2.1: Leyes de la Mecánica Cuántica

Toda teoría física se formula en términos de objetos matemáticos. Por lo tanto, es necesario establecer un conjunto de reglas para mapear conceptos y objetos físicos en objetos matemáticos que usamos para representarlos. En ocasiones este mapeo es evidente, como en la mecánica clásica, mientras que para otras teorías, como la mecánica cuántica, los objetos matemáticos no son intuitivos.

De la misma manera que la mecánica clásica se basa en las leyes de Newton o la electrodinámica sobre las ecuaciones de Maxwell-Boltzmann, la mecánica cuántica también se basa en algunas leyes fundamentales, que se denominan los postulados o axiomas de la mecánica cuántica.

Queremos en particular desarrollar un modelo matemático para la dinámica de los sistemas cuánticos cerrados ¹: por lo tanto nos interesa definir

estados — observables — mediciones — evolución

Algunas sutilezas surgirán ya que estamos tratando de definir la medición en un sistema cerrado, cuando la persona que mide está en cambio fuera del sistema mismo. Es posible un panorama más completo, que pueda explicar parte de la confusión que surge del proceso de medición, pero no lo estudiaremos en este curso.

Nos interesa dar una descripción de los fenómenos físicos y en particular de cómo emergen durante un experimento.

Nota

1 Definimos un sistema cerrado cualquier sistema que esté aislado, por lo tanto no intercambiando ninguna entrada o salida y no interactuando con ningún otro sistema. En cambio, un sistema abierto interactúa, por ejemplo, con un entorno externo.

Experimentos — Un experimento físico se puede dividir en dos etapas: preparación y medición. En mecánica clásica (CM):

• el primer paso determina los posibles resultados del experimento,
• mientras que la medición recupera el valor del resultado.

En mecánica cuántica (QM) la situación es ligeramente diferente:

• el primer paso (preparación) determina las probabilidades de los diversos resultados posibles,
• el segundo paso (medición) recupera el valor de un resultado particular, de manera estadística.

Esta separación del experimento en dos etapas se refleja en los dos tipos de operadores que encontramos en QM.

• El primer paso corresponde al concepto de estado del sistema,
• mientras que el segundo paso corresponde a observables.

En CM el estado de un sistema es descrito por un conjunto de propiedades. Por ejemplo, si consideramos una bola, podemos definir su estado dando su posición, impulso, energía, momento angular (si por ejemplo la pelota está girando), su temperatura etc. entonces podemos realizar una medición sobre esta bola, por ejemplo midiendo su posición. Esto nos dará un valor para uno posible observable (la posición).

Podemos expresar este proceso en términos matemáticos. El estado del sistema está definido por un conjunto de valores:\(\{\vec{r}, \vec{p}, E, \vec{L}, T, \ldots\} \). Todos estos valores (y podría haber por supuesto más que no he anotado) son necesarios para describir completamente el estado de la pelota. Al realizar una medición de la posición, se recuperarán los valores\( \left\{r_{x}, r_{y}, r_{z}\right\}=\vec{r}\) (los mismos valores que describen el estado).

Si ahora consideramos un núcleo, también podemos dar una descripción de su estado. En la mecánica cuántica, una descripción completa del estado de un objeto cuántico (o sistema) se da matemáticamente por el vector de estado\(|\psi\rangle \) (o función de onda\(\psi(\vec{r}) \)). Sin embargo, la situación es diferente a la de la mecánica clásica.

El vector state ya no es una colección de valores para diferentes propiedades del sistema. El estado da en cambio una descripción completa del conjunto de probabilidades para todas las propiedades físicas (u observables). Toda la información está contenida en el estado, independientemente de cómo obtuve el estado, de su historia anterior.

Por otro lado, los observables son todas las propiedades físicas que en principio se pueden medir, de la misma manera que lo fue en la mecánica clásica. Dado que sin embargo el estado sólo da probabilidades para todos los observables, el resultado de la medición será una variable estadística.

Todas estas consideraciones se hacen más formales en los axiomas de la mecánica cuántica que también indican el formalismo matemático a utilizar.

1. Las propiedades de un sistema cuántico están completamente definidas por la especificación de su vector de estado\( |\psi\rangle\). El vector de estado es un elemento de un complejo espacio H de Hilbert llamado el espacio de estados.
2. Con cada propiedad física\(\mathcal{A}\) (energía, posición, momento, momento angular,...) existe un operador hermitiano lineal asociado A (usualmente llamado observable), que actúa en el espacio de los estados H. Los valores propios del operador son los posibles valores de las propiedades físicas.
3. (a) Si\(|\psi\rangle \) es el vector que representa el estado de un sistema y si\(|\varphi\rangle \) representa otro estado físico, existe una probabilidad\( p(|\psi\rangle,|\varphi\rangle)\) de encontrar\(|\psi\rangle \) en estado\( |\varphi\rangle\), que viene dada por el módulo cuadrado del producto interno on\(\mathcal{H}: p(|\psi\rangle,|\varphi\rangle)=|\langle\psi \mid \varphi\rangle|^{2} \) (Regla Born).
   
   (b) Si A es un observable con valores propios\( a_{n}\) y vectores propios\(|n\rangle \) [tal que la ecuación del valor propio es\(A|n\rangle=a_{n}|n\rangle \)], dado un sistema en el estado\(|\psi\rangle \), la probabilidad de obtener\( a_{n}\) como resultado de la medición de A es \( p\left(a_{n}\right)=|\langle n \mid \psi\rangle|^{2}\). Después de la medición el sistema se deja en el estado proyectado sobre el subespacio del valor propio\(a_{n} \) (colapso de la función Wave).
4. La evolución de un sistema cerrado es unitaria (reversible). La evolución viene dada por la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

\[i \hbar \frac{\partial|\psi\rangle}{\partial t}=\mathcal{H}|\psi\rangle \nonumber\]

donde\(\mathcal{H} \) es el hamiltoniano del sistema (el operador de energía) y\( \hbar\) es la constante de Planck reducida\(h\) /2\(\pi\) (con\(h\) la constante de Planck, permitiendo la conversión de energía a unidades de frecuencia).