3.3: Decaimiento Alfa

Si volvemos a la energía de unión por parcela de número de masa (\(B/A\)vs.\(A\)) vemos que hay un bache (un pico) para\(A ∼ 60 − 100\). Esto significa que hay un mínimo correspondiente (u óptimo de energía) alrededor de estos números. Entonces los núcleos más pesados querrán descomponerse hacia estos nucleidos más ligeros, al arrojar algunos protones y neutrones. Más específicamente, la disminución en la energía de unión a alta\(A\) se debe a la repulsión de Coulomb. La repulsión de Coulomb crece de hecho como\(Z^2\), mucho más rápido que la fuerza nuclear que es proporcional a\(A\).

Esto podría pensarse como un proceso similar a lo que ocurre en el proceso de fisión: a partir de un nucleido padre, se crean dos nucleidos hijos. En la\(\alpha\) decadencia tenemos específicamente:

\[\ce{_{Z}^{A} X_N -> _{Z-2}^{A-4} X_{N-2}^{\prime}} + \alpha \nonumber\]

donde\(\alpha\) esta el nucleo de\(\mathrm{He}-4:{ }_{2}^{4} \mathrm{He}_{2}\).

La\(\alpha\) descomposición debe estar compitiendo con otros procesos, como la fisión en nucleidos hijos iguales, o en pares incluyendo ¹² C o ¹⁶ O que tienen B/A más grande entonces\(\alpha\). Sin embargo, la\(\alpha\) decadencia suele ser favorecida. Para entender esto, comenzamos por mirar la energía de la decadencia, pero necesitaremos estudiar el origen cuántico de la decadencia para llegar a una explicación completa.

Figura\(\PageIndex{1}\): Esquemas de desintegración alfa (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Energética

Al analizar una desintegración radiactiva (o cualquier reacción nuclear) una cantidad importante es\(Q\), la energía neta liberada en la desintegración:\(Q=\left(m_{X}-m_{X^{\prime}}-m_{\alpha}\right) c^{2}\). Esto también es igual a la energía cinética total de los fragmentos, aquí\(Q=T_{X^{\prime}}+T_{\alpha} \) (aquí asumiendo que el nucleido parental está en reposo).

Cuando se libera energía\(Q\) > 0 en la reacción nuclear, mientras que para\(Q\) < 0 necesitamos proporcionar energía para que la reacción suceda. Al igual que en la química, esperamos que la primera reacción sea una reacción espontánea, mientras que la segunda no ocurre en la naturaleza sin intervención. (La primera reacción es exo-energética la segunda endo-energética). Observe que no es casualidad que se llame\(Q\). En la práctica dados algunos reactivos y productos,\(Q\) dan la calidad de la reacción, es decir, cuán energéticamente favorable, de ahí probable, es. Por ejemplo en la desintegración alfa\( \log \left(t_{1 / 2}\right) \propto \frac{1}{\sqrt{Q_{\alpha}}}\), que es la regla Geiger-Nuttall (1928).

La partícula alfa se lleva la mayor parte de la energía cinética (ya que es mucho más ligera) y al medir esta energía cinética experimentalmente es posible conocer las masas de nucleidos inestables.

Podemos calcular\(Q\) usando el SEMF. Entonces:

\ [Q_ {\ alpha} =B\ izquierda (\ begin {array} {c}
A-4\
Z-2
\ end {array} X_ {N-2} ^ {\ prime}\ derecha) +B\ izquierda ({} ^ {4} H e\ derecha) -B\ izquierda ({} _ {Z} ^ {A} X_ {N}\ derecha) =B (A-4, Z-2) -B (A, Z) +B\ izquierda ({} ^ {4} H e\ derecha)\ nonúmero\]

Podemos aproximar la diferencia finita con el gradiente relevante:

\ [\ begin {align}
Q_ {\ alpha} &= [B (A-4, Z-2) -B (A, Z-2)] + [B (A, Z-2) -B (A, Z)] +B\ izquierda ({} ^ {4} H e\ derecha)\\[4pt] &\approx -4 \frac{\partial B}{\partial A}-2 \frac{\partial B}{\partial Z}+B\left({ }^{4} H e\right) \\[4pt] &=28.3-4 a_{v}+\frac{8}{3} a_{s} A^{-1 / 3}+4 a_{c}\left(1-\frac{Z}{3 A}\right)\left(\frac{Z}{A^{1 / 3}}\right)-4 a_{s y m}\left(1-\frac{2 Z}{A}+3 a_{p} A^{-7 / 4}\right)^{2} \end{align}\]

Ya que estamos viendo núcleos pesados, sabemos que\(Z ≈ 0.41A\) (en lugar de\(Z ≈ A/2\)) y obtenemos

\[Q_{\alpha} \approx-36.68+44.9 A^{-1 / 3}+1.02 A^{2 / 3}, \nonumber\]

donde el segundo término proviene de la contribución superficial y el último término es el término Coulomb (descuidamos el término de emparejamiento, ya que a priori no sabemos si\(a_{p}\) es cero o no).

Entonces, el término Coulomb, aunque pequeño, hace\(Q\) aumento en general A. Encontramos que\(Q \geq 0\) para\(A \gtrsim 150\), y es\(Q\) ≈ 6MeV para A = 200. A pesar de que\(Q\) > 0, encontramos experimentalmente que la\(\alpha\) decadencia solo surge para\(A \geq 200\).

Además, tomemos por ejemplo Francium-200 (\({ }_{87}^{200} \mathrm{Fr}_{113}\)). Si calculamos\( Q_{\alpha}\) a partir de las diferencias de masa encontradas experimentalmente obtenemos\(Q_{\alpha} \approx 7.6 \mathrm{MeV}\) (el producto es ¹⁹⁶ At). Podemos hacer el mismo cálculo para el hipotético decaimiento en un ¹² C y el fragmento restante (\({}_{81}^{188} \mathrm{TI}_{ \ 107}\)):

\ [Q_ {12} C=C^ {2}\ izquierda [m\ izquierda (\ begin {array} {c}
A\\
Z
\ end {array} X_ {N}\ derecha) -m\ left (\ begin {array} {c}
A-12\\
Z-6
\ end {array} X_ {N-6} ^ {\ prime}\ derecha) -m\ left ({} ^ 12} C\ derecha)\ derecha]\ aprox 28 M e V\ nonumber\]

Así, esta segunda reacción parece ser más energética, de ahí más favorable que la desintegración alfa, sin embargo no ocurre (se han observado algunas depresiones que involucran a C-12, pero sus proporciones de ramificación son mucho menores).

Por lo tanto, mirar solo la energía de la decadencia no explica algunas preguntas que rodean la desintegración alfa:

• ¿Por qué no hay ¹² Cdecay? (o a algunos de estos nucleidos fuertemente unidos, por ejemplo O-16, etc.)
• ¿Por qué no hay fisión espontánea en hijas iguales?
• ¿Por qué hay desintegración alfa solo para\(A \geq 200 \)?
• ¿Cuál es la explicación de la regla Geiger-Nuttall? \(\log t_{1 / 2} \propto \frac{1}{\sqrt{Q_{\alpha}}}\)

Descripción de la mecánica cuántica de la descomposición alfa

Utilizaremos un modelo semi-clásico (es decir, combinando la mecánica cuántica con la física clásica) para responder a las preguntas anteriores.

Para estudiar el proceso mecánico cuántico subyacente a la desintegración alfa, consideramos la interacción entre el nucleido hijo y la partícula alfa. Justo antes de la separación, podemos considerar que este par ya está presente dentro del nucleido padre, en un estado encuadernado. Describiremos este par de partículas en sus marcos de coordenadas de centro de masa: así nos interesa el movimiento relativo (y la energía cinética) de las dos partículas. Como suele hacerse en estas situaciones, podemos describir el movimiento relativo de dos partículas como el movimiento de una sola partícula de masa reducida\(\mu=\frac{m_{\alpha} m^{\prime}}{m_{\alpha}+m^{\prime}}\) (donde m' es la masa del nucleido hijo).

Considera por ejemplo la reacción\({ }^{238} \mathrm{U} \rightarrow{ }^{234} \mathrm{Th}+\alpha\). ¿Cuál es la interacción entre la Th y la partícula alfa en el estado unido?

• A corta distancia tenemos la fuerza nuclear que ata a los ²³⁸ U.
• A largas distancias predomina la interacción culombo

La fuerza nuclear es una fuerza muy fuerte, atractiva, mientras que la fuerza Coulomb entre los protones es repulsiva y tenderá a expulsar la partícula alfa.

Dado que se sabe que el estado final tiene una energía\( Q_{\alpha}=4.3 \ \mathrm{MeV}\), tomaremos esta energía para ser también la energía inicial de las dos partículas en el pozo potencial (asumimos que\(Q_{\alpha}=E \) ya que\(Q\) es la energía cinética mientras que la energía potencial es cero). El tamaño del pozo potencial se puede calcular como la suma del nucleido hijo (²³⁴ Th) y radios alfa:

\[R=R^{\prime}+R_{\alpha}=R_{0}\left((234)^{1 / 3}+4^{1 / 3}\right)=9.3 \mathrm{fm} \nonumber\]

Por otro lado, la energía de Coulomb en esta separación es\(V_{C o u l}=e^{2} Z^{\prime} Z_{\alpha} / R=28 M e V \gg Q_{\alpha}\) (aquí Z' = Z − 2). Entonces, las partículas están dentro de un pozo, con una barrera alta (as\(V_{\text {Coul }} \gg Q \)) pero hay cierta probabilidad de tunelización, ya que Q > 0 y el estado no está unido de manera estable.

Así, si el nucleido padre,\( {}^{238} \mathrm{U}\), estaba realmente compuesto por una partícula alfa y por el nucleido hijo\( {}^{234} \mathrm{Th}\), entonces con cierta probabilidad el sistema estaría en un estado ligado y con cierta probabilidad en un estado decaído, con la partícula alfa fuera de la barrera potencial. Esta última probabilidad se puede calcular a partir de la probabilidad de tunelización P _T que estudiamos en la sección anterior, dada por el cuadrado de amplitud de la función de onda fuera de la barrera,\(P_{T}=\left|\psi\left(R_{\text {out}}\right)\right|^{2}\).

¿Cómo relacionamos esta probabilidad con la tasa de decaimiento?

Necesitamos multiplicar la probabilidad de tunelizar P _T por la frecuencia\(f\) a la que realmente se\( {}^{238} \mathrm{U}\) podría encontrar como en dos fragmentos\({ }^{234} \mathrm{Th}+\alpha \) (aunque todavía unidos dentro de la barrera potencial). La tasa de decaimiento viene dada entonces por\(\lambda_{\alpha}=f P_{T}\).

Para estimar la frecuencia\(f\), la equiparamos con la frecuencia a la que la partícula compuesta en el marco del centro de masa se encuentra en el límite del pozo:\(f=v_{i n} / R\), dónde\(v_{i n} \) está la velocidad de las partículas cuando están dentro del pozo (ver caricatura en la Figura\(\PageIndex{3}\)). Tenemos\(\frac{1}{2} m v_{i n}^{2}=Q_{\alpha}+V_{0} \approx 40 \mathrm{MeV}\), de la que tenemos\(v_{i n} \approx 4 \times 10^{22} \mathrm{fm} / \mathrm{s}\). Entonces la frecuencia es\(f \approx 4.3 \times 10^{21}\).

Figura\(\PageIndex{2}\): Pozo potencial para tunelización de desintegración alfa. El radio interno es R mientras que la intersección\(Q_{\alpha}\) con el potencial es R _c > (no a escala). (CC BY-NC-ND; Paola >Cappellaro>)

Figura\(\PageIndex{3}\): Posiciones de partículas hijas y alfa en el núcleo, como se ve en (izquierda) el marco de laboratorio y (derecha) en el marco del centro de masa. Cuando la distancia relativa es cero, ésta corresponde a un nucleido indiviso (padre). Cuando la distancia relativa es R, corresponde a un nucleido alfa e hijo separados dentro del núcleo. (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

La probabilidad de tunelización viene dada por el cuadrado de amplitud de la función de onda justo fuera de la barrera,\(P_{T}=\left|\psi\left(R_{c}\right)\right|^{2}\), donde R _c es la coordenada en la que\(V_{\text {Coul }}\left(R_{c}\right)=Q_{\alpha}\), tal que la partícula vuelve a tener una energía cinética positiva:

\[R_{c}=\frac{e^{2} Z_{\alpha} Z^{\prime}}{Q_{\alpha}} \approx 63 \mathrm{fm} \nonumber\]

Recordemos que en el caso de una barrera cuadrada, expresamos la función de onda dentro de una barrera (en la región clásicamente prohibida) como una onda plana con impulso imaginario, de ahí una decadencia exponencial\( \psi_{i n}(r) \sim e^{-\kappa r}\). ¿Cuál es el impulso relevante\(\hbar \kappa \) aquí? Dado que el potencial ya no es una barrera cuadrada, esperamos que el impulso (y la energía cinética) sean una función de la posición.

La energía total viene dada por\(E=Q_{\alpha} \) y es la suma del potencial (Coulomb) y la energía cinética. Como hemos visto que la energía de Coulomb es mayor que\(Q\), sabemos que la energía cinética es negativa:

\[Q_{\alpha}=T+V_{C o u l}=\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 \mu}+\frac{Z_{\alpha} Z^{\prime} e^{2}}{r} \nonumber\]

con µ la masa reducida

\[\mu=\frac{m_{\alpha} m^{\prime}}{m_{\alpha}+m^{\prime}} \nonumber\]

y\(k^{2}=-\kappa^{2} (with \( \kappa \in R\)). Esta ecuación es válida en cualquier posición dentro de la barrera:

\[\kappa(r)=\sqrt{\frac{2 \mu}{\hbar^{2}}\left[V_{C o u l}(r)-Q_{\alpha}\right]}=\sqrt{\frac{2 \mu}{\hbar^{2}}\left(\frac{Z_{\alpha} Z^{\prime} e^{2}}{r}-Q_{\alpha}\right)} \nonumber\]

Si tuviéramos que considerar una pequeña porción de la barrera, de\(r\) a\(r + dr\), entonces la probabilidad de pasar a través de esta barrera sería\(d P_{T}(r)=e^{-2 \kappa(r) d r}\). Si dividimos entonces el rango de barrera total en pequeños cortes, la probabilidad final es el producto de las probabilidades\(d P_{T}^{k}\) de pasar por todas las rebanadas. Después\(\log \left(P_{T}\right)=\sum_{k} \log \left(d P_{T}^{k}\right)\) y tomando el límite continuo\(\log \left(P_{T}\right)=\int_{R}^{R_{c}} \log \left[d P_{T}(r)\right]=-2 \int_{R}^{R_{c}} \kappa(r) d r\).

Finalmente la probabilidad de tunelización viene dada por\(P_{T}=e^{-2 G} \), donde G se calcula a partir de la integral

\[G=\int_{R}^{R_{C}} d r \kappa(r)=\int_{R}^{R_{C}} d r \sqrt{\frac{2 \mu}{\hbar^{2}}\left(\frac{Z_{\alpha} Z^{\prime} e^{2}}{r}-Q_{\alpha}\right)} \nonumber\]

Podemos resolver la integral analíticamente, dejando\( r=R_{c} y=y \frac{Z_{\alpha} Z^{\prime} e^{2}}{Q_{\alpha}}\), entonces

\[G=\frac{Z_{\alpha} Z_{0} e^{2}}{\hbar c} \sqrt{\frac{2 \mu c^{2}}{Q_{\alpha}}} \int_{R / R_{C}}^{1} d y \sqrt{\frac{1}{y}-1} \nonumber\]

que rinde

\[G=\frac{Z_{\alpha} Z^{\prime} e^{2}}{\hbar c} \sqrt{\frac{2 \mu c^{2}}{Q_{\alpha}}}\left[\arccos \left(\sqrt{\frac{R}{R_{c}}}\right)-\sqrt{\frac{R}{R_{c}}} \sqrt{1-\frac{R}{R_{c}}}\right]=\frac{Z_{\alpha} Z^{\prime} e^{2}}{\hbar c} \sqrt{\frac{2 \mu c^{2}}{Q_{\alpha}}} \frac{\pi}{2} g\left(\sqrt{\frac{R}{R_{c}}}\right) \nonumber\]

donde para simplificar la notación usamos la función

\[g(x)=\frac{2}{\pi}\left(\arccos (x)-x \sqrt{1-x^{2}}\right) . \nonumber\]

Finalmente la tasa de decaimiento viene dada por

\[\boxed{\lambda_{\alpha}=\frac{v_{i n}}{R} e^{-2 G}} \nonumber\]

donde G es el llamado factor Gamow.

Con el fin de obtener alguna idea sobre el comportamiento de\(G\) consideramos la aproximación R R _c:

\[G=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{E_{G}}{Q_{\alpha}}} g\left(\sqrt{\frac{R}{R_{c}}}\right) \approx \frac{1}{2} \sqrt{\frac{E_{G}}{Q_{\alpha}}}\left[1-\frac{4}{\pi} \sqrt{\frac{R}{R_{c}}}\right] \nonumber\]

donde E _G es la energía de Gamow:

\[\boxed{E_{G}=\left(\frac{2 \pi Z_{\alpha} Z e^{2}}{\hbar c}\right)^{2} \frac{\mu c^{2}}{2}} \nonumber\]

Por ejemplo para el\({ }^{238} \mathrm{U}\) decaimiento estudiado E _G = 122, 000MeV (¡enorme!) para que\( \sqrt{E_{G} / Q_{\alpha}}=171\) mientras\(g\left(\sqrt{\frac{R}{R_{c}}}\right) \approx 0.518\). El exponente es así un gran número, dando un túnel muy bajo probabilmente:\(e^{-2 G}=e^{-89}=4 \times 10^{-39}\). Entonces,\(\lambda_{\alpha}=1.6 \times 10^{-17} \mathrm{~s}\) o\(t_{1 / 2}=4.5 \times 10^{9}\) años, cerca de lo observado.

Estos resultados finalmente dan respuesta a las preguntas que teníamos con respecto a la desintegración alfa. La probabilidad de decaimiento tiene una dependencia muy fuerte no sólo de Z,\(Q_{\alpha} \) sino también de Z ₁ Z ₂ (donde Z _i es el número de protones en las dos hijas). Esto lleva a las siguientes observaciones:

• Otros tipos de decaimiento son menos probables, debido a que la energía de Coulomb aumentaría considerablemente, por lo que la barrera se vuelve demasiado alta para ser superada.
• Lo mismo ocurre con la fisión espontánea, a pesar de que\(Q\) es mucho mayor (∼ 200MeV).
• Por lo tanto, encontramos que la desintegración alfa es el mecanismo óptimo. Aún así, puede suceder solo para A ≥ 200 exactamente porque de lo contrario la probabilidad de tunelización es muy pequeña.
• La ley Geiger-Nuttall es una consecuencia directa de la teoría del túnel cuántico. Además, las grandes variaciones de las tasas de decaimiento con\(Q\) son consecuencia de la dependencia exponencial de\(Q\).

Una última advertencia sobre el modelo: el modelo semi-clásico utilizado para describir la desintegración alfa da predicciones bastante precisas de las tasas de descomposición en muchos orden de magnitudes. Sin embargo no se debe tomar como un indicio de que el núcleo padre realmente ya está conteniendo una partícula alfa y un núcleo hijo (solo, se comporta como si fuera, siempre y cuando calculemos las tasas de desintegración alfa).