8.1: Interacción de la Radiación con la Materia

Sección transversal

Clásicamente, la sección transversal es el área en la que un proyectil colisionante puede impactar. Así, por ejemplo, la sección transversal de un objetivo esférico de radio r viene dada por\(\pi r^{2}\). La sección transversal tiene entonces unidades de un área. Consideremos por ejemplo un núcleo con número de masa A. El radio del núcleo es entonces\(R \approx R_{0} A^{1 / 3}=1.25 A^{1 / 3} \mathrm{fm}\) y la sección transversal clásica sería\(\sigma=\pi R_{0}^{2} A^{2 / 3} \approx 5 A^{2 / 3} \mathrm{fm}^{2}\). Para un núcleo pesado típico, como el oro, A = 197, tenemos\(\sigma \approx 100 \mathrm{fm}^{2}=1 \text { barn }\left(\right.\text { symbol } \mathrm{b}, 1 b=10^{-28} \mathrm{~m}^{2}=10^{-24} \mathrm{~cm}^{2}=100 \mathrm{fm}^{2}\).

Sin embargo, al dispersar una partícula de un objetivo, lo que se vuelve importante no es la colisión frontal (como entre bolas) sino la interacción entre la partícula y el objetivo (por ejemplo, Coulomb, interacción nuclear, interacción débil, etc.). Para los objetos macroscópicos los detalles de estas interacciones se agrupan y ocultan. Para partículas individuales este no es el caso, y por ejemplo también podemos tener una colisión aunque la distancia entre el proyectil y el objetivo sea mayor que el radio del objetivo. Así, la sección transversal adquiere un significado diferente y ahora se define como el área efectiva o más precisamente como una medida de la probabilidad de colisión. Incluso en la analogía clásica, es fácil ver por qué la sección transversal tiene este significado estadístico, ya que en una colisión hay una cierta distribución (probabilística) de la distancia de impacto. La sección transversal también describe la probabilidad de que ocurra una reacción (nuclear) dada, una reacción que generalmente puede escribirse como:

\[a+X \rightarrow X^{\prime}+b \quad \text { or } \quad X(a, b) X^{\prime} \nonumber\]

donde\(X\) es un objetivo pesado y un proyectil pequeño (como un neutrón, protón, alfa...) mientras\(X^{\prime}\) y b son los productos de reacción (nuevamente siendo b nucleones o núcleo ligero, o en algunos casos un rayo gamma).

Entonces deja\(I_{a}\) ser la corriente de partículas entrantes, golpeando en un objetivo pesado (por lo tanto estacionario). El producto pesado también\(X^{\prime}\) será casi estacionario y solo b escapará del material y se medirá. Así observaremos los\(b\) productos que llegan a un detector a un ritmo\(R_{b}\). Si hay n núcleos objetivo por unidad de área, la sección transversal se puede escribir como

\[\sigma=\frac{R_{b}}{I_{a} n} \nonumber\]

Esta cantidad no siempre concuerda con la sección transversal estimada con base en el radio del núcleo. Por ejemplo, la sección x de dispersión de protones puede ser mayor que los neutrones, debido a la interacción de Coulomb. La sección X de neutrinos entonces será aún más pequeña, porque solo interactúan a través de la interacción débil.

Sección transversal diferencial

Las partículas salientes (\(b\)) están dispersas en todas las direcciones. Sin embargo, la mayoría de las veces el detector solo ocupa una pequeña región de espacio. Por lo tanto, solo podemos medir la tasa\(R_{b}\) en una ubicación determinada, identificada por los ángulos\(\vartheta, \varphi\). Lo que realmente estamos midiendo es la tasa de partículas dispersas en el ángulo sólido pequeño\(d \Omega, r(\vartheta, \varphi)\), y la sección transversal relevante es la sección transversal diferencial

\[\frac{d \sigma}{d \Omega}=\frac{r(\vartheta, \varphi)}{4 \pi I_{a} n} \nonumber\]

A partir de esta cantidad, la sección transversal total, definida anteriormente, puede calcularse como

\[\sigma=\int_{4 \pi} \frac{d \sigma}{d \Omega} d \Omega=\int_{0}^{\pi} \sin \vartheta d \vartheta \int_{0}^{2 \pi} d \varphi \frac{d \sigma}{d \Omega} \nonumber\]

(Observe que habiendo agregado el factor\(4 \pi\) da\(\sigma=4 \pi \frac{d \sigma}{d \Omega}\) por constante\(\frac{d \sigma}{d \Omega}\)).

Sección transversal doblemente diferencial

Cuando uno también está interesado en la energía de las partículas salientes\(E_{b}\), porque esto puede dar información por ejemplo sobre la estructura del objetivo o sobre la característica de la interacción proyectil-objetivo, la cantidad que se mide es la sección transversal en función de la energía. Esto puede ser simplemente

\[\frac{d \sigma}{d E_{b}} \nonumber\]

si el detector es sensible a la energía pero recoge partículas en cualquier dirección, o la sección transversal doblemente diferencial

\[\frac{d^{2} \sigma}{d \Omega d E_{b}} \nonumber\]

Dispersión y absorción de neutrones

Cuando los neutrones viajan dentro de un material, sufrirán dispersión (elástica e inelástica) así como otras reacciones, mientras interactúan con los núcleos a través de la fuerte fuerza nuclear. Dado un haz de neutrones con intensidad\(I_{0}\), al viajar a través de la materia interactuará con los núcleos con una probabilidad dada por la sección transversal total\(\sigma_{T}\). A altas energías, reacciones como (n, p),\((\mathrm{n}, \alpha)\) son posibles, pero a menor energía generalmente lo que sucede es la captura del neutrón\((\mathrm{n}, \gamma)\) con la emisión de energía en forma de rayos gamma. Entonces, al cruzar una pequeña región del espacio dx el haz se reduce en una cantidad proporcional al número de núcleos en esa región:

\[d I=-I_{0} \sigma_{T} n d x \quad \rightarrow \quad I(x)=I_{0} e^{-\sigma_{T} n x} \nonumber\]

Esta fórmula, sin embargo, es demasiado simplista: por un lado la sección transversal depende de la energía de neutrones (la sección transversal aumenta a menor velocidad a medida que\(1 / v\) y a energías más altas, la sección transversal puede presentar algunas resonancias, algunos picos) y los neutrones perderán parte de su energía mientras viajan, así la sección transversal real dependerá de la posición. Por otro lado, no todas las reacciones son reacciones de absorción, muchas de ellas “producirán” otro neutrón (es decir, solo cambiarán la energía del neutrón o su dirección, no atenuando así el haz). Entonces necesitamos una mejor descripción del destino de un haz de neutrones en la materia. Por ejemplo, cuando un neutrón con energía\(\sim 1 \mathrm{MeV}\) ingresa al material, primero se ralentiza por colisiones elásticas e inelásticas y luego finalmente se absorbe.

Entonces queremos saber cuántas colisiones son necesarias para ralentizar un neutrón y para calcularlo, primero necesitamos saber cuánta energía pierde el neutrón en una colisión. Diferentes materiales pueden tener diferentes secciones transversales, sin embargo el intercambio de energía en colisión es mucho mayor cuanto más ligero sea el objetivo. Considera una colisión elástica con un núcleo de masa M. En el marco de laboratorio, el núcleo está inicialmente en reposo y el neutrón tiene energía\(E_{0}\) e impulso\(m v_{0}\). Después de la dispersión, la energía de neutrones es\(E_{1}\), velocidad\(\vec{v}_{1}\) en ángulo\(\varphi\) con\(\vec{v}_{0}\), mientras que el retroceso del núcleo da un impulso\(M \vec{V}\) en un ángulo\(\psi\) (usaré la notación\(w\) para el

Figura\(\PageIndex{1}\): Sección transversal\(\sigma(E) \) para las reacciones de neutrón-HE3. Los datos y la parcela se pueden obtener en línea en http://t2.lanl.gov/data/ndviewer.html. (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Figura\(\PageIndex{2}\): Sección transversal\(\sigma(E) \) para las reacciones Neutrón-U235. Observe la\(1 / v \) dependencia a energías superiores y resonancias a energías más bajas. (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

magnitud de un vector\(\vec{w}, w=|\vec{w}|\)). La colisión se analiza mejor en el marco del centro de masa, donde la condición de dispersión elástica implica que las velocidades relativas solo cambian su dirección pero no su magnitud.

El centro de la velocidad másica se define como\(\vec{v}_{C M}=\frac{m \vec{v}_{0}+M \dot{V}_{0}}{m+M}=\frac{m}{m+M} \vec{v}_{0}\). Las velocidades relativas en el marco del centro de masa se definen como\(\vec{u}=\vec{v}-\vec{v}_{C M}\). Podemos calcular la energía de neutrones (cinética) después de la colisión de\(E_{1}=\frac{1}{2} m\left|\vec{v}_{1}\right|^{2}\). Una expresión para\(\left|\vec{v}_{1}\right|^{2}\) se obtiene a partir de la velocidad CM:

\[ \left|\vec{v}_{1}\right|^{2}=\left|\vec{u}_{1}+\vec{v}_{C M}\right|^{2}=\left|\vec{u}_{1}\right|^{2}+\left|\vec{v}_{C M}\right|^{2}+2 \vec{u}_{1} \cdot \vec{v}_{C M}=u_{1}^{2}+v_{C M}^{2}+2 u_{1} v_{C M} \cos \vartheta \nonumber\]

donde definimos\(\vartheta\) como el ángulo de dispersión en el marco del centro de masa (ver Figura\(\PageIndex{3}\)).

Figura\(\PageIndex{3}\): Dispersión de neutrones desde un núcleo. Izquierda, marco de laboratorio. Marco derecho, centro de masa (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Ante el supuesto de dispersión elástica, tenemos\(\left|\vec{u}_{1}\right|=\left|\vec{u}_{0}\right|=u_{0}\), pero\(u_{0}=v_{0}-v_{C M}=v_{0}\left(1-\frac{m}{m+M}\right)=\frac{M}{m+M} v_{0}\).

Por último, podemos expresarlo todo en términos de\(v_{0}\):

\[\left|\vec{v}_{1}\right|^{2}=\frac{M^{2}}{(m+M)^{2}} v_{0}^{2}+\frac{m^{2}}{(m+M)^{2}} v_{0}^{2}+2 \frac{M}{(m+M)} v_{0} \frac{m}{(m+M)} v_{0} \cos \vartheta=v_{0}^{2} \frac{M^{2}+m^{2}+2 m M \cos \vartheta}{(m+M)^{2}} \nonumber\]

Ahora simplificamos esta expresión haciendo la aproximación\(M / m \approx A\), donde A es el número de masa del núcleo.

En cuanto a la energía de neutrones, finalmente tenemos

\[E_{1}=E_{0} \frac{A^{2}+1+2 A \cos \vartheta}{(A+1)^{2}}, \nonumber\]

Esto significa que la energía final puede ser igual a\(E_{0}\) (la inicial) si\(\vartheta=0\) —correspondiente a ninguna colisión— y alcanza un valor mínimo de\(E_{1}=E_{0} \frac{(A-1)^{2}}{(A+1)^{2}}=\alpha E_{0} \text { for } \vartheta=\pi \text { (here } \left.\alpha=\frac{(A-1)^{2}}{(A+1)^{2}}\right)\).

Observe que a partir de esta expresión es claro que el neutrón pierde más energía en el impacto con núcleos más ligeros, en particular toda la energía en el impacto con protón:

• Si\(A \gg 1, E_{1} \approx E_{0} \frac{A^{2}+2 A \cos \vartheta}{A^{2}} \approx E_{0}\), es decir, casi no se pierde energía.
• Si\(A=1, E_{1}=E_{0} \frac{2+2 \cos \vartheta}{4}=E_{0} \cos \left(\frac{\vartheta}{2}\right)^{2}\), y por\(\vartheta=\pi\) toda la energía se pierde.

Para baja energía, la sección transversal es independiente de\(\vartheta\) por lo tanto tenemos una distribución plana de las energías salientes: la probabilidad de dispersarse en cualquier dirección es constante, por lo tanto\(P(\cos \vartheta)=\frac{1}{2}\). ¿Cuál es la probabilidad de una energía dada\(E_{1}\)?

Figura\(\PageIndex{4}\): Distribución de probabilidad de la energía saliente en dispersión de neutrones desde un núcleo. (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Nosotros tenemos\(P\left(E_{1}\right) d E_{1}=-P(\cos \vartheta) d(\cos \vartheta)=-\frac{1}{2} \sin \vartheta d \vartheta\). Entonces, ya que\(\frac{d E}{d \vartheta}=-\frac{2 E_{0} A}{(A+1)^{2}} \sin \vartheta\), la probabilidad de una energía de dispersión dada es constante, como se esperaba, e igual a\(P\left(E_{1}\right)=\frac{(A+1)^{2}}{4 E_{0} A}\). Observe que la probabilidad es diferente a cero solo para\(\alpha E_{0} \leq E_{1} \leq E_{0}\). La energía de dispersión promedio es entonces\(\left\langle E_{1}\right\rangle=E_{0} \frac{1+\alpha}{2}\) y la energía promedio perdida en un evento de dispersión es\(\left\langle E_{\text {loss}}\right\rangle=E_{0} \frac{1-\alpha}{2}\).

Todavía requiere muchas colisiones para perder suficiente energía para que sea probable una captura final. ¿Cuántos?

La energía promedio después de una colisión es\(\left\langle E_{1}\right\rangle=E_{0} \frac{1+\alpha}{2}\). Después de dos colisiones se puede aproximar por\( \left\langle E_{2}\right\rangle \approx\)\(\left\langle E_{1}\right\rangle \frac{1+\alpha}{2}=E_{0}\left(\frac{1+\alpha}{2}\right)^{2}\). Entonces, después de n colisión, tenemos\(\left\langle E_{n}\right\rangle \approx E_{0}\left(\frac{1+\alpha}{2}\right)^{n}=E_{0}\left(\frac{\left\langle E_{1}\right\rangle}{E_{0}}\right)^{n}\). Así, si queremos saber cuántas colisiones se necesitan para alcanzar una energía térmica promedio\(E_{t h}=\left\langle E_{n}\right\rangle\) necesitamos calcular n:

\[\frac{E_{t h}}{E_{0}}=\frac{\left\langle E_{n}\right\rangle}{E_{0}} \approx\left(\frac{\left\langle E_{1}\right\rangle}{E_{0}}\right)^{n} \quad \rightarrow \quad n \log \left(\frac{\left\langle E_{1}\right\rangle}{E_{0}}\right)=\log \left(\frac{E_{t h}}{E_{0}}\right) \quad \rightarrow \quad n=\log \left(\frac{E_{t h}}{E_{0}}\right) / \log \left(\frac{\left\langle E_{1}\right\rangle}{E_{0}}\right) \nonumber\]

Sin embargo, este cálculo no es muy preciso, ya que la aproximación que hicimos, que podemos calcular la energía promedio después de la\(n^{t h}\) dispersión\(\left\langle E_{n}\right\rangle\) considerando solo la media después de la\((n-1)^{t h}\) dispersión no es buena, ya que la distribución de energía no alcanza su pico alrededor de su promedio (sino es bastante plano). Considere en su lugar el registro de cantidad\(\left(\frac{E_{n-1}}{E_{n}}\right)\) y tome el promedio sobre la energía final posible (tenga en cuenta que esto es lo mismo que calcular para la primera colisión):

\[\left\langle\log \left(\frac{E_{n-1}}{E_{n}}\right)\right\rangle=\int_{\alpha E_{n-1}}^{E_{n-1}} \log \left(\frac{E_{n-1}}{E_{n}}\right) P\left(E_{n}\right) d E_{n}=\int_{\alpha E_{n-1}}^{E_{n-1}} \log \left(\frac{E_{n-1}}{E_{n}}\right) \frac{(A+1)^{2}}{4 A E_{n-1}} d E_{n}=1+\frac{(A-1)^{2}}{2 A} \log \left(\frac{A-1}{A+1}\right) \nonumber\]

La expresión\(\xi=\left\langle\log \left(\frac{E_{n-1}}{E_{n}}\right)\right\rangle\) no depende de la energía, sino sólo del núcleo moderador (depende de A).

Entonces tenemos eso\(\left\langle\log \left(\frac{E_{0}}{E_{n}}\right)\right\rangle=\left\langle\log \left(\frac{E_{n-1}}{E_{n}}\right)^{n}\right\rangle \text { or }\left\langle\log \left(E_{n}\right)\right\rangle=\log \left(E_{0}\right)-n \xi\), a partir del cual podemos calcular el número En En de colisiones necesarias para llegar a cierta energía:

\[n\left(E_{0} \rightarrow E_{t h}\right)=\frac{1}{\xi} \log \left(\frac{E_{t h}}{E_{0}}\right) \nonumber\]

con\(\xi\) la pérdida de energía logarítmica promedio:

\[\xi=1+\frac{(A-1)^{2}}{2 A} \log \left(\frac{A-1}{A+1}\right) \nonumber\]

Para protones\(\left({ }^{1} \mathrm{H}\right), \xi=1\) y se necesitan 18 colisiones a neutrones moderados emitidos en fisión\((E=2 \mathrm{MeV})\) mientras que se necesitan 2200 colisiones en\(238 \mathrm{U}\).

\ [\ begin {array} {lcccc}
\ hline\ text {Material} &\ mathrm {A} &\ alpha &\ xi &\ mathrm {n}\
\\ hline\ hline\ mathrm {H} & 1 & 0 & 1 & 18.2\
\ mathrm {H} _ {2} 0 & 1\ & 16 & - & 0.920 & 19.8\
\ mathrm {D} y amp; 2 & 0.111 & 0.725 & 25.1\\
\ mathrm {Él} & 4 & 0.360 & 0.425 & 42.8\
\ mathrm {Ser} & 9 & 0.640 & 0.207 & 88.1\\
\ mathrm {C} & 12 & 0.716 & 0.158 & 115\\
\ mathrm {U} & 238 & 0.983 & amp; 0.0084 & 2172\\
\ hline
\ end {array}\ nonumber\]

Interacción de partículas cargadas

Las partículas cargadas (como partículas alfa y electrones/positrones) que atraviesan la materia pueden interactuar tanto con los núcleos —a través de la interacción nuclear y la interacción culombios— como con la nube de electrones, a través de la interacción Coulomb. Si bien los efectos de una colisión con el electrón ligero van a afectar a la partícula colisionante mucho menos que un impacto con el núcleo pesado, la probabilidad de tal colisión es mucho mayor. Esto se puede entender intuitivamente analizando el tamaño efectivo del núcleo y la nube electrónica. Si bien el núcleo tiene un radio de aproximadamente 8fm, el radio atómico está en el orden de los angstroms\(\text { (or } \left.10^{5} \mathrm{fm}\right)\) Entonces el área ofrecida a la partícula entrante es del orden de\(\pi(8 f m)^{2} \sim 200 f m^{2}=2 \text { barns }\).

Por otro lado, la nube electrónica presenta un área de\(\pi\left(10^{5} f m\right)^{2} \sim \pi 10^{8}\) graneros a la partícula entrante. Aunque la sección transversal de la reacción (o la probabilidad de interacción entre partículas) no es la misma que el área (como lo es para las partículas clásicas) aún estas estimaciones aproximadas dan el orden de magnitud correcto para ella.

Así, las interacciones con los electrones en el átomo dominan la interacción total partícula/materia cargada. Sin embargo la colisión con el núcleo da lugar a una peculiar distribución angular, que es la que lleva al descubrimiento del propio núcleo. Así estudiaremos ambos tipos de dispersión para proyectiles cargados de luz como partículas alfa y protones.

Colisión de partículas alfa con la nube electrónica

Consideremos primero la desaceleración de las partículas alfa en la materia. Primero analizamos la colisión de una partícula alfa con un electrón.

Figura\(\PageIndex{5}\): Izquierda: Las partículas cargadas interactúan principalmente con la nube electrónica. Derecha: Conservación del impulso y energía cinética en la colisión de un objeto muy pesado con uno muy ligero (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Si la colisión es elástica, se conservan el impulso y la energía cinética (aquí consideramos una colisión clásica, no relativista)

\[m_{\alpha} v_{\alpha}=m_{\alpha} v_{\alpha}^{\prime}+m_{e} v_{e}, \quad m_{\alpha} v_{\alpha}^{2}=m_{\alpha} v_{\alpha}^{\prime 2}+m_{e} v_{e}^{2} \nonumber\]

Resolviendo\(v_{a}^{\prime}\) y\(v_{e}\) encontramos:

\[v_{\alpha}^{\prime}=v_{\alpha}-2 v_{\alpha} \frac{m_{e}}{m_{e}+m_{\alpha}}, \quad v_{e}=2 v_{\alpha} \frac{m_{\alpha}}{m_{e}+m_{\alpha}} \nonumber\]

Ya que\(m_{e} / m_{\alpha} \ll 1\), podemos aproximar la velocidad de los electrones por\(v_{e} \approx 2 v_{\alpha}\). Entonces el cambio de energía para la partícula alfa, dado por la energía adquirida por el electrón, es

\[\Delta E=\frac{1}{2} m_{e} v_{e}^{2}=\frac{1}{2} m_{e}\left(2 v_{\alpha}\right)^{2}=4 \frac{m_{e}}{m_{\alpha}} E_{\alpha} \nonumber\]

así la partícula alfa pierde una pequeña fracción de su energía original debido a la colisión con un solo electrón:

\[\frac{\Delta E_{\alpha}}{E_{\alpha}} \sim \frac{m_{e}}{m_{\alpha}} \ll 1 \nonumber\]

La pequeña pérdida de energía fraccional produce las características de ralentización alfa:

1. Se necesitan miles de eventos (colisiones) para ralentizar y detener efectivamente la partícula alfa
2. Como el momento de la partícula alfa apenas se ve perturbado por colisiones individuales, la partícula viaja en línea recta dentro de la materia.
3. Las colisiones se deben a la interacción Coulomb, que es una interacción de alcance infinito. Entonces, la partícula alfa interactúa simultáneamente con muchos electrones, produciendo una desaceleración continua hasta que la partícula se detiene y un cierto rango de parada.
4. [Los electrones que son los objetivos de colisión se ionizan, por lo que conducen a un rastro visible en la ruta de las partículas alfa (por ejemplo, en cámaras de nubes)

Definición: Potencia de frenado

Calculamos la energía perdida por la partícula alfa en la colisión con un electrón. Una cantidad más importante es la pérdida de energía promedio de la partícula por unidad de longitud de trayectoria, que se llama la potencia de frenado.

Consideramos una partícula alfa que viaja a lo largo de la dirección x e interactúa con un electrón en el origen del eje x y a una\(b\) distancia de éste. Es natural asumir coordenadas cilíndricas para este problema.

Figura\(\PageIndex{6}\): Geometría para la colisión alfa/electrón. Izquierda: Parámetro de impacto\(b\) y coordenadas cilíndricas (\(x, b\)). Derecha: Fuerza Coulomb paralela al cambio de impulso (en la\(y\) dirección). (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

El cambio en el momento del electrón viene dado por la fuerza de Coulomb, integrada a lo largo del tiempo de interacción. La interacción Coulomb viene dada por\(\vec{F}=\frac{e Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\hat{r}}{|\vec{r}|^{2}}\), donde\(\vec{r}=r \hat{r}\) está el vector que une el alfa al electrón. Sólo la componente de la fuerza en la dirección “radial” (y) da lugar a un cambio en el momento (la fuerza longitudinal cuando se integra tiene una contribución neta cero), por lo que calculamos\(\vec{F} \cdot \hat{y}=|F| \hat{r} \cdot \hat{y}\). De la figura anterior tenemos\(\hat{r} \cdot \hat{y}=\frac{b}{\left(x^{2}+b^{2}\right)^{1 / 2}}\) y finalmente la fuerza\(F_{y}=\frac{e Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{b}{\left(x^{2}+b^{2}\right)^{3 / 2}}\). El cambio de impulso es entonces

\[\Delta p_{=} \int_{0}^{\infty} F_{y} d t=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{v_{\alpha}} \frac{e^{2} Z_{\alpha}}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{b}{\left(x^{2}+b^{2}\right)^{3 / 2}} \nonumber\]

donde usamos la relación\( \frac{d x}{d t}=v_{\alpha}\) entre la velocidad de la partícula alfa (que es constante con el tiempo bajo nuestros supuestos) y\( Q=Z_{\alpha} e=2 e\). Al considerar el electrón inicialmente en reposo tenemos

\[\Delta p=p_{e}=\frac{e^{2} Z}{4 \pi \epsilon_{0} v b} \int \frac{d \xi}{\left(1+\xi^{2}\right)^{3 / 2}}=2 \frac{e^{2} Z_{\alpha}}{4 \pi \epsilon_{0} v_{\alpha} b} \nonumber\]

donde usamos\( \xi=x / b\). Entonces, la energía perdida por la partícula alfa debido a un electrón es

\[\Delta E=\frac{p_{e}^{2}}{2 m}=2 \frac{e^{4} Z_{\alpha}^{2}}{\left(4 \pi \epsilon_{0}\right)^{2} m_{e} v^{2} b^{2}} \nonumber\]

Figura\(\PageIndex{7}\): Para encontrar la potencia de frenado integramos sobre todos los parámetros de impacto b, en un pequeño espesor dx. (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Ahora sumamos sobre todos los electrones en el material. El número de electrones en un cilindro infinitesimal es\(d N_{e}= n_{e} 2 \pi b d b d x\), donde\(n_{e} \) está la densidad numérica del electrón (que puede ser, por ejemplo, calcular a partir de\(n_{e}=\frac{N_{A} Z \rho}{A}\), con el número de N _A Avogadro y\(\rho\) la densidad de masa del material).

Entonces

\[-d E=2 \pi d x \int n_{e} \Delta E b d b \rightarrow \frac{d E}{d x}=-2 \pi \int n_{e} \Delta E(b) b d b=-\frac{4 \pi e^{4} Z_{\alpha}^{2} n_{e}}{\left(4 \pi \epsilon_{0}\right)^{2} m_{e} v_{\alpha}^{2}} \int \frac{d b}{b} \nonumber\]

La integral debe evaluarse entre 0 y ∞. Sin embargo esto no es matemáticamente posible (ya que diverge) y también es físicamente poco sólido. De hecho, esperamos tener una distancia de aproximación más cercana de tal manera que se logre el máximo intercambio de energía (como en la colisión dura estudiada anteriormente). Habíamos obtenido\( E_{e}=2 m_{e} v_{\alpha}^{2}\). Luego establecemos esta energía igual a la energía potencial Coulomb del electrón:\(E_{e} \approx \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{e^{2}}{b_{\min }} \) de la cual obtenemos

\[ b_{\min } \sim \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{e^{2}}{2 m_{e} v_{\alpha}^{2}} \nonumber\]

El máximo b viene dado por aproximadamente el radio de Bohr (o el radio del átomo). Esto se puede calcular estableciendo\(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{e^{2}}{b_{\max }} \sim E_{I} \) dónde\( E_{I}\) está la energía de excitación media de los electrones atómicos. Entonces lo que estamos afirmando es que el parámetro de impacto máximo es aquel en el que ocurre el intercambio mínimo de energía, y esta energía mínima es la energía mínima requerida para excitar (derribar) un electrón fuera del átomo. Aunque la energía de excitación media de los electrones atómicos es un concepto relacionado con la energía de ionización (que es del orden de 4 − 15eV) aquí\( E_{I}\) se toma como un parámetro empírico, que se ha encontrado que está bien aproximado por\( E_{I} \sim 10 Z \mathrm{eV}\) (con\(Z\) el número atómico del objetivo). Por último tenemos

\[ \frac{b_{\max }}{b_{\min }}=\frac{2 m_{e} v_{\alpha}^{2}}{Z_{\alpha} E_{I}}\nonumber\]

y el poder de parada es

\[-\frac{d E}{d x}=\frac{4 \pi e^{4} Z_{\alpha}^{2} n_{e}}{\left(4 \pi \epsilon_{0}\right)^{2} m_{e} v_{\alpha}^{2}} \ln \left(\frac{b_{\max }}{b_{\min }}\right)=\frac{4 \pi e^{4} Z_{\alpha}^{2} n_{e}}{\left(4 \pi \epsilon_{0}\right)^{2} m_{e} v_{\alpha}^{2}} \ln \Lambda \nonumber\]

con\( \Lambda\) llamado logaritmo de Coulomb.

Dado que la potencia de detención, o energía perdida por unidad de longitud, viene dada por la energía perdida en una colisión (o\( \Delta E\)) veces el número de colisión (dada por el número de electrones por unidad de volumen por la probabilidad de una colisión de electrones, dada por la sección transversal) tenemos la relación:

\[ -\frac{d E}{d x}=\sigma_{c} n_{e} \Delta E \nonumber\]

de donde podemos obtener la propia sección transversal. Desde entonces\(\Delta E=2 m_{e} v^{2} \), tenemos

\[\sigma_{c}=\frac{2 \pi e^{4} Z_{\alpha}^{2}}{\left(4 \pi \epsilon_{0}\right)^{2} m_{e}^{2} v_{\alpha}^{4}} \ln \Lambda \nonumber\]

Esto también se puede reescribir en términos de constantes más generales. Definimos el radio electrónico clásico como

\[r_{e}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{e^{2}}{m_{e} c^{2}} \sim 2.8 \mathrm{fm}, \nonumber\]

que es la distancia a la que la energía de Coulomb es igual a la masa de descanso. Aunque esto no es cercano al tamaño real de un electrón (como por ejemplo esperaríamos que el radio del electrón —si pudiera estar bien definido— sea mucho menor que el radio del núcleo) da el orden correcto de magnitud del área efectiva en la colisión por partículas cargadas. También escribimos\( \beta=\frac{v}{c}\), para que

\[ \sigma_{c}=2 \pi r_{e}^{2} \frac{Z_{\alpha}^{2}}{\beta^{4}} \ln \Lambda\nonumber\]

Dado que\( \beta\) suele ser bastante pequeña para las partículas alfa, la sección transversal puede ser bastante grande. Por ejemplo para una energía alfa típica de\(E_{\alpha}=4 \mathrm{MeV} \), y su masa de descanso\(m_{\alpha} c^{2} \sim 4000 \mathrm{MeV} \), tenemos\(\frac{v^{2}}{c^{2}} \sim 2 \times 10^{-3} \). El logaritmo de Coulomb está en el orden de\(\ln \Lambda \sim 5-15 \), mientras\(2 \pi r_{e}^{2} \sim \frac{1}{2} \text { barn} \). Entonces la sección transversal es\(\sigma_{c} \sim \frac{1}{2} 4 \cdot 10^{6} / 4 \cdot 10 b=5 \times 10^{6} b \).

Definición: Longitud de parada

Esto se define por

\[1 / l_{\alpha}=-\frac{1}{E} \frac{d E}{d x} . \nonumber\]

Entonces podemos escribir una decadencia exponencial para la energía en función de la distancia recorrida dentro de un material:\(E(x)=E_{0} \exp \left(-x / l_{\alpha}\right)\). Así, la longitud de detención también da la distancia a la que se ha reducido la energía\(1 / e(\approx 63 \%)\).

Figura\(\PageIndex{8}\): Poder de detención para partículas alfa (izquierda) y protones (derecha) en grafito. Eje x: Energía en MeV. eje y: Potencia de frenado (MeV cm ² /g). La curva roja es la potencia de detención total, dada por la potencia de detención de Coulomb por colisión con los electrones (azul) y la potencia de detención de Rutherford (negra) por colisión con los núcleos. Los datos son tomados del NIST. (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

En cuanto a la sección transversal, la longitud de parada es:

\[1 / l_{\alpha}=4 \frac{m_{2}}{m_{\alpha}} \sigma_{c} Z n, \nonumber\]

donde\(n\), la densidad del número atómico puede expresarse en términos de la densidad de masa y el número Avogadro,\(n=\frac{\rho}{A} N_{A}\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Longitud de detención para plomo:\(1 / l_{\alpha}=4 \times 10^{4} \mathrm{~cm}^{-1} \) o\(l_{\alpha}=2.5 \times 10^{-5} \mathrm{~cm}\). Sin embargo, el rango de la partícula en el material es de muchas longitudes de detención (del orden de 10), por lo que el rango en plomo es de alrededor\( 2.5 \mu \mathrm{m}\).

Definición: Rango

El rango se define con mayor precisión como la distancia que recorre una partícula antes de llegar a descansar. Entonces, el rango para una partícula de energía cinética inicial\(E_{\alpha} \) se define como

\[ R\left(E_{\alpha}\right)=\int_{r\left(E_{\alpha}\right)}^{r(E=0)} d x=-\int_{0}^{E_{\alpha}}\left(\frac{d E}{d x}\right)^{-1} d E\nonumber \]

Observe que estos son una fuerte dependencia de la potencia de detención de la densidad de masa del material (una dependencia lineal) de tal manera que los materiales más pesados son mejores para detener las partículas cargadas.

Sin embargo, para las partículas alfa, no se necesita mucho para ser detenida. Por ejemplo, se detienen en 5 mm de aire.

Definición: Curva de Bragg

La curva de Bragg describe la potencia de detención como una función de la distancia recorrida dentro de la materia. A medida que la potencia de frenado (y la sección transversal) aumentan a energías más bajas, hacia el final de la trayectoria hay un aumento en la energía perdida por unidad de longitud. Esto da lugar a un pico característico de Bragg en la curva. Esta característica se explota por ejemplo para la radioterapia, ya que permite una entrega espacial más precisa de la dosis en la ubicación deseada.

Figura\(\PageIndex{9}\): Curva de Bragg para protones (distancia en mm) (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

B. Rutherford - Dispersión de Coulomb

La dispersión elástica de Coulomb se llama dispersión de Rutherford debido a los experimentos realizados en el laboratorio de Rutherford en 1911-1913 que conducen al descubrimiento del núcleo. Los experimentos consistieron en dispersar partículas alfa de una fina capa de oro y observar el ángulo de dispersión (en función del grosor de la capa de oro).

La interacción viene dada como antes por la interacción de Coulomb, pero esta vez entre el alfa y los protones en el núcleo. Así tenemos alguna diferencia con respecto al caso anterior. Primero, la interacción es repulsiva (ya que ambas partículas tienen cargas positivas). Entonces, lo que es más importante, el proyectil es ahora la partícula más pequeña, perdiendo así considerable energía e impulso en la interacción.

Lo que queremos calcular en esta interacción es la sección transversal diferencial\(\frac{d \sigma}{d \Omega} \). La sección transversal diferencial (infinitesimal) se puede calcular (en una imagen clásica) considerando el parámetro de impacto\(b\) y la pequeña región anular entre\(b\) y\(b + db\):

\[ d \sigma=2 \pi b d b\nonumber\]

Entonces la sección transversal diferencial, calculada a partir del ángulo sólido\( d \Omega=d \varphi \sin \vartheta d \vartheta \rightarrow 2 \pi \sin \vartheta d \vartheta\) (dada la simetría sobre\(\varphi\)), es:

\[\frac{d \sigma}{d \Omega}=\frac{2 \pi b d b}{2 \pi \sin \vartheta d \vartheta}=\frac{b}{\sin \vartheta} \frac{d b}{d \vartheta} \nonumber\]

Lo que necesitamos es entonces una relación entre el parámetro de impacto y el ángulo disperso q (ver figura).

Figura\(\PageIndex{10}\): Dispersión de Rutherford y cambio de momento (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Para encontrar b (q) estudiamos la variación de la energía, el momento y el momento angular. Conservación de la energía establece que:

\[\frac{1}{2} m v_{0}^{2}=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{z Z e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} r} \nonumber\]

que da la distancia mínima (o distancia de aproximación más cercana) para el parámetro de impacto cero\(b\) = 0, eso sucede cuando la partícula se detiene y se desvía hacia atrás:\( \frac{1}{2} m v_{0}^{2}=\frac{z Z e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} d}\).

El impulso cambia debido a la fuerza de Coulomb, como se ve en el caso de la interacción con electrones. Aquí sin embargo el núcleo casi no adquiere ningún impulso en absoluto, de manera que solo se cambia la dirección del impulso, pero no su valor absoluto: inicialmente el impulso es\(p_{0}=m v_{0}\) a lo largo de la dirección entrante (x), y al final de la interacción sigue siendo\(m v_{0}\) pero a lo largo de la dirección q. Entonces el cambio de impulso es\(\Delta p=2 p_{0} \sin \frac{\vartheta}{2}=2 m v_{0} \sin \frac{\vartheta}{2}\) (ver Fig. anterior). Esta diferencia de momento es a lo largo de la dirección\(\delta \hat{p} \), que está en un ángulo\(\frac{\pi-\vartheta}{2}\) con x. Luego cambiamos a un marco de referencia donde\(\vec{r}=\{r, \gamma\}\), con r la distancia\(|\vec{r}|\) y\( \gamma\) el ángulo entre la posición de la partícula y\(\delta \hat{p}\).

El cambio de impulso es provocado por la fuerza en esa dirección:

\[\Delta p=\int_{0}^{\infty} \vec{F} \cdot \delta \hat{p} d t=\frac{z Z e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{0}^{\infty} \frac{\hat{r} \cdot \delta \hat{p}}{\left|r^{2}\right|} d t=\frac{z Z e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos \gamma}{r^{2}} d t \nonumber\]

Observe que a t = 0,\(\gamma=-\frac{\pi-\vartheta}{2}\) (como\(\vec{r} \) está casi alineado con x) y en t = ∞,\(\gamma=\frac{\pi-\vartheta}{2}\) (Fig). ¿Cómo\(\gamma\) cambia con el tiempo?

La conservación del momento angular (que siempre se satisface en el potencial central) proporciona la respuesta. A t = 0, el momento angular es simplemente\(L=m v_{0} b\). En cualquier momento posterior, tenemos\(L=m \vec{r} \times \vec{v}\). En el sistema de coordenadas\(\vec{r}=\{r, \gamma\} \) la velocidad tiene una componente radial y una angular:

\[\vec{v}=\dot{r} \hat{r}+r \dot{\gamma} \vec{\gamma} \nonumber\]

y solo este último contribuye al momento angular (siendo el otro paralelo):

\[L=m r^{2} \frac{d \gamma}{d t} \quad \rightarrow \quad \frac{1}{r^{2}}=\frac{\dot{\gamma}}{v_{0} b} \nonumber\]

Figura\(\PageIndex{11}\): Cambio de momento y sistema de coordenadas (\(\{r, \gamma\}\)) para dispersión de Rutherford. (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Insertando en la integral tenemos:

\[\Delta p=\frac{z Z e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos \gamma \dot{\gamma}}{v_{0} b} d t=\frac{z Z e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{\frac{\pi-\vartheta}{2}}^{\frac{\pi+\vartheta}{2}} \frac{\cos \gamma}{v_{0} b} d \gamma=\frac{z Z e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} v_{0} b} 2 \cos \frac{\vartheta}{2} \nonumber\]

Al igualar las dos expresiones para\(\Delta p \), tenemos la relación deseada entre\(b\) y q:

\[2 m v_{0} \sin \frac{\vartheta}{2}=\frac{z Z e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} v_{0} b} 2 \cos \frac{\vartheta}{2} \quad \rightarrow \quad b=\frac{z Z e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} m v_{0}^{2}} \cot \frac{\vartheta}{2} \nonumber\]

Finalmente la sección transversal es:

\[\frac{d \sigma}{d \Omega}=\left(\frac{z Z e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}}\right)^{2}\left(4 T_{a}\right)^{-2} \sin ^{-4}\left(\frac{\vartheta}{2}\right) \nonumber\]

(donde\(T_{a}=\frac{1}{2} m v_{0}\) está la energía cinética incidente —alfa— partícula). En particular, la dependencia\(Z^{2}\),\(T^{-2}\) y el pecado ⁻⁴ están en excelente acuerdo con los experimentos. La última dependencia es característica de eventos de dispersión única y observar partículas en ángulos grandes (aunque menos probable) confirman la presencia de un núcleo masivo. Considera lámina de oro de espesor\(\zeta=2 \mu \mathrm{m}\) y un haz incidente de partículas alfa de 8MeV. El parámetro de impacto que da un ángulo de dispersión de 90 grados o más es\(b \leq \frac{d}{2}=14 \mathrm{fm}\). Entonces la fracción de partículas con ese parámetro de impacto es\(\propto \pi b^{2}\), así tenemos\(\zeta n \pi b^{2} \approx 7.5 \times 10^{-5}\) partículas dispersándose en ángulo\( \geq 90^{\circ}\) (con\(n\) la densidad objetivo). Aunque este es un número pequeño, es bastante grande en comparación con la dispersión de un objetivo uniformemente denso.

C. Detenimiento de electrones en la materia

Los electrones interactúan con la materia principalmente debido a la interacción de Coulomb. Sin embargo, existen diferencias en los efectos de interacción con respecto a partículas más pesadas. Las diferencias entre la partícula alfa y el comportamiento de los electrones en la materia se deben a su masa muy diferente:

1. Las colisiones electrón-electrón cambian el impulso del electrón entrante, desviándolo así. Entonces el camino del electrón ya no es recto.
2. La potencia de frenado es mucho menor, por lo que, por ejemplo, el rango es de 1cm de plomo. (recuerde que la relación de la energía perdida a la energía inicial para las partículas alfa era pequeña, ya que era proporcional a la relación de masas -electrón a alfa. Aquí la relación de masas es de 1, y esperamos un gran cambio en la energía).
3. Los electrones tienen más a menudo una velocidad relativista. Por ejemplo, los electrones emitidos en la desintegración beta viajan a velocidad relativista.
4. Hay un segundo mecanismo para la desaceleración. Dado que los electrones pueden sufrir rápidos cambios de velocidad debido a la colisión, se está acelerando constantemente (o desacelerando) y así irradia. Esta radiación se llama Bremsstrahlung, o radiación de frenado (en alemán).

El poder de detención debido a la interacción de Coulomb se puede calcular de manera muy similar a lo que se hizo para la partícula alfa. Obtenemos:

\[-\frac{d E}{d x}=4 \pi\left(\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}}\right)^{2} \frac{Z \rho N_{A}}{A} \frac{1}{m_{e} c^{2} \beta^{2}} \ln \Lambda^{\prime} \nonumber\]

Aquí ahora\( \Lambda^{\prime}\) hay una relación diferente a la obtenida para las partículas alfa, pero con un significado similar:\(\Lambda^{\prime} = \sqrt{\frac{T}{2 m_{e} v^{2}}} \frac{\left(T+m c^{2}\right)}{E_{I}}\), donde nuevamente podemos reconocer la relación de la energía electrónica (determinando la distancia mínima) y la energía de excitación media\( E_{I}\) (que establece la distancia máxima) así como una corrección por efectos relativistas.

Figura\(\PageIndex{12}\): Potencia de detención para electrones en grafito (izquierda) y Plomo (derecha). Eje x: Energía en MeV. eje y: Potencia de frenado (MeV cm ² /g). La curva roja es la potencia de frenado total, dada por la potencia de frenado de Coulomb (azul) y la potencia de parada radiativa (negra). Tenga en cuenta las diferentes contribuciones de los dos tipos de procesos para los dos nucleidos: el Bremsstrahlung es mucho mayor para elementos más pesados como el plomo. Los datos son tomados del NIST. (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

Un cálculo mecánico cuántico da algunas correcciones (también para el alfa) que se vuelven importantes en las energías relativistas (ver Krane):

\[-\frac{d E}{d x}=4 \pi\left(\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}}\right)^{2} \frac{Z \rho N_{A}}{A} \frac{1}{m_{e} c^{2} \beta^{2}}\left[\ln \Lambda^{\prime}+\text { relativistic corrections }\right] \nonumber\]

A esta potencia de frenado, debemos sumar los efectos debidos a la “radiación de frenado”. En lugar de calcular la contribución exacta (ver Krane), solo queremos estimar la contribución relativa de Bremsstrahlung a la dispersión de Compton. La relación entre la potencia de detención de la radiación y la potencia de detención del culombo viene dada por

\[-\left.\frac{d E}{d x}\right|_{r} /-\left.\frac{d E}{d x}\right|_{c}=\frac{e^{2}}{\hbar c} \frac{Z}{f_{c}} \frac{T+m_{e} c^{2}}{m_{e} c^{2}} \approx \frac{T+m_{e} c^{2}}{m_{e} c^{2}} \frac{Z}{1600} \nonumber\]

donde\( f_{c} \sim 10-12\) es un factor que toma en cuenta las correcciones relativistas y recuerda\( \frac{e^{2}}{\hbar c} \approx \frac{1}{137}\). Entonces la potencia de detención de la radiación es importante solo si\(T \gg m_{e} c^{2} \) y para Z. grande Esta expresión es válida solo para energías relativistas; por debajo de 1MeV las pérdidas de radiación son insignificantes. Entonces el poder de detención total viene dado por la suma de las dos contribuciones:

\[\frac{d E}{d x}=\left.\frac{d E}{d x}\right|_{c}+\left.\frac{d E}{d x}\right|_{r} \nonumber\]

Dado que los electrones no tienen una trayectoria lineal en los materiales (sino una trayectoria aleatoria con muchas colisiones) se vuelve más difícil calcular rangos desde los primeros principios (en la práctica, no podemos simplemente tomar\(dt = dx/v\) como se hizo en los cálculos para los alfas). Luego, los rangos se calculan empíricamente a partir de experimentos en los que la energía de los haces de electrones monoenergéticos se varía para calcular\(R(E)\). NIST proporciona bases de datos de potencia de detención y rangos para electrones (así como para partículas alfa y protones, consulte la base de datos STAR en http://www.nist.gov/pml/data/star/index.cfm. Dado que la variación con las características del material (una vez normalizada por la densidad) no es grande, el rango medido para un material puede usarse para estimar rangos para otros materiales.

8.1.4 Radiación electromagnética

La interacción de la radiación electromagnética con la materia depende de la energía (por lo tanto, la frecuencia) de la propia radiación e.m. Se estudió el origen de la radiación gamma, ya que deriva de reacciones nucleares. Sin embargo, es interesante estudiar también el comportamiento de las radiaciones menos energéticas en la materia.

En orden de aumentar la energía fotónica, la interacción de la materia con la radiación e.m. se puede clasificar como:

Aquí\( E_{I}\) está la energía de ionización para el átomo objetivo dado.

Una imagen clásica es suficiente para dar alguna escala para la sección transversal de dispersión. Consideramos los efectos de la interacción de la onda e.m. con un dipolo oscilante (creado por un electrón atómico).

El electrón puede verse como unido al átomo por un “resorte”, y oscilando alrededor de su posición de reposo con frecuencia\(\omega_{0}\). Cuando el e.m. incide sobre el electrón, ejerce una fuerza adicional. La fuerza que actúa sobre el electrón es\( F=-e E(t)\), con\(E(t)=E_{0} \sin (\omega t) \) el campo eléctrico oscilante. Esta fuerza impulsora oscilante se suma a la atracción del electrón hacia el átomo\(\sim-k x_{e} \), donde\(k\) (dada por la fuerza de interacción de Coulomb y relacionada con la energía de unión\(E_{I} \)) está vinculada a la frecuencia oscilante del electrón por\( \omega_{0}^{2}=k / m_{e}\). La ecuación de movimiento para el electrón es entonces

\[m_{e} \ddot{x}_{e}=-k x_{e}-e E(t) \quad \rightarrow \quad \ddot{x}_{e}+\omega_{0}^{2} x_{e}=-\frac{e}{m_{e}} E(t) \nonumber \]

Buscamos una solución de la forma\( x_{e}(t)=A \sin (\omega t)\), entonces tenemos la ecuación

\[\left(-\omega^{2}+\omega_{0}^{2}\right) A=-\frac{e}{m_{e}} E_{0} \quad \rightarrow \quad A=\frac{1}{\omega^{2}-\omega_{0}^{2}} \frac{e}{m_{e}} E_{0} \nonumber\]

Ya hemos visto que una carga acelerada (o un dipolo oscilante) irradia, con una potencia

\[P=\frac{2}{3} \frac{e^{2}}{c^{3}} a^{2} \nonumber\]

donde la accelaración\(a\) está aquí\(a=-\omega^{2} A \sin (\omega t) \), dando una aceleración cuadrática media

\[\left\langle a^{2}\right\rangle=\left(\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}} \frac{e}{m_{e}} E_{0}\right)^{2} \frac{1}{2} \nonumber\]

El poder irradiado es entonces

\[P=\frac{1}{3}\left(\frac{e^{2}}{m_{e} c^{2}}\right)^{2} \frac{\omega^{4}}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}} c E_{0}^{2} \nonumber\]

Figura\(\PageIndex{13}\): Rango para partículas alfa (negras) y electrones (rojo) en Plomo (curvas sólidas) y aire (discontinuas). Eje x: Energía en MeV. Eje y: Rango (g/cm ²). Tenga en cuenta el rango mucho más largo para los electrones que para las partículas alfa. Sólo a muy alta energía, para el plomo, el rango es más corto para los electrones, gracias a la contribución de Bremsstrahlung. Los datos son tomados del NIST. (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

La intensidad de radiación viene dada por\(I_{0}=\frac{c E_{0}^{2}}{8 \pi}\) (recordemos que la densidad de energía e.m. viene dada por\( u=\frac{1}{2} E^{2}\) y la intensidad, o potencia por unidad de área, es entonces\(I \sim c u \)). Entonces podemos expresar la potencia radiada como sección transversal × intensidad de radiación:

\[P=\sigma I_{0} \nonumber\]

Esto produce la sección transversal para la interacción de la radiación e.m. con los átomos:

\[\boxed{\sigma=\frac{8 \pi}{3}\left(\frac{e^{2}}{m_{e} c^{2}}\right)^{2}\left(\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\right)^{2}} \nonumber\]

o en unidades SI:

\[\sigma=\frac{8 \pi}{3}\left(\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} m_{e} c^{2}}\right)^{2}\left(\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\right)^{2}=4 \pi r_{e}^{2} \frac{2}{3}\left(\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\right)^{2} \nonumber\]

donde usamos el radio de electrones clásico\(r_{e} \).

A. Dispersión de Rayleigh

Primero consideramos el límite en el que la radiación e.m. tiene muy baja energía:\(\omega \ll \omega_{0}\). En este límite el electrón se une inicialmente al átomo y el e.m. no va a cambiar eso (y romper el atado). Podemos simplificar el factor de frecuencia en la sección transversal de dispersión por\( \frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}} \approx \frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}}\), entonces tenemos:

\[\boxed{\sigma_{R}=\frac{8 \pi}{3}\left(\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} m_{e} c^{2}}\right)^{2} \frac{\omega^{4}}{\omega_{0}^{4}}} \nonumber\]

La dispersión de Rayleigh tiene una dependencia muy fuerte de la longitud de onda de la onda e.m. Esto es lo que le da el color azul al cielo (y el color rojo a las puestas de sol).

B. Dispersión de Thomson

La dispersión de Thomson es la dispersión de radiación e.m. que es lo suficientemente energética como para que el electrón parezca estar inicialmente desunido del átomo (o un electrón libre) pero no lo suficientemente enérgico como para impartir una velocidad relativista al electrón. (Si el electrón es un electrón libre, la frecuencia final del electrón será la frecuencia e.m.).

Entonces estamos considerando el límite:

\[\hbar \omega_{0} \ll \hbar \omega \ll m_{e} c^{2} \nonumber\]

donde las primeras desigualdades nos dicen que la energía de unión es mucho menor que la energía e.m. (de ahí el electrón libre) mientras que la segunda nos dice que el electrón no ganará suficiente energía para volverse relativista.

Entonces podemos simplificar el factor\(\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}=\frac{1}{\left(\omega_{0} / \omega\right)^{2}-1} \approx-1 \) y la sección transversal es simplemente

\[\boxed{\sigma_{T}=\frac{8 \pi}{3}\left(\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} m_{e} c^{2}}\right)^{2}} \nonumber\]

con\( \sigma_{T} \sim \frac{2}{3} \text { barn}\). Observe que contrastando con la dispersión de Rayleigh, la sección transversal de dispersión de Thomson es completamente independiente de la frecuencia de la radiación e.m. incidente (siempre que esté en el rango dado). Ambos tipos de dispersión son dispersión elástica, lo que significa que el átomo se deja en el mismo estado en que estaba inicialmente (por lo que la conservación de la energía se satisface sin ninguna energía adicional proveniente de la energía atómica interna). Incluso en la dispersión de Thomson descuidamos el retroceso del electrón (como lo afirma la desigualdad\(\hbar \omega \ll m_{e} c^{2} \)). Esto significa que el electrón no es cambiado por este evento de dispersión (el átomo no está ionizado) aunque en su interacción con el campo e.m. se comporte como un electrón libre.

Observe que la sección transversal es proporcional al cuadrado clásico del radio electrónico:\( \sigma_{T}=\frac{8 \pi}{3} r_{e}^{2}\).

C. Efecto fotoeléctrico

En resonancia\(\omega \approx \omega_{0} \) la sección transversal se vuelve (matemáticamente) infinita. La condición de resonancia significa que la energía e.m. es igual a la energía\(E_{I}\) de ionización del electrón. Así, lo que realmente sucede es que el electrón es expulsado del átomo. Entonces nuestro modelo simple, a partir del cual calculamos la sección transversal, ya no es válido (de ahí la sección transversal infinita) y necesitamos QM para calcular completamente la sección transversal. Este es el efecto fotoeléctrico. Su sección transversal depende fuertemente del número atómico (as\(\sigma_{p e} \propto Z^{5}\)).

D. Dispersión Compton

La dispersión de Compton es la dispersión de fotones altamente energéticos de electrones en átomos. En el proceso el electrón adquiere una energía lo suficientemente alta como para volverse relativista y escapar del átomo (que se ioniza). Por lo tanto, la dispersión es ahora inelástica (en comparación con las dos dispersiones anteriores) y la dispersión es una manera efectiva para que la radiación e.m. pierda energía en la materia. A energías más bajas, tendríamos el efecto fotoeléctrico, en el que el fotón es absorbido por el átomo. El efecto es importante porque demuestra que la luz no puede explicarse puramente como un fenómeno de onda.

Figura\(\PageIndex{14}\): Colisión de fotones/electrones en dispersión Compton. (CC BY-NC-ND; Paola Cappellaro)

A partir de la conservación de la energía y el impulso, podemos calcular la energía del fotón disperso.

\[E_{\gamma}+E_{e}=E_{\gamma}^{\prime}+E_{e}^{\prime} \quad \rightarrow \quad \hbar \omega+m_{e} c^{2}=\hbar \omega^{\prime}+\sqrt{|p|^{2} c^{2}+m^{2} c^{4}} \nonumber\]

\ [\ hbar\ vec {k} =\ hbar\ vec {k} ^ {\ prime} +\ vec {p}\ cuádruple\ fila derecha\ cuádruple\ izquierda\ {\ comenzar {matriz} {l}
\ hbar k=\ hbar k^ {\ prime}\ cos\ vartheta+p\ cos\ varphi\
\ hbar k^ {\ prime}\ sin\ vartheta=p\ sin\ varphi
\ end {array}\ right. \ nonumber\]

A partir de estas ecuaciones encontramos\(p^{2}=\frac{\left(\omega^{\prime}-\omega\right)}{c^{2}}\left[\hbar\left(\omega^{\prime}-\omega\right)-2 m c^{2}\right]\) y\(\cos \varphi=\sqrt{1-\hbar^{2} k^{\prime 2} \sin ^{2} \vartheta / p^{2}}\). Resolviendo el cambio en la longitud de onda\(\lambda=\frac{2 \pi}{k}\) que encontramos (con\(ω = kc\)):

\[\boxed{\Delta \lambda=\frac{2 \pi \hbar}{m_{e} c}(1-\cos \vartheta)} \nonumber\]

o para la frecuencia:

\[\hbar \omega^{\prime}=\hbar \omega\left[1+\frac{\hbar \omega}{m_{e} c^{2}}(1-\cos \vartheta)\right]^{-1} \nonumber\]

La sección transversal debe calcularse a partir de una teoría completa de QM. El resultado es que

\[\boxed{\sigma_{C} \approx \sigma_{T} \frac{m_{e} c^{2}}{\hbar \omega}} \nonumber\]

por lo tanto, la dispersión de Compton disminuye a energías más grandes.

E. Producción por pares

La producción de pares es la creación de un par de electrones y positrones cuando un fotón de alta energía interactúa cerca de un núcleo. Para no violar la conservación del impulso, el impulso del fotón inicial debe ser absorbido por algo. Así, la producción de pares no puede ocurrir en el espacio vacío a partir de un solo fotón; el núcleo (u otro fotón) es necesario para conservar tanto el impulso como la energía.

La producción de pares de fotones-núcleo solo puede ocurrir si los fotones tienen una energía superior al doble de la masa de reposo (\(m_{e} c^{2}\)) de un electrón (1.022 MeV):

\[\hbar \omega=T_{e^{-}}+m_{e^{-}} c^{2}+T_{e^{+}}+m_{e^{+}} c^{2} \geq 2 m_{e} c^{2}=1.022 M e V \nonumber\]

La producción de pares adquiere importancia después de que la dispersión de Compton se cae (ya que su sección transversal es\ propto 1/\ omega\)).