5.3: Modelos Nucleares

En el caso del núcleo más simple (el deuterio, con 1p-1n) hemos podido resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo a partir de los primeros principios y encontrar la función de onda y los niveles de energía del sistema, por supuesto con algunas aproximaciones, simplificando por ejemplo el potencial. Si tratamos de hacer lo mismo para núcleos más grandes, pronto encontraríamos algunos problemas, ya que el número de variables que describen la posición y el impulso aumenta rápidamente y los problemas matemáticos se vuelven muy complejos.

Otra dificultad proviene del hecho de que no se conoce la naturaleza exacta de la fuerza nuclear, ya que por ejemplo hay alguna evidencia de que también existen interacciones de 3 cuerpos, que no tienen un análogo clásico y son difíciles de estudiar a través de experimentos de dispersión.

Entonces, en lugar de tratar de resolver exactamente el problema, partiendo de una descripción microscópica de los componentes del núcleo, los científicos nucleares desarrollaron algunos modelos que describían el núcleo. Estos modelos necesitan producir resultados que coincidan con las propiedades nucleares ya conocidas y sean capaces de predecir nuevas propiedades que puedan medirse en experimentos. Ahora vamos a revisar algunos de estos modelos.

Estructura de la carcasa

El modelo de shell atómico

Puede que ya estés familiarizado con el modelo de shell atómico. En el modelo de concha atómica, las conchas se definen en base a los números cuánticos atómicos que se pueden calcular a partir del potencial de Coulomb atómico (y que sigue la ecuación del valor propio) dado por los protones del nuclear.

Las conchas son rellenadas por electrones en orden de energías crecientes, de tal manera que cada orbital (nivel) puede contener como máximo 2 electrones (por el principio de exclusión Pauli). Las propiedades de los átomos son entonces principalmente determinadas por electrones en una capa no completamente llena. Esto conduce a una periodicidad de propiedades atómicas, como el radio atómico y la energía de ionización, que se refleja en la tabla periódica de los elementos. Hemos visto a la hora de resolver para el hidrógeno

Figura\(\PageIndex{1}\): Radio atómico vs Z. (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

átomo que un estado cuántico es descrito por los números cuánticos:\(|\psi=| n, l, m\) donde\(n\) está el número cuántico principal (que en el átomo de hidrógeno estaba dando la energía). \(l\)es el número cuántico de momento angular (o número cuántico acimutal) y\(m\) el número cuántico magnético. Este último es\(m=-l, \ldots, l-1, l\) así junto con el número cuántico de espín, establece la degeneración de cada orbital (determinada por\(n\) y\(l < n\)) a ser\(D(l) = 2(2l + 1)\). Históricamente, los orbitales han sido llamados con la notación espectroscópica de la siguiente manera:

Las notaciones históricas provienen de la descripción de las líneas espectrales observadas:

\[ \mathbf{s}=\operatorname{sharp} \quad \mathbf{p}=\text { principal } \quad \mathbf{d}=\text { diffuse } \quad \mathbf{f}=\text { fine } \nonumber\]

Figura\(\PageIndex{2}\): Energía de ionización vs Z. (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Los orbitales (o funciones propias de energía) se recogen entonces en grupos de energías similares (y propiedades similares). La degeneración de cada orbital da los siguientes números de ocupación (acumulativos) para cada uno del grupo energético:

\[\boxed{\begin{array}{lllll} 2, & 10, & 18, & 36, & 54, & 70, & 86 \end{array}} \nonumber\]

Observe que estos corresponden a los grupos bien conocidos en la tabla periódica.

Hay algunas dificultades que surgen al tratar de adaptar este modelo al núcleo, en particular el hecho de que el potencial no es externo a las partículas, sino creado por ellas mismas, y el hecho de que el tamaño de los nucleones es mucho mayor que los electrones, por lo que tiene mucho menos sentido hablar de orbitales. Además, en lugar de tener un solo tipo de partícula (el electrón) obedeciendo el principio de exclusión de Pauli, aquí las cosas son complicadas porque necesitamos llenar las conchas con dos tipos de partículas, neutrones y protones.

En cualquier caso, existen algunas evidencias experimentales convincentes que apuntan en la dirección de un modelo de concha.

Evidencia de estructura de la carcasa nuclear: energía de separación de dos nucleones

La energía de separación de dos nucleones (energía de separación 2p o 2n) es el equivalente de la energía de ionización para los átomos, donde los nucleones se extraen en pares para dar cuenta de un término en el potencial nuclear que favorece el emparejamiento de nucleones. A partir de este primer conjunto de datos podemos inferir que existen conchas con números de ocupación

\[\boxed{\begin{array}{lllll} 8, & 20, & 28, & 50, & 82, & 126\end{array}} \nonumber \]

Estos se llaman números mágicos en la física nuclear. Comparando con el tamaño de las conchas atómicas, podemos ver que los números mágicos atómicos son bastante diferentes de los nucleares (como se esperaba ya que hay dos tipos de partículas y otras diferencias). Sólo el principio rector es el mismo. Las conchas atómicas se determinan resolviendo la ecuación de valor propio de energía. Podemos intentar hacer lo mismo con los nucleones.

Nucleones Hamiltonianos

El hamiltoniano para el núcleo es un complejo hamiltoniano de muchos cuerpos. El potencial es la combinación de la interacción nuclear y culombo:

\[\mathcal{H}=\sum_{i} \frac{\hat{p}_{i}^{2}}{2 m_{i}}+\sum_{j, i \leq j} V_{n u c}\left(\left|\vec{x}_{i}-\vec{x}_{j}\right|\right)+\underbrace{\sum_{j, i \leq j} \frac{e^{2}}{\left|\vec{x}_{i}-\vec{x}_{j}\right|}}_{\text {sum on protons only }} \nonumber\]

No hay un potencial externo como para los electrones (donde los protones crean un fuerte potencial central externo para cada electrón). Todavía podemos simplificar este hamiltoniano usando la teoría del campo medio ¹¹.

Nota

11 Este es un concepto que es relevante en muchas otras situaciones físicas

Figura\(\PageIndex{3}\): Arriba: Energías de separación de dos protones de isotonos (N constante). Abajo: energías de separación de dos neutrones de isótopos (constante Z). En el eje x: número de nucleones. Los cambios repentinos en el número mágico son evidentes. De Krane, fig 5.2

Podemos reescribir el hamiltoniano anterior escogiendo 1 nucleón, por ejemplo, el\(j^{t h} \) neutrón:

\[\mathcal{H}_{j}^{n}=\frac{\hat{p}_{j}^{2}}{2 m_{n}}+\sum_{i \leq j} V_{n u c}\left(\left|\vec{x}_{i}-\vec{x}_{j}\right|\right) \nonumber\]

o el\(k^{t h} \) protón:

\[\mathcal{H}_{k}^{p}=\frac{\hat{p}_{k}^{2}}{2 m_{n}}+\sum_{i \leq k} V_{n u c}\left(\left|\vec{x}_{i}-\vec{x}_{k}\right|\right)+\underbrace{\sum_{i \leq k} \frac{e^{2}}{\left|\vec{x}_{i}-\vec{x}_{k}\right|}}_{\text {sum on protons only }} \nonumber\]

entonces el total hamiltoniano es solo la suma sobre estos hamiltonianos de una sola partícula:

\[\mathcal{H}=\sum_{j \text { (neutrons) }} \mathcal{H}_{j}^{n}+\sum_{k(\text { protons })} \mathcal{H}_{k}^{p} \nonumber\]

Los hamiltonianos\(\mathcal{H}_{j}^{n} \) y\(\mathcal{H}_{j}^{p} \) describen un solo nucleón sometido a un potencial\(V_{n u c}^{j}\left(\left|\vec{x}_{j}\right|\right) \) — o\( V^{j}\left(\left|\vec{x}_{j}\right|\right)=V_{n u c}^{j}\left(\left|\vec{x}_{j}\right|\right)+V_{c o u l}^{j}\left(\left|\vec{x}_{j}\right|\right)\) para un protón. Estos potenciales son el efecto de todos los demás nucleones sobre el nucleón que escogimos, y sólo su suma entra en juego. El nucleón en el que nos enfocamos está evolucionando entonces en el campo medio creado por todos los demás nucleones. Por supuesto esto es una simplificación, porque el campo creado por los otros nucleones depende también del\( j^{t h}\) nucleón, ya que este nucleón influye (por ejemplo) en la posición de los otros nucleones. Este tipo de acción inversa se ignora en la aproximación de campo medio, y consideramos el potencial de campo medio como fijo (es decir, dado por nucleones con una posición fija).

Entonces queremos adoptar un modelo para el campo medio\( V_{n u c}^{j}\) y\( V_{\text {coul}}^{j}\). Empecemos por el potencial nuclear. Modelamos la interacción entre dos nucleones por un pozo cuadrado, con profundidad −V ₀ y rango R ₀. El alcance del pozo nuclear está relacionado con el radio nuclear, que se sabe que depende de la masa nuclear número A, como\(R \sim 1.25 A^{1 / 3} \mathrm{fm} \). Entonces\(V_{n u c}^{j} \) es la suma de muchos de estos pozos cuadrados, cada uno con un rango diferente (dependiendo de la separación de los nucleones). La profundidad es en cambio casi constante a V ₀ = 50MeV, cuando consideramos núcleos grandes A (esto corresponde a

Figura\(\PageIndex{4}\): Potencial obtenido de la suma de muchos pozos de potencial rectangulares. Negro, el rango de potencial aumenta proporcionalmente al número de nucleones considerados. Rojo,\( R \sim A^{1 / 3}\). Azul, potencial armónico, que se aproxima al potencial deseado. (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

la fuerza promedio del potencial nucleónico total). ¿Cuál es la suma de muchos pozos cuadrados? El potencial suaviza. Podemos aproximar esto con un potencial parabólico. [Observe que para cualquier función continua, un mínimo siempre puede ser aproximado por una función parabólica, ya que un mínimo es tal que la primera derivada es cero]. Este tipo de potencial es útil porque podemos encontrar una solución analítica que nos dará una clasificación de los estados nucleares. Por supuesto, se trata de una aproximación cruda. Este es el modelo de potencial del oscilador:

\[V_{n u c} \approx-V_{0}\left(1-\frac{r^{2}}{R_{0}^{2}}\right) \nonumber\]

Ahora tenemos que considerar el potencial de Coulomb para los protones. El potencial viene dado por:\( V_{\text {coul}}=\frac{(Z-1) e^{2}}{R_{0}}\left[\frac{3}{2}-\frac{r^{2}}{2 R_{0}^{2}}\right]\) for\(r \leq R_{0} \), que es solo el potencial para una esfera de radio R ₀ que contiene una carga uniforme\((Z-1) e \). Entonces podemos escribir un potencial efectivo (campo medio, en la aproximación parabólica) como

\[V_{\mathrm{eff}}=\underbrace{r^{2}\left(\frac{V_{0}}{R_{0}^{2}}-\frac{(Z-1) e^{2}}{2 R_{0}^{3}}\right)}_{\equiv \frac{1}{2} m \omega^{2} r^{2}} \underbrace{-V_{0}+\frac{3}{2} \frac{(Z-1) e^{2}}{R_{0}}}_{\equiv-V_{0}^{\prime}} \nonumber\]

Definimos aquí un potencial de pozo cuadrado nuclear modificado\( V_{0}^{\prime}=V_{0} \quad \frac{3}{2} \frac{(Z-1) e^{2}}{R_{0}}\) para protones, que es menos profundo que para neutrones. Además, definimos las frecuencias del oscilador armónico\( \omega^{2}=\frac{2}{m}\left(\frac{V_{0}}{R_{0}^{2}}-\frac{(Z-1) e^{2}}{2 R_{0}^{3}}\right)\).

Por lo tanto, el pozo de protones es ligeramente más superficial y ancho que el pozo de neutrones debido a la repulsión de Coulomb. Este modelo potencial tiene limitaciones pero sí predice los números mágicos más bajos.

Los valores propios del potencial vienen dados por la suma del potencial armónico en 3D (como se ve en la recitación) y el pozo cuadrado:

\[E_{N}=\hbar \omega\left(N+\frac{3}{2}\right)-V_{0}^{\prime}. \nonumber\]

(donde tomamos V ₀ ′ = V ₀ para el neutrón).

Obsérvese que resolver la ecuación para el potencial del oscilador armónico no equivale a resolver la ecuación radial completa, donde se\(\hbar^{2} \frac{l(l+1)}{2 m r^{2}} \) debe tomar en cuenta el término centrífugo. Podríamos haber resuelto esa ecuación total y encontrar los valores propios de energía etiquetados por los números cuánticos radiales y orbitales. Comparando las dos soluciones, encontramos que el número cuántico h.o. N se puede expresar en términos de los números cuánticos radiales y orbitales como

\[N=2(n-1)+l \nonumber\]

Ya que\(l=0,1, \ldots n-1 \) tenemos la regla de selección para\( l\) en función de\(N: l=N, N-2, \ldots\) (con\(l \geq 0 \)). La degeneración de los valores propios de E _N es entonces\(\mathcal{D}^{\prime}(N)=\sum_{l=N, N-2, \ldots}(2 l+1)=\frac{1}{2}(N+1)(N+2) \) (ignorando el giro) o\(\mathcal{D}(N)=(N+1)(N+2) \) cuando se incluye el giro.

Ahora podemos usar estos números cuánticos para llenar los niveles nucleares. Observe que tenemos niveles separados para neutrones y protones. Entonces podemos construir una tabla de los niveles ocupaciones números, que predice los primeros 3 números mágicos.

\ [\ begin {array} {|c|c|l|c|c|l|}
\ hline\ mathrm {N} & l &\ begin {array} {l}
\ text {Espectroscópico}\
\ text {Notación}
\ end {array} &\ frac {1} {2}\ mathcal {D} (N) &\ mathcal {D} (N) &\ begin {array} {l}
\ text {Acumulativo}\\
\ texto {de nucle-}\
\ texto {ons#}
\ end {array}\
\ hline 0 & 0 & 1\ mathrm {~s} & 1 & 2 & 2\
\ hline 1 & 1 & 1\ mathrm {p} & 3 & 6 & 8\
\ hline 2 & 0,2 & 2\ mathrm {~s}, 1 \ mathrm {~d} & 6 & 12 & 20\\
\ hline\ hline 3 & 1,3 & 2\ mathrm {p}, 1\ mathrm {f} & 10 & 20 & 40\
\ hline 4 & 0,2,4 & 3\ mathrm {~s}, 2\ mathrm {~d}, 1\ mathrm {~g} & 15 & 30 & 70\
\ hline
\ end {array} \ nonumber\]

Para niveles superiores hay discrepancias por lo que necesitamos un modelo más preciso para obtener una predicción más precisa. El otro problema con el modelo de oscilador es que predice que solo 4 niveles tendrán menor energía que el potencial de pozo de 50MeV (por lo tanto, solo 4 niveles de energía límite). La separación entre los niveles del oscilador es de hecho\( \hbar \omega=\sqrt{\frac{2 \hbar^{2} V_{0}}{m R_{0}^{2}}-\frac{(Z-1) e^{2}}{2 R_{0}^{3}}} \approx \sqrt{\frac{2 \hbar^{2} c^{2} V_{0}}{m c^{2} R_{0}^{2}}}\). Insertando los valores numéricos que encontramos\( \hbar \omega=\sqrt{\frac{2(200 M e V f m)^{2} \times 50 M e V}{938 M e V\left(1.25 f m A^{1 / 3}\right)^{2}}} \approx 51.5 A^{-1 / 3}\). Entonces la separación entre los niveles del oscilador es del orden de 10-20MeV.

Interacción de órbita de giro

Para predecir los números mágicos más altos, necesitamos tomar en cuenta otras interacciones entre los nucleones. La primera interacción que analizamos es el acoplamiento espín-órbita.

El potencial asociado puede escribirse como

\[\frac{1}{\hbar^{2}} V_{s o}(r) \hat{\vec{l}} \cdot \hat{\vec{s}} \nonumber\]

donde\( \hat{\vec{s}}\) y\(\hat{\vec{l}} \) son operadores de giro y momento angular para un solo nucleón. Este potencial se debe agregar al potencial de campo medio de un solo nucleón visto antes. Anteriormente hemos visto que en la interacción entre dos nucleones hubo un componente de espín. Este tipo de interacción motiva la forma del potencial anterior (que de nuevo se va a tomar en una imagen de campo medio).

Podemos calcular el producto punto con el mismo truco ya utilizado:

\[\langle\hat{\vec{l}} \cdot \hat{\vec{s}}\rangle=\frac{1}{2}\left(\hat{\vec{j}}^{2}-\hat{\vec{l}}^{2}-\hat{\bar{s}}^{2}\right)=\frac{\hbar^{2}}{2}\left[j(j+1)-l(l+1)-\frac{3}{4}\right] \nonumber\]

donde\(\hat{\vec{j}} \) es el momento angular total para el nucleón. Dado que el espín del nucleón es\( s=\frac{1}{2}\), los posibles valores de\(j\) son\( j=l \pm \frac{1}{2}\). Luego\(j(j+1)-l(l+1)=\left(l \pm \frac{1}{2}\right)\left(l \pm \frac{1}{2}+1\right)-l(l+1) \), y obtenemos

\ [\ langle\ hat {\ vec {l}}\ cdot\ hat {\ vec {s}}\ rangle=\ left\ {\ begin {array} {ll}
l\ frac {\ hbar^ {2}} {2} &\ text {para}\ mathrm {j} =\ mathrm {l} +\ frac {1} {2}\
- (+1)\ frac {\ hbar^ {2}} {2} &\ text {for}\ mathrm {j} =\ mathrm {l} -\ frac {1} {2}
\ end {array}\ right. \ nonumber\]

y el potencial total es

\ [V_ {n u c} (r) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
V_ {0} +V_ {s o}\ frac {l} {2} &\ text {para}\ mathrm {j} =1+\ frac {1} {2}\
V_ {0} -V_ {s o}\ frac {t+1} {2} &\ text {for}\ mathrm {j} =\ mathrm {l} -\ frac {1} {2}
\ end {array}\ right. \ nonumber\]

Ahora recordemos que tanto V ₀ es negativo y elige también V _así negativo. Entonces:

• cuando el giro se alinea con el momento angular (\(j=l+\frac{1}{2} \)) el potencial se vuelve más negativo, es decir, el pozo es más profundo y el estado más estrechamente ligado.
• cuando el giro y el momento angular son antialineados, la energía del sistema es mayor.

Así, los niveles de energía se dividen por el acoplamiento espín-órbita (véase la figura 5.3.5). Esta división es directamente proporcional al momento angular\(l\) (es mayor para mayor\(l\)):\(\Delta E=\frac{\hbar^{2}}{2}(2 l+1) \). Los dos estados en la misma configuración energética pero con el giro alineado o antialineado se llaman doblete.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Considera el nivel N = 3 h.o. El nivel\(1 f_{7 / 2} \) se empuja muy hacia abajo (debido al alto\(l\)). Entonces su energía es tan diferente que hace un caparazón por sí sola. Habíamos encontrado que el número de ocupación hasta N = 2 era 20 (el 3er número mágico). Entonces si tomamos la degeneración de\( \),\( \), obtenemos el 4to número mágico 28.

[Observe que ya que aquí\(j\) ya incluye el giro,\(D(j)=2 j+1\).]

Dado que el\( 1 f_{7 / 2}\) nivel ahora forma un caparazón por sí solo y ya no pertenece al caparazón N = 3, la degeneración residual de N = 3 es solo 12 en lugar de 20 como antes. A esta degeneración, podríamos esperar tener que sumar el nivel más bajo del colector N = 4. El más alto\(l\) posible para N = 4 se obtiene con\(n\) = 1 de la fórmula\(N=2(n-1)+l \rightarrow l=4\) (esto sería 1g). Entonces el nivel más bajo es para\(j=l+1 / 2=4+1 / 2=9 / 2\) con degeneración D = 2 (9/2 + 1) = 10. Esta nueva concha combinada comprende entonces 12 + 10 niveles. A su vez esto nos da el número mágico 50.

Figura\(\PageIndex{5}\): Los niveles de energía del nivel del oscilador armónico (etiquetado por N) se desplazan primero por el potencial de momento angular (2p, 1f). Cada nivel l se divide entonces por la interacción espín-órbita, que empuja la energía hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del giro y la alineación del momento angular (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Usando estas mismas consideraciones, las divisiones dadas por el acoplamiento espín-órbita pueden dar cuenta de todos los números mágicos e incluso predecir uno nuevo en 184:

• N = 4,\(1 \mathrm{~g} \rightarrow 1 g_{7 / 2}\) y\( 1 g_{9 / 2}\). Entonces tenemos 20 − 8 = 12 +D (9/2) = 10. Del 28 agregamos otro 22 para llegar al número mágico 50.
• N = 5,\(1 \mathrm{~h} \rightarrow 1 h_{9 / 2}\) y\(1 h_{11 / 2}\). El caparazón combina así los niveles N = 4 no incluidos ya arriba, y los\(D\left(1 h_{11 / 2}\right)=12\) niveles obtenidos de la\(N=51 h_{11 / 2}\). La degeneración de N = 4 fue de 30, de la cual restamos los 10 niveles incluidos en N = 3. Entonces tenemos\((30-10)+D\left(1 h_{11 / 2}\right)=20+12=32\). A partir del 50 añadimos llegar al número mágico 82.
• N = 6,\(1 \mathrm{i} \rightarrow 1 i_{11 / 2}\) y\(1 i_{13 / 2}\). La concha tiene así\(D(N=5)-D\left(1 h_{11 / 2}\right)+D\left(1 i_{13 / 2}\right)=42-12+14=44\) niveles (D (N) = (N + 1) (N + 2)). El número mágico previsto es entonces 126.
• \(N=7 \rightarrow 1 j_{15 / 2}\)se agrega al caparazón N = 6, para dar\(D(N=6)-D\left(1 i_{13 / 2}\right)+D\left(1 j_{15 / 2}\right)=56-14+16=58\), prediciendo un número mágico 184 aún no observado.

Figura\(\PageIndex{6}\): Predicción del modelo Shell de los números mágicos. Divisiones de nivel por niveles h.o., número l-cuántico y acoplamiento espín-órbita. Observe que otras variaciones en la posición de los niveles están realmente presentes (ver Krane Fig. 5.6). Aquí solo se muestran los cambios que conducen a nuevas agrupaciones de shell. (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Estas predicciones no dependen de la forma exacta del potencial de pozo cuadrado, sino solo del acoplamiento espín-órbita y su fuerza relativa a la interacción nuclear V ₀ como se establece en el potencial del oscilador armónico (habíamos visto que la separación entre los niveles del oscilador era del orden de 10 MeV.) En la práctica, si uno estudia con más detalle el pozo potencial, se encuentra que los niveles de oscilador con mayor altura\(l\) se reducen con respecto a los demás, potenciando así la brecha creada por el acoplamiento espín-órbita.

El modelo de shell que acabamos de presentar es un modelo bastante simplificado. Sin embargo, puede hacer muchas predicciones sobre las propiedades de los nucleidos. Por ejemplo, predice el espín nuclear y la paridad, el momento dipolar magnético y el momento cuadrupolar eléctrico, e incluso se puede utilizar para calcular la probabilidad de transiciones de un estado a otro como resultado de la desintegración radiactiva o reacciones nucleares.

Figura\(\PageIndex{7}\): Niveles de energía del Modelo Shell (de Krane Fig. 5.6). Izquierda: Niveles de energía calculados basados en el potencial. A la derecha de cada nivel están su capacidad y número acumulativo de nucleones hasta ese nivel. La interacción espín-órbita divide los niveles con l > 0 en dos nuevos niveles. Tenga en cuenta que el efecto shell es bastante evidente, y los números mágicos se reproducen exactamente.

Emparejamiento de espín y nucleones de valencia

En el modelo de concha extrema (o modelo de partículas independientes extremas), se supone que solo el último nucleón desapareado dicta las propiedades del núcleo. Una mejor aproximación sería considerar que todos los nucleones sobre una concha rellena contribuyen a las propiedades de un núcleo. Estos nucleones se llaman los nucleones de valencia.

Las propiedades que pueden predecirse por las características de los nucleones de valencia incluyen el momento dipolar magnético, el momento cuadrupolo eléctrico, los estados excitados y la paridad de espín (como veremos). El modelo de concha puede usarse no solo para predecir estados excitados, sino también para calcular la tasa de transiciones de un estado a otro debido a la desintegración radiactiva o reacciones nucleares.

A medida que se llenan los niveles de protones y neutrones, los nucleones de cada tipo se separan, dando un momento angular cero para el par. Este emparejamiento de nucleones implica la existencia de una fuerza de emparejamiento que disminuye la energía del sistema cuando los nucleones están emparejados.

Dado que los nucleones se emparejan, el espín total y la paridad de un núcleo solo viene dado por el último nucleón (s) desapareado (s) (que residen (s) en el nivel de energía más alto). Específicamente podemos tener ya sea un neutrón o un protón o un par neutrón-protón.

La paridad para un solo nucleón es\((-1)^{l} \), y la paridad general de un núcleo es el producto de la paridad de un solo nucleón. (La paridad indica si la función de onda cambia de signo al cambiar el signo de las coordenadas. Esto, por supuesto, está dictado por la parte angular de la función de onda —como en las coordenadas esféricas\( \) Entonces, si miras hacia atrás en la función de onda angular para un potencial central es fácil ver que los armónicos esféricos cambian de signo iff\(l\) es impar).

Obs.

El modelo de concha con fuerza de emparejamiento predice un giro nuclear I = 0 y paridad\(\Pi\) = par (o\(I^{\Pi}=0^{+}\)) para todos los nucleidos pares.

Núcleos pares impares

A pesar de su crudeza, el modelo de concha con la corrección de espín-órbita describe bien el espín y la paridad de todos los núcleos ODD-a. En particular, todos los núcleos ODD-a tendrán espín medio entero (ya que los nucleones, siendo fermiones, tienen espín medio entero).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

\({ }_{8}^{15} \mathrm{O}_{7}\)y\({ }_{8}^{17} \mathrm{O}_{9}\). (por supuesto\({ }^{16} \mathrm{O}\) tiene espín cero e incluso paridad porque todos los nucleones están emparejados). El primero ({} _ {8} ^ {15}\ mathrm {O} _ {7}\)) tiene un neutrón desapareado en la\(p_{1 / 2}\) concha, que\(l\) = 1,\(s\) = 1/2 y predeciríamos que el isótopo tiene espín 1/2 y paridad impar. El estado fundamental de\({ }_{8}^{17} \mathrm{O}_{9}\) en cambio tiene el último neutrón desapareado en la\(\mathrm{d}_{5 / 2}\) concha, con\(l\) = 2 y\(s\) = 5/2, lo que implica un giro 5/2 con paridad par. Ambas predicciones son confirmadas por experimentos.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Estos son nucleidos pares-impares (es decir, con A impar).

\(\rightarrow \frac{123}{51} S b_{72}\)tiene 1protón en\(1 \mathrm{~g}_{7 / 2}: \rightarrow \ \frac{7}{2}^{+}\).

\(\rightarrow \ \frac{123}{51} S b_{72}\)tiene 1protón en\(1 \mathrm{~g}_{7 / 2}: \rightarrow \ \frac{7}{2}^{+}\).

\(\rightarrow \ { }_{17}^{35} C l\)tiene 1protón en\(1 \mathrm{~d}_{3 / 2}: \rightarrow \ \frac{3}{2}^{+}\).

\(\rightarrow \ { }_{14}^{29} S i\)tiene 1 neutrón en\(2 \mathrm{~s}_{1 / 2}: \rightarrow \ \frac{1}{2}^{+}\).

\(\rightarrow \ { }_{14}^{28} S i\)tiene nucleones emparejados:\(\rightarrow \ 0^{+}\).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Hay algunos nucleidos que parecen ser excepciones:

\(\rightarrow \ \frac{121}{51} S b_{70}\)tiene último protón en\(2 \mathrm{~d}_{5 / 2} \) lugar de\(1 \mathrm{~g}_{7 / 2}: \rightarrow \frac{5}{2}^{+} \) (los detalles en el potencial podrían dar cuenta de la inversión del orden de dos niveles)

\(\rightarrow{ }_{62}^{147} \mathrm{Sn}_{85}\)tiene último protón en\( 2 \mathrm{f}_{7 / 2}\) lugar de\(1 \mathrm{~h}_{9 / 2}: \rightarrow \ \frac{7}{2}^{-} \).

\(\rightarrow{ }_{35}^{79} \mathrm{Br}_{44}\)tiene último neutrón en\(2 \mathrm{p}_{3 / 2} \) lugar de\(1 \mathrm{f}_{5 / 2}: \rightarrow \ \frac{3}{2}^{-} \).

\(\rightarrow{ }_{82}^{207} P b_{125}\). Aquí invertimos\( 1 \mathrm{i}_{13 / 2}\) con\( 3 \mathrm{p}_{1 / 2}\). Esto parece estar equivocado porque el nivel 1i debe ser bastante más enérgico que el de 3p. Sin embargo, cuando movemos un neutrón del 3p al 1i todos los neutrones en el nivel 1i ahora están emparejados, bajando así la energía de esta nueva configuración.

\(\rightarrow \ { }_{28}^{61} N i_{33} \ 1 \mathrm{f}_{5 / 2} \longleftrightarrow 2 \mathrm{p}_{3 / 2} \rightarrow\left(\frac{3}{2}^{-}\right)\)

\(\rightarrow \frac{197}{79} A u_{118} \ 1 \mathrm{f}_{5 / 2} \longleftrightarrow 3 \mathrm{p}_{3 / 2} \rightarrow\left(\frac{3}{2}^{+}\right)\)

Núcleos impares

Sólo cinco nucleidos estables contienen tanto un número impar de protones como un número impar de neutrones: los cuatro primeros nucleidos impares e impares\({ }_{1}^{2} \mathrm{H},{ }_{3}^{6} \mathrm{Li},{ }_{5}^{10} \mathrm{~B}\), y\( { }_{7}^{14} \mathrm{~N}\). Estos nucleidos tienen dos nucleones desapareados (o nucleidos impares), por lo que su espín es más complicado de calcular. El momento angular total puede tomar valores entre\(\left|j_{1}-j_{2}\right|\) y\(j_{1}+j_{2}\).

Dos procesos están en juego:

1. los núcleos tienden a tener el momento angular más pequeño, y
2. los espines nucleónicos tienden a alinearse (este fue el mismo efecto que vimos por ejemplo en el deuterón En cualquier caso, el espín nuclear resultante va a ser un número entero.

Resonancia magnética nuclear

El espín nuclear es importante en la espectroscopia química y la imagen médica. La manipulación del espín nuclear por ondas de radiofrecuencia es la base de la resonancia magnética nuclear y de la resonancia magnética. Entonces, la propiedad de espín de un isótopo en particular se puede predecir cuando se conoce el número de neutrones y protones y el modelo de concha. Por ejemplo, es fácil predecir que el hidrógeno, que está presente en la mayoría de las células vivas, tendrá spin 1/2. Ya vimos que el deuterón en cambio tiene giro 1. ¿Qué pasa con el carbono, que también se encuentra comúnmente en biomoléculas? \({ }_{6}^{12} \mathrm{C}\)es por supuesto y núcleo par-par, así que esperamos que tenga spin-0. \({ }_{6}^{13} \mathrm{C}_{7}\)en cambio tiene un neutrón desapareado. Después\({ }^{13} \mathrm{C}\) tiene spin-\(\frac{1}{2}\).

¿Por qué el espín nuclear puede ser manipulado por campos electromagnéticos? A cada giro hay un dipolo magnético asociado, dado por:

\[\mu=\frac{g \mu_{N}}{\hbar} I=\gamma_{N} I \nonumber\]

donde\(\gamma_{N} \) se llama la relación giromagnética,\(g\) es el factor g (que vamos a explicar) y\(\mu_{N} \) es el magnetón nuclear\( \mu_{N}=\frac{e \hbar}{2 m} \approx 3 \times 10^{-8} \mathrm{eV} / \mathrm{T}\) (con\(m\) la masa protónica). El\(g\) factor se deriva de una combinación del factor g de momento angular y el factor g de giro. Para protones\(g_{l}=1\), mientras que es\(g_{l}=0\) para neutrones ya que no tienen ningún cargo. El factor g de espín se puede calcular resolviendo la ecuación de la mecánica cuántica relativista, por lo que es una propiedad de las propias partículas (y un número adimensional). Para protones y neutrones tenemos:\(g_{s, p}=5.59\) y\(g_{s, n}=-3.83\).

Para tener una definición operativa del dipolo magnético asociado a un momento angular dado, lo definimos como el valor esperado de\(\hat{\mu} \) cuando el sistema se encuentra en el estado con el momento\(z\) angular máximo:

\[\langle\mu\rangle=\frac{\mu_{N}}{\hbar}\left\langle g_{l} l_{z}+g_{s} s_{z}\right\rangle=\frac{\mu_{N}}{\hbar}\left\langle g_{l} j_{z}+\left(g_{s}-g_{l}\right) s_{z}\right\rangle \nonumber\]

Entonces bajo nuestras suposiciones\( j_{z}=j \hbar\) (y por supuesto\( l_{z}=\hbar m_{z}\) y\( s_{z}=\hbar m_{s}\)) tenemos

\[\langle\mu\rangle=\frac{\mu_{N}}{\hbar}\left(g_{l} j \hbar+\left(g_{s}-g_{l}\right)\left\langle s_{z}\right\rangle\right) \nonumber\]

¿Cómo podemos calcular\(s_{z} \)? Hay dos casos, ya sea\( j=l+\frac{1}{2}\) o\( j=l-\frac{1}{2}\). Y fíjense que queremos encontrar la proyección de\(\hat{\vec{S}} \) en el estado con el que se alinea\(\hat{\vec{J}} \), por lo que queremos el valor de expectativa de\( \frac{|\hat{S} \cdot \hat{J}| \hat{J}}{|\hat{J}|^{2}}\). Al reemplazar a los operadores con sus valores de expectativa (en el caso de que\(j_{z}=j \hbar \)), obtenemos

\(\left\langle s_{z}\right\rangle=+\frac{\hbar}{2}\)para\(j=l+\frac{1}{2}\).

\(\left\langle s_{z}\right\rangle=-\frac{\hbar}{2} \frac{j}{j+1}\)para\(j=l-\frac{1}{2}\).

(así tenemos una pequeña corrección debido a que estamos tomando un valor de expectativa con respecto a un estado inclinado y no al estado habitual alineado con\( \hat{S}_{z}\). Recuerde que el estado está bien definido en la representación acoplada, por lo que los estados de representación desacoplados ya no son buenos autoestados).

Finalmente el dipolo es

\[\langle\mu\rangle=\mu_{N}\left[g_{l}\left(j-\frac{1}{2}\right)+\frac{g_{s}}{2}\right] \nonumber\]

para\( j=l+\frac{1}{2}\) y

\[ \langle\mu\rangle=\mu_{N} g_{l}\left[g_{l} \frac{j\left(j+\frac{3}{2}\right)}{j+1}-\frac{g_{s}}{2} \frac{1}{j+1}\right] \nonumber\]

de lo contrario. Observe que el factor g exacto o la relación giromagnética de un isótopo es difícil de calcular: esto es solo una aproximación basada en el último modelo de nucleones desapareados, las interacciones entre todos los nucleones en general deben tenerse en cuenta.

Estructuras más complejas

Otras características de la estructura nuclear pueden explicarse por interacciones y modelos más complejos. Por ejemplo, todos los nucleidos pares-pares presentan un estado anómalo de 2 ⁺ excitado (Dado que todos los nucleidos pares son 0 ⁺ tenemos que mirar los niveles excitados para aprender más sobre la configuración de espín). Esto es un indicio de que las propiedades de todos los nucleones juegan un papel en la definición de la estructura nuclear. Estos son exactamente los términos en los nucleones hamiltonianos que habíamos decidido descuidar en primera aproximación. Un modelo diferente sería entonces considerar todos los nucleones (en lugar de un solo nucleones en un potencial externo) y describir su propiedad de manera colectiva. Esto es similar a un modelo de gota de líquido. Entonces las propiedades importantes serán las vibraciones y rotaciones de este modelo.

Un enfoque diferente es, por ejemplo, considerar no solo los efectos del último nucleón desapareado sino también todos los nucleones fuera del último caparazón cerrado. Para más detalles sobre estos modelos, consulte Krane.