3.1: Revisión - Problema del valor propio de la energía

La función de onda independiente del tiempo obedece a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

\[\boxed{\mathcal{H} \varphi(\vec{x})=E \varphi(\vec{x})} \nonumber\]

donde E se identifica como la energía del sistema. Si la función de onda viene dada solo por su parte independiente del tiempo,\( \psi(\vec{x}, t)=\varphi(\vec{x})\), el estado es estacionario. Así, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo nos permite encontrar estados estacionarios del sistema, dado un cierto hamiltoniano.

Observe que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo no es otra cosa que la ecuación de valor propio para el operador hamiltoniano.

La energía de una partícula tiene contribuciones de la energía cinética así como de la energía potencial:

\[\mathcal{H}=\frac{1}{2 m}\left(\hat{p}_{x}^{2}+\hat{p}_{y}^{2}+\hat{p}_{z}^{2}\right)+V(\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}) \nonumber\]

o más explícitamente:

\[\mathcal{H}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\right)+V(x, y, z) \nonumber\]

que se puede escribir en forma compacta como

\[\boxed{\mathcal{H}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2}+V(x, y, z)} \nonumber\]

(Observe que V (x, y, z) es solo un operador multiplicativo, de la misma manera que lo es la posición).

En 1D, para una partícula libre no hay energía potencial, sino solo energía cinética que podemos reescribir como:

\[\mathcal{H}=\frac{1}{2 m} p^{2}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\nonumber\]

El problema del valor propio\( \mathcal{H} w_{n}(x)=E_{n} w_{n}(x)\) es entonces la ecuación diferencial

\[\mathcal{H} w_{n}(x)=E_{n} w_{n}(x) \rightarrow-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} w_{n}(x)}{\partial x^{2}}=E_{n} w_{n}(x) \nonumber\]

Para una partícula libre no hay restricción sobre las energías posibles, E _n puede ser cualquier número positivo. La solución al problema del valor propio es entonces la función propia:

\[w_{n}(x)=A \sin \left(k_{n} x\right)+B \cos \left(k_{n} x\right)=A^{\prime} e^{i k_{n} x}+B^{\prime} e^{-i k_{n} x} \nonumber\]

que representa dos olas que viajan en direcciones opuestas.

Vemos que hay dos funciones independientes para cada valor propio E _n. También hay dos valores propios de momento distintos\(\pm k_{n}\) para cada valor propio de energía, que corresponden a dos direcciones diferentes de propagación de la función de onda\(e^{\pm i k_{n} x}\).