19.5: Voltajes y corrientes alternas

Hasta ahora, hemos modelado cómo la corriente se propaga a través de una resistencia bajo una diferencia de potencial constante,\(\Delta V\). Esto se llama “corriente continua” (CC) ya que las cargas se mueven en una dirección constante a través de la resistencia. Las baterías suministran voltajes fijos, y los circuitos con baterías casi siempre tendrán corriente CC. El voltaje que se suministra entre dos de los enchufes en una toma eléctrica doméstica es “alterna”, y conduce a “corriente alterna” (CA), donde las cargas se mueven hacia adelante y hacia atrás, sin desplazamiento neto.

La diferencia de potencial a través de una toma doméstica varía sinusoidalmente:\[\begin{aligned} \Delta V (t) = \Delta V_0 \sin(\omega t)\end{aligned}\] donde\(\Delta V_0\) está la amplitud máxima de la tensión (\(120\text{V}\)en Norteamérica,\(220\text{V}\) en Europa), y\(\omega = 2\pi f\), es la frecuencia angular de la tensión ( \(f=60\text{Hz}\)en Norteamérica,\(f=50\text{Hz}\) en Europa). Cuando una resistencia con resistencia,\(R\), está conectada a una tensión de CA, la corriente resultante, dada por la Ley de Ohm, también es alterna:\[\begin{aligned} I(t)=\frac{\Delta V(t)}{R}=\frac{\Delta V_0}{R}\sin(\omega t)=I_0\sin(\omega t)\end{aligned}\] En promedio, la corriente alterna a través de una resistencia es cero. Sin embargo, esto no significa que se disipe la energía cero, ya que los electrones en la resistencia seguirán colisionando con los átomos a medida que oscilan de un lado a otro. Podemos definir la potencia promedio,\(\bar P\), que se disipa en la resistencia como la potencia que se disipa a lo largo de un ciclo de oscilación (con periodo,\(T\)). Para obtener este último, calculamos la energía total,\(E\), disipada en la resistencia a lo largo de un ciclo para que la potencia sea dada simplemente por\(E/T\). Dividimos el intervalo de tiempo,\(T\), en intervalos infinitesimalmente pequeños\(dt\),, de manera que la energía infinitesimal\(dE\),, disipada en un tiempo infinitesimal\(dt\),, viene dada por:\[\begin{aligned} dE=P(t) dt\end{aligned}\] La energía total disipada en uno período viene dado entonces por: de\[\begin{aligned} E=\int dE = \int_0^T P(t)dt\end{aligned}\] manera que la potencia disipada en un ciclo viene dada por:\[\begin{aligned} \bar P=\frac{E}{T}=\frac{1}{T}\int_0^T P(t)dt\end{aligned}\] La potencia instantánea\(P(t)\),, puede describirse en términos de la corriente instantánea,\(P(t)=I^2(t)R\), para que la potencia promedio pueda escribirse como:\[\begin{aligned} \bar P = \frac{1}{T}\int_0^TP(t)dt=\frac{1}{T}\int_0^TI(t)^2Rdt=RI_0^2\frac{1}{T}\int_0^T\sin^2(\omega t)dt=\frac{1}{2}RI_0^2\end{aligned}\] donde usamos el hecho de que\(T=\frac{2\pi}{\omega}\) para evaluar la integral. Para que la fórmula sea similar al equivalente de CC (sin el factor adicional de\(1/2\)), podemos definir la corriente “raíz cuadrática media”\(I_{rms}\), como una corriente promedio, a partir de la cual podemos calcular la potencia promedio que se disipa en una resistencia:\[\begin{aligned} I_{rms}&=\frac{I_0}{\sqrt 2}\\ \therefore\bar P&=I_{rms}^2R\end{aligned}\] Del mismo modo, se puede definir el voltaje “cuadrático medio”\(\Delta V_{rms}\), de manera que la potencia promedio disipada con corriente alterna se puede escribir en la misma forma que para el caso de CC:\[\begin{aligned} V_{rms}&=\frac{\Delta V_0}{\sqrt 2}\\ \therefore\bar P&=I_{rms}^2R =\frac{\Delta V_{rms}^2}{R}=I_{rms}\Delta V_{rms}\end{aligned}\]