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3: Integrales

Última actualización

30 oct 2022
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- 2.5: Ejercicios
- 3.1: Propiedades Básicas de Integrales Definidas

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

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$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

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$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$

$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$

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$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$

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$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

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$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$

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$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$

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$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$

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$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$

$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$

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$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$

$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$

$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$

$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$

$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$

$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$

$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$

$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$

$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$

$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$

$\newcommand{\real}{\mathbb R}$

$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$

$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$

$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$

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$\newcommand{\scal}{\cal S}$

$\newcommand{\wcal}{\cal W}$

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$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$

$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$

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$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$

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$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$

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$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$

$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$

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$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$

$\newcommand{\lt}{<}$

$\newcommand{\gt}{>}$

$\newcommand{\amp}{&}$

$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

Si tenemos una función $f(x)$ que está bien definida para algunos $a \le x \le b$ , su integral sobre esos dos valores se define como $\int_a^b dx\; f(x) \;=\; \lim_{N \rightarrow \infty} \, \sum_{n=0}^{N} \Delta x\; f(x_n) \;\;\;\mathrm{where}\;\; x_n = a + n\Delta x, \;\; \Delta x \equiv \left(\frac{b-a}{N}\right).$ Esto se llama integral definida, y representa el área bajo la gráfica de $f(x)$ en la región entre $x=a$ y $x=b$ , como se muestra en la figura siguiente. La función $f(x)$ se llama el integrando, y los dos puntos $a$ y $b$ se llaman los límites de la integral. El intervalo entre los dos límites se divide en $N$ segmentos, de longitud $(b-a)/N$ cada uno. Cada término en la suma representa el área de un rectángulo, y como $N\rightarrow \infty$ , la suma converge al área bajo la curva.

Una integral múltiple implica la integración sobre más de una variable. Por ejemplo, cuando tenemos una función $f(x_1,x_2)$ que depende de dos variables independientes, $x_1$ y $x_2$ , podemos realizar una doble integral integrando primero sobre una variable, luego la otra variable: $\int_{a_1}^{b_1} dx_1 \int_{a_2}^{b_2} dx_2 \; f(x_1, x_2) \equiv \int_{a_1}^{b_1} dx_1 F(x_1)\quad\text{where}\;\;F(x_1) \equiv \int_{a_2}^{b_2} dx_2 \; f(x_1, x_2).$

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