0 necesitamos proporcionar energía para que la reacción suceda. Al igual que en la química, esperamos que la primera reacción sea una reacción espontánea, mientras que la segunda no ocurre en la naturaleza sin intervención. (La primera reacción es exo-energética la segunda endo-energética). Observe que no es casualidad que se llame Q. En la práctica dados algunos reactivos y productos, Q dan la calidad de la reacción, es decir, cuán energéticamente favorable, de ahí probable, es. Por ejemplo en la desintegración alfa\(\log \left(t_{1 / 2}\right) \propto \frac{1}{\sqrt{Q_{\alpha}}} \), que es la regla Geiger-Nuttall (1928).

La partícula alfa se lleva la mayor parte de la energía cinética (ya que es mucho más ligera) y al medir esta energía cinética experimentalmente es posible conocer las masas de nucleidos inestables. Podemos calcular Q usando el SEMF. Entonces:

\[Q_{\alpha}=B\left(\begin{array}{c} {}^{A-4}_{Z-2} \end{array} X_{N-2}^{\prime}\right)+B\left({ }^{4} H e\right)-B\left({ }_{Z}^{A} X_{N}\right)=B(A-4, Z-2)-B(A, Z)+B\left({ }^{4} H e\right) \nonumber\]

Podemos aproximar la diferencia finita con el gradiente relevante:

\ [\ begin {array} {c}
Q_ {\ alpha} = [B (A-4, Z-2) -B (A, Z-2)] + [B (A, Z-2) -B (A, Z)] +B\ izquierda ({} ^ {4} H e\ derecha)\ aprox=-4\ frac {\ parcial B} {\ parcial A} -2\ frac {parcial\} {\ Z parcial} +B\ izquierda ({} ^ {4} H e\ derecha)\\
\ quad=28.3-4 a_ {v} +\ frac {8} {3} a_ {s} A^ {-1/3} +4 a_ {c}\ izquierda (1-\ frac {Z} {3 A}\ derecha )\ izquierda (\ frac {Z} {A^ {1/3}}\ derecha) -4 a_ {\ text {sym}\ left (1-\ frac {2 Z} {A} +3 a_ {p} A^ {-7/4}\ derecha) ^ {2}
\ end {array}\ nonumber\]

Ya que estamos viendo núcleos pesados, sabemos que Z ≈ 0.41A (en lugar de Z ≈ A/2) y obtenemos

\[Q_{\alpha} \approx-36.68+44.9 A^{-1 / 3}+1.02 A^{2 / 3}, \nonumber\]

donde el segundo término proviene de la contribución superficial y el último término es el término Coulomb (descuidamos el término de emparejamiento, ya que a priori no sabemos si una _p es cero o no).

Entonces, el término Coulomb, aunque pequeño, hace que Q aumente en general A. Encontramos que Q ≥ 0 para\(A \gtrsim 150\), y es Q ≈ 6MeV para A = 200. Aunque Q > 0, encontramos experimentalmente que la desintegración α solo surge para A ≥ 200.

Además, tomemos por ejemplo Francio-200\(\left(\begin{array}{ll} {}^{200}_{87} \end{array} \operatorname{Fr}_{113}\right)\). Si calculamos\(Q_{\alpha}\) a partir de las diferencias de masa encontradas experimentalmente obtenemos\( Q_{\alpha} \approx 7.6 \mathrm{MeV}\) (el producto es ¹⁹⁶ At.) Podemos hacer el mismo cálculo para el hipotético decaimiento en un ¹² C y fragmento restante\(\left(\begin{array}{l} {}^{188}_{81} \end{array} \mathrm{Tl}_{107}\right)\):

\[Q_{{}^{12}C}=c^{2}\left[m\left(\begin{array}{c} {}^{A}_{Z} \end{array} X_{N}\right)-m\left(\begin{array}{c} {}^{A-12}_{Z-6} \end{array} X_{N-6}^{\prime}\right)-m\left({ }^{12} C\right)\right] \approx 28 M e V \nonumber\]

Así, esta segunda reacción parece ser más energética, de ahí más favorable que la desintegración alfa, sin embargo no ocurre (se han observado algunas depresiones que involucran a C-12, pero sus proporciones de ramificación son mucho menores).

Por lo tanto, mirar solo la energía de la decadencia no explica algunas preguntas que rodean la desintegración alfa:

• ¿Por qué no hay ¹² Cdecay? (o a algunos de estos nucleidos fuertemente unidos, por ejemplo O-16, etc.)
• ¿Por qué no hay fisión espontánea en hijas iguales?
• ¿Por qué hay desintegración alfa solo para A ≥ 200?
• ¿Cuál es la explicación de la regla Geiger-Nuttall? \( \log t_{1 / 2} \propto \frac{1}{\sqrt{Q_{\alpha}}}\)

Decaimiento beta

La desintegración beta es una desintegración radiactiva en la que un protón en un núcleo se convierte en un neutrón (o viceversa). Así A es constante, pero Z y N cambian en 1. En el proceso el núcleo emite una partícula beta (ya sea un electrón o un positrón) y una partícula casi sin masa, el neutrino

Figura\(\PageIndex{2}\): Esquemas de desintegración beta (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Hay 3 tipos de desintegración beta:

\[{ }_{Z}^{A} X_{N} \rightarrow{ }_{Z+1}^{A} X_{N-1}^{\prime}+e^{-}+\bar{\nu} \nonumber\]

Esta es la\(\beta^{-} \) decadencia (o decaimiento beta negativo). La reacción subyacente es:

\[n \rightarrow p+e^{-}+\bar{\nu} \nonumber\]

que corresponde a la conversión de un protón en un neutrón con la emisión de un electrón y un antineutrino. Hay otros dos tipos de reacciones, la\( \beta^{+}\) reacción,

\[{}^{A}_{Z} X_{N} \rightarrow{ }_{Z-1}^{A} X_{N+1}^{\prime}+e^{+}+\nu \quad \Longleftrightarrow \quad p \rightarrow n+e^{+}+\nu \nonumber\]

que ve la emisión de un positrón (el electrón anti-partícula) y un neutrino; y la captura de electrones:

\[{}^{A}_{Z} X_{N}+e^{-} \rightarrow{ }_{Z-1}^{A} X_{N+1}^{\prime}+\nu \quad \Longleftrightarrow \quad p+e^{-} \rightarrow n+\nu \nonumber\]

un proceso que compite con, o sustituya, la emisión de positrones.

Recordemos la masa de nucleido dada por la fórmula de masa semiempírica. Si mantenemos fijo A, el SEMF da la energía de enlace en función de Z. El único término que depende explícitamente de Z es el término Coulomb. Por inspección vemos que B ∝ Z ². Entonces del SEMF tenemos que las masas de posibles nucleidos con el mismo número de masa yacen sobre una parábola. Los nucleidos más bajos en la parábola tienen M más pequeños y, por lo tanto, son más estables. Para alcanzar ese mínimo, los nucleidos inestables se someten a un proceso de descomposición para transformar el exceso de protones en neutrones (y viceversa).

Figura\(\PageIndex{3}\): Cadena de Masa Nuclear para A=125, (izquierda) y A=128 (derecha). (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

La desintegración beta es el proceso de desintegración radiactiva que puede convertir protones en neutrones (y viceversa). Estudiaremos más a fondo este mecanismo, pero aquí queremos simplemente señalar cómo este proceso puede ser energéticamente favorable, y así podemos predecir qué transiciones es probable que se produzcan, con base únicamente en el SEMF.

Por ejemplo, para A = 125 si Z < 52 we have a favorable n → p conversion (beta decay) while for Z > 52 tenemos p → n (o decaimiento beta de positrones), de manera que el nucleido estable es Z = 52 (telurio).

Leyes de conservación

Como el neutrino es difícil de detectar, inicialmente la desintegración beta pareció violar la conservación de energía. La introducción de una partícula extra en el proceso permite respetar la conservación de energía.

El valor Q de una desintegración beta viene dado por la fórmula habitual:

\[Q_{\beta^{-}}=\left[m_{N}\left({ }^{A} X\right)-m_{N}\left({ }_{Z+1}^{A} X^{\prime}\right)-m_{e}\right] c^{2} . \nonumber\]

Usando las masas atómicas y descuidando las energías de unión del electrón como de costumbre tenemos

\[Q_{\beta^{-}}=\left\{\left[m_{A}\left({ }^{A} X\right)-Z m_{e}\right]-\left[m_{A}\left({ }_{Z+1}^{A} X^{\prime}\right)-(Z+1) m_{e}\right]-m_{e}\right\} c^{2}=\left[m_{A}\left({ }^{A} X\right)-m_{A}\left({ }_{Z+1}^{A} X^{\prime}\right)\right] c^{2}. \nonumber\]

La energía cinética (igual a la Q) es compartida por el neutrino y el electrón (descuidamos cualquier retroceso del núcleo masivo). Entonces, el electrón emergente (recuerden, la única partícula que realmente podemos observar) no tiene una energía fija, como lo fue por ejemplo para el fotón gamma. Pero exhibirá un espectro de energía (o el número de electrones a una energía dada) así como una distribución de momenta. Veremos cómo podemos reproducir estas gráficas mediante el análisis de la teoría QM de la desintegración beta.

Ejemplos

\[ { }_{29}^{64} \mathrm{Cu}_{\searrow}^{\nearrow} \begin{array}{cc} { }_{30}^{64} \mathrm{Zn}+e^{-}+\bar{\nu}, & Q_{\beta}=0.57 \ \mathrm{MeV} \\ { }_{28}^{64} \mathrm{Ni}+e^{+}+\nu, & Q_{\beta}=0.66 \ \mathrm{MeV} \end{array} \nonumber\]

El neutrino y la partícula beta (\(\beta^{\pm}\)) comparten la energía. Dado que los neutrinos son muy difíciles de detectar (como veremos son casi sin masa e interactúan muy débilmente con la materia), los electrones/positrones son las partículas detectadas en la desintegración beta y presentan un espectro energético característico (ver Fig. \(\PageIndex{4}\)).

La diferencia entre el espectro de las\(\beta^{\pm}\) partículas se debe a la repulsión o atracción de Coulomb desde el núcleo.

© Neil Spooner. Todos los derechos reservados. Este contenido está excluido de nuestra licencia Creative Commons. Para obtener más información, consulte http://ocw.mit.edu/fairuse.

Figura\(\PageIndex{4}\): Espectros de decaimiento beta: Distribución del momento (parcelas superiores) y energía cinética (abajo) para decaimiento\(\beta^{-}\) (izquierda) y\(\beta^{+}\) (derecha).

Observe que los neutrinos también se llevan el momento angular. Son partículas spin-1/2, sin carga (de ahí el nombre) y de masa muy pequeña. Durante muchos años en realidad se creía que tenía masa cero. No obstante se ha confirmado que sí tiene una masa en 1998.

Otras cantidades conservadas son:

• Momentum: El impulso también se comparte entre el electrón y el neutrino. Por lo tanto, el momento de los electrones observado varía de cero a una transferencia de impulso máxima posible.
• Momento angular (tanto el electrón como el neutrino tienen spin 1/2)
• ¿Paridad? Resulta que la paridad no se conserva en esta decadencia. Esto insinúa que la interacción responsable viola la conservación de la paridad (por lo que no pueden ser las mismas interacciones que ya estudiamos, e.m. e interacciones fuertes)
• Carga (así la creación de un protón es, por ejemplo, siempre acompañada de la creación de un electrón)
• Número de Lepton: no conservamos el número total de partículas (creamos beta y neutrinos). Sin embargo, se conserva el número de partículas masivas y pesadas (o bariones, compuestas por 3 quarks). También se conserva el número de leptón. Los leptones son partículas fundamentales (incluyendo el electrón, muón y tau, así como los tres tipos de neutrinos asociados a estos 3). El número de leptones es +1 para estas partículas y -1 para sus antipartículas. Entonces un electrón siempre va acompañado de la creación de un antineutrino, e.g., para conservar el número de leptones (inicialmente cero).

Aunque la energía involucrada en la descomposición puede predecir si ocurrirá una desintegración beta (Q > 0), y qué tipo de desintegración beta ocurre, la tasa de decaimiento puede ser bastante diferente incluso para valores Q similares. Considera por ejemplo\({ }^{22} \mathrm{Na}\) y\({ }^{36} \mathrm{Cl}\). Ambos se deshacen por\( \beta\) decadencia:

\[{ }_{11}^{22} \mathrm{Na}_{11} \rightarrow_{10}^{22} \mathrm{Ne}_{12}+\beta^{+}+\nu, \quad Q=0.22 \mathrm{MeV}, \quad T_{\frac{1}{2}}=2.6 \text { years } \nonumber\]

\[{ }_{17}^{36} \mathrm{Cl}_{19} \rightarrow_{18}^{36} \mathrm{Ar}_{18}+\beta^{-}+\bar{\nu} \quad Q=0.25 \mathrm{MeV}, \quad T_{\frac{1}{2}}=3 \times 10^{5} \text { years } \nonumber\]

Aunque tengan valores Q muy cercanos, hay una magnitud de cinco órdenes en la vida útil. Por lo tanto, necesitamos mirar más de cerca a la estructura nuclear para entender estas diferencias.

Decaimiento gamma

En la desintegración gamma el nucleido no cambia, pero pasa de un estado excitado a uno de menor energía. Estos estados se denominan estados isoméricos. Por lo general, la reacción se escribe como:

\[{ }_{Z}^{A} X_{N}^{*} \longrightarrow{ }_{Z}^{A} X_{N}+\gamma \nonumber\]

donde la estrella indica un estado excitado. Estudiaremos que la energía gamma depende de la diferencia energética entre estos dos estados, pero que decae puede ocurrir depende, una vez más, de los detalles de la estructura nuclear y de las reglas de selección cuántico-mecánica asociadas al momento angular nuclear.

Fsión espontánea

Algunos núcleos pueden sufrir espontáneamente una fisión, incluso fuera de las condiciones particulares que se encuentran en un reactor nuclear. En el proceso un nucleido pesado se divide en dos núcleos más ligeros, de aproximadamente la misma masa.

Relaciones de ramificación

Algunos núcleos solo se descomponen a través de un solo proceso, pero a veces pueden sufrir muchos procesos radiactivos diferentes, que compiten entre sí. Las intensidades relativas de las desintegraciones competidoras se denominan relaciones de ramificación.

Las relaciones de ramificación se expresan como porcentaje o, a veces, como semividas parciales. Por ejemplo, si un núcleo puede descomponerse por desintegración beta (y otros modos) con una ración de ramificación,\(b_{\beta}\) la vida media parcial para la desintegración beta es\(\lambda_{\beta}=b_{\beta} \lambda\).