6.2: Evolución de los paquetes de onda

En la Sección 6.1.1 observamos la evolución de una función de onda general bajo un hamiltoniano independiente del tiempo. La solución a la ecuación de Schrödinger se dio en términos de una superposición lineal de funciones propias de energía, adquiriendo cada una un factor de fase dependiente del tiempo. La solución fue entonces la superposición de ondas cada una con una frecuencia diferente.

Ahora queremos estudiar el caso donde las funciones propias forman una base continua,\( \left\{\varphi_{k}\right\} \rightarrow\{\varphi(k)\}\). Más precisamente, queremos describir cómo evoluciona una partícula libre en el tiempo. Ya encontramos las funciones propias de la partícula libre Hamiltoniana (\( \mathcal{H}=\hat{p}^{2} / 2 m\)): fueron dadas por las funciones propias de impulso\(e^{i k x} \) y describen más adecuadamente una onda viajera. Una partícula localizada en el espacio puede ser descrita por wavepacket\( \psi(x, 0)\) inicialmente bien localizada en el espacio x (por ejemplo, una caja de ondas gaussiana).

¿Cómo evoluciona esta función de onda en el tiempo? Primero, siguiendo la Sección 2.2.1, expresamos la función de onda en términos de funciones propias de impulso (y energía):

\[\psi(x, 0)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \bar{\psi}(k) \mathrm{e}^{i k x} d k, \nonumber\]

Vimos que esto es equivalente a la transformada de Fourier de\(\bar{\psi}(k)\), entonces\(\psi(x, 0) \) y\( \bar{\psi}(k)\) son un par de Fourier (se pueden obtener unos de otros a través de una transformada de Fourier).

Así, la función\(\bar{\psi}(k)\) se obtiene transformando Fourier la función\(t\) onda=0. Observe nuevamente que la función\( \bar{\psi}(k)\) es el equivalente de variable continua de los coeficientes\(c_{k}(0)\).

El segundo paso es evolucionar en el tiempo la superposición. De la sección anterior sabemos que cada función propia de energía evoluciona adquiriendo una fase\( e^{-i \omega(k) t}\), donde\(\omega(k)=E_{k} / \hbar\) está el valor propio de la energía. Entonces la evolución temporal de la función de onda es

\[\psi(x, t)=\int_{-\infty}^{\infty} \bar{\psi}(k) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \varphi(k)} d k, \nonumber\]

donde

\[\varphi(k)=k x-\omega(k) t. \nonumber\]

Para la partícula libre que tenemos\( \omega_{k}=\frac{\hbar k^{2}}{2 m}\). Si la partícula encuentra en cambio un potencial (como en la barrera potencial o problemas potenciales del pozo que ya vimos)\( \omega_{k}\) podría tener una forma más compleja. Así consideraremos este caso más general.

Ahora bien, si\(\bar{\psi}(k)\) está fuertemente alcanzado su punto máximo alrededor\(k=k_{0}\), es una aproximación razonable a Taylor expandirse\(\varphi(k)\) sobre\(k_{0} \). Entonces podemos aproximarnos\(\bar{\psi}(k)\) por

\[\bar{\psi}(k) \approx e^{-\frac{\left(k-k_{0}\right)^{2}}{4(\Delta k)^{2}}} \nonumber\]

y manteniendo términos de segundo orden en\(k-k_{0}\), obtenemos

\[\psi(x, t) \propto \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{\left(k-k_{0}\right)^{2}}{4(\Delta k)^{2}}} \exp \left[-\mathrm{i} k x+\mathrm{i}\left\{\varphi_{0}+\varphi_{0}^{\prime}\left(k-k_{0}\right)+\frac{1}{2} \varphi_{0}^{\prime \prime}\left(k-k_{0}\right)^{2}\right\}\right], \nonumber\]

donde

\ [\ begin {alineado}
\ varphi_ {0} &=\ varphi\ izquierda (k_ {0}\ derecha) =k_ {0} x-\ omega_ {0} t,\\
\ varphi_ {0} ^ {\ prime} &=\ frac {d\ varphi\ izquierda (k_ {0}\ derecha)} {d k} =x-v_ {g} t,\\
\ varphi_ {0} ^ {\ prime\ prime} &=\ frac {d^ {2}\ varphi\ izquierda (k_ {0}\ derecha)} {d k^ {2}} =-\ alfa t,
\ end {alineado}\ nonumber\]

\[-\mathrm{i} k x+\mathrm{i}\left\{k_{0} x-\omega_{0} t+\left(x-v_{g} t\right)\left(k-k_{0}\right)+\frac{1}{2} \varphi_{0}^{\prime \prime}\left(k-k_{0}\right)^{2}\right\} \nonumber\]

con

\[\omega_{0}=\omega\left(k_{0}\right), \quad v_{g}=\frac{d \omega\left(k_{0}\right)}{d k}, \quad \alpha=\frac{d^{2} \omega\left(k_{0}\right)}{d k^{2}}, \nonumber\]

Como es habitual, la varianza de la función de onda inicial y de su transformada de Fourier se relaciona:\(\Delta k=1 /(2 \Delta x)\), donde\(\Delta x\) está el ancho inicial del paquete de onda y\(\Delta k\) la dispersión en el momento. Cambiando la variable de integración a\(y=\left(k-k_{0}\right) /(2 \Delta k)\), obtenemos

\[\psi(x, t) \propto \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(k_{0} x-\omega_{0} t\right)} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \beta_{1} y-\left(1+\mathrm{i} \beta_{2}\right) y^{2}} d y \nonumber\]

donde

\ [\ comenzar {alineado}
\ beta_ {1} &=2\ Delta k\ izquierda (x-x_ {0} -v_ {g} t\ derecha),\\
\ beta_ {2} &=2\ alfa (\ Delta k) ^ {2} t,
\ final {alineado}\ nonumber\]

La expresión anterior se puede reorganizar para dar

\[\psi(x, t) \propto e^{i\left(k_{0} x-\omega_{0} t\right)-\left(1+i \beta_{2}\right) \beta^{2} / 4} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\left(1+i \beta_{2}\right)\left(y-y_{0}\right)^{2}} d y, \nonumber\]

dónde\(y_{0}=\mathrm{i} \beta / 2 \) y\(\beta=\beta_{1} /\left(1+\mathrm{i} \beta_{2}\right) \).

Nuevamente cambiando la variable de integración a\(z=\left(1+\mathrm{i} \beta_{2}\right)^{1 / 2}\left(y-y_{0}\right)\), obtenemos

\[\psi(x, t) \propto\left(1+\mathrm{i} \beta_{2}\right)^{-1 / 2} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(k_{0} x-\omega_{0} t\right)-\left(1+\mathrm{i} \beta_{2}\right) \beta^{2} / 4} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-z^{2}} d z. \nonumber\]

La integral ahora solo se reduce a un número. De ahí que obtengamos

\[\psi(x, t) \propto \frac{e^{i\left(k_{0} x-\omega_{0} t\right)} e^{-\frac{\left(x-x_{0}-v_{g} t\right)^{2}\left[1-i 2 \alpha \Delta k^{2} t\right]}{4 \sigma(t)^{2}}}}{\sqrt{1+i 2 \alpha(\Delta k)^{2} t}}, \nonumber\]

donde

\[\sigma^{2}(t)=(\Delta x)^{2}+\frac{\alpha^{2} t^{2}}{4(\Delta x)^{2}}. \nonumber\]

Tenga en cuenta que incluso si hicimos una aproximación antes por Taylor expandiendo el factor de fase\(\varphi(k)\) aproximadamente\(k=k_{0}\), la función de onda anterior sigue siendo idéntica a nuestra función de onda original en\(t\) = 0.

Se escribe la densidad de probabilidad de nuestra partícula en función de los tiempos

\[|\psi(x, t)|^{2} \propto \sigma^{-1}(t) \exp \left[-\frac{\left(x-x_{0}-v_{g} t\right)^{2}}{2 \sigma^{2}(t)}\right]. \nonumber\]

De ahí que la distribución de probabilidad sea un gaussiano, de ancho característico\(\sigma(t) \) (aumentando en el tiempo), que alcanza su punto máximo en\(x=x_{0}+v_{g} t \). Ahora, la posición más probable de nuestra partícula obviamente coincide con el pico de la función de distribución. Así, la posición más probable de la partícula viene dada por

\[x=x_{0}+v_{g} t. \nonumber\]

Se puede ver que la partícula se mueve efectivamente a la velocidad uniforme

\[v_{g}=\frac{d \omega}{d k}, \nonumber\]

que se conoce como la velocidad de grupo. En otras palabras, una onda plana viaja a la velocidad de fase\(v_{p}=\omega / k\), mientras que un paquete de ondas viaja a la velocidad de grupo,\(v_{g}=d \omega / d t v_{g}=d \omega / d t\). A partir de la relación de dispersión para las ondas de partículas la velocidad del grupo es

\[v_{g}=\frac{d(\hbar \omega)}{d(\hbar k)}=\frac{d E}{d p}=\frac{p}{m}. \nonumber\]

que es idéntica a la velocidad clásica de las partículas. De ahí que la relación de dispersión resulte consistente con la física clásica, después de todo, tan pronto como nos damos cuenta de que las partículas deben identificarse con paquetes de ondas en lugar de ondas planas.

Tenga en cuenta que el ancho de nuestro paquete de ondas crece a medida que avanza el tiempo: el tiempo característico para que un paquete de onda de ancho original\( \Delta x \Delta x\) duplique en extensión espacial es

\[t_{2} \sim \frac{m(\Delta x)^{2}}{\hbar}. \nonumber\]

Entonces, si un electrón se localiza originalmente en una región de escala atómica (es decir,\( \Delta x \sim 10^{-10} \mathrm{~m}\)) entonces el tiempo de duplicación es solo de aproximadamente 10 ⁻¹⁶ s. Claramente, los paquetes de ondas de partículas (para partículas que se mueven libremente) se propagan muy rápidamente.

La velocidad de propagación de un paquete de onda se rige en última instancia por la segunda derivada de\( \omega(k)\) con respecto a\(k\),\( \frac{\partial^{2} \omega}{\partial k^{2}}\). Es por ello que la relación entre\(\omega\) y\(k \) se conoce generalmente como una relación de dispersión, porque gobierna cómo los paquetes de onda se dispersan a medida que avanza el tiempo.

Si consideramos las ondas de luz, entonces\( \omega\) es una función lineal de\(k\) y la segunda derivada de\(\omega\) con respecto a\(k\) es cero. Esto implica que no hay dispersión de paquetes de onda, los paquetes de onda se propagan sin cambiar de forma. Esto por supuesto es cierto para cualquier otra ola para la que\(\omega(k) \propto k \). Otra propiedad de las relaciones de dispersión lineal es que la velocidad de fase y la velocidad de grupo\( v_{g}=d \omega / d k\) son idénticas.\(v_{p}=\omega / k \) Así, un pulso de luz se propaga a la misma velocidad que una onda de luz plana; ambos se propagan a través de un vacío a la velocidad característica\( c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\).

Por supuesto, la relación de dispersión para las ondas de partículas no es lineal en\(k\) (por ejemplo, para partículas libres es cuadrática). Por lo tanto, las ondas planas de partículas y los paquetes de ondas de partículas se propagan a diferentes velocidades, y los paquetes de ondas de partículas también se dispersan gradualmente a medida que avanza el tiempo.