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20.5: Circuitos RC

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    objetivos de aprendizaje

    • Describir los componentes y la función de un circuito RC, señalando especialmente la dependencia del tiempo de la carga del condensador

    Un circuito RC es uno que contiene una resistencia R y un condensador C. El condensador es un componente eléctrico que alberga carga eléctrica. En este Atom, estudiaremos cómo se comporta un circuito RC en serie cuando se conecta a una fuente de voltaje de CC. (En átomos posteriores, estudiaremos su comportamiento AC.)

    Cargar

    La figura 1 muestra un circuito RC simple que emplea una fuente de voltaje de CC. El condensador está inicialmente sin carga. Tan pronto como se cierra el interruptor, la corriente fluye hacia y desde el condensador inicialmente descargado. A medida que aumenta la carga en las placas del condensador, hay una oposición creciente al flujo de carga por la repulsión de cargas similares en cada placa.

    imagen

    Cargar un circuito RC: (a) Un circuito RC con un condensador inicialmente descargado. La corriente fluye en la dirección que se muestra tan pronto como se cierra el interruptor. La repulsión mutua de cargas similares en el condensador ralentiza progresivamente el flujo a medida que se carga el condensador, deteniendo la corriente cuando el condensador está completamente cargado y Q=CEMF. (b) Un gráfico de voltaje a través del condensador frente al tiempo, con el interruptor cerrándose en el tiempo t=0. (Obsérvese que en las dos partes de la figura, el guión mayúscula E significa emf, q significa la carga almacenada en el condensador y τ es la constante de tiempo RC).

    En términos de voltaje, a través del condensador el voltaje viene dado por V c =Q/C, donde Q es la cantidad de carga almacenada en cada placa y C es la capacitancia. Este voltaje se opone a la batería, creciendo de cero a la máxima emf cuando está completamente cargada. Así, la corriente disminuye desde su valor inicial de I 0 =EMF/r a cero ya que la tensión en el condensador alcanza el mismo valor que la emf. Cuando no hay corriente, no hay caída IR, por lo que el voltaje en el condensador debe entonces ser igual a la emf de la fuente de voltaje.

    Inicialmente, el voltaje en el condensador es cero y aumenta rápidamente al principio ya que la corriente inicial es máxima. La figura 1 (b) muestra un gráfico del voltaje del condensador frente al tiempo (t) que comienza cuando el interruptor está cerrado a t=0. El voltaje se aproxima a la emf asintóticamente ya que cuanto más se acerca a la emf, menos corriente fluye. La ecuación para voltaje frente al tiempo cuando se carga un condensador C a través de una resistencia R, es:

    \[\mathrm { V } ( \mathrm { t } ) = \operatorname { emf } \left( 1 - \mathrm { e } ^ { \mathrm { t } / \mathrm { RC } } \right)\]

    donde V (t) es el voltaje a través del condensador y emf es igual a la emf de la fuente de voltaje de CC. (La forma exacta se puede derivar resolviendo una ecuación diferencial lineal que describe el circuito RC, pero esto está ligeramente más allá del alcance de este Átomo.) Tenga en cuenta que la unidad de RC es la segunda. Definimos la constante de tiempo τ para un circuito RC como\(\tau = \mathrm { R } \mathrm { C }\). τ muestra la rapidez con la que se carga o descarga el circuito.

    Descargando

    La descarga de un condensador a través de una resistencia procede de manera similar, como se ilustra. Inicialmente, la corriente es I 0 =V 0 /R, accionada por el voltaje inicial V 0 en el condensador. A medida que disminuye el voltaje, disminuye la corriente y por lo tanto la tasa de descarga, lo que implica otra fórmula exponencial para V. Usando cálculo, se encuentra que el voltaje V en un condensador C que se descarga a través de una resistencia R es

    \[\mathrm { V } ( \mathrm { t } ) = \mathrm { V } _ { 0 } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { t } / \mathrm { RC } }\]

    Impedancia

    La impedancia es la medida de la oposición que presenta un circuito al paso de una corriente cuando se aplica una tensión.

    objetivos de aprendizaje

    • Expresar la relación entre la impedancia, la resistencia y la capacitancia de un circuito RC en serie en forma de ecuación

    En lugar de resolver la ecuación diferencial relativa a los circuitos que contienen resistencias y condensadores, podemos imaginar que todas las fuentes en el circuito son exponenciales complejos que tienen la misma frecuencia. Esta técnica es útil para resolver problemas en los que la relación de fase es importante. La fase de la impedancia compleja es el desplazamiento de fase por el cual la corriente está por delante de la tensión.

    Análisis Complejos

    Para un circuito RC en, la fuente de CA que impulsa el circuito se da como:

    imagen

    Circuito RC en serie: Circuito RC en serie.

    \[\mathrm { v } _ { \mathrm { in } } ( \mathrm { t } ) = \mathrm { Ve } ^ { \mathrm { j } \omega t }\]

    donde V es la amplitud de la tensión de CA, j es la unidad imaginaria (j 2 =-1) y ωω es la frecuencia angular de la fuente de CA. Dos cosas a tener en cuenta:

    1. Usamos alfabetos en minúsculas para voltajes y fuentes para representar que son alternantes (es decir, usamos v in (t) en lugar de V en (t)).
    2. A la unidad imaginaria se le da el símbolo “j”, no la “i” habitual. “i” se reserva para las corrientes alternas.

    Impedancia compleja

    La ventaja de asumir que las fuentes toman esta forma es que todos los voltajes y corrientes en el circuito también son exponenciales complejos (teniendo la misma frecuencia que la fuente). Para apreciar la razón de esto, podemos investigar cómo se comporta cada elemento del circuito cuando ya sea el voltaje o la corriente es un exponencial complejo. Para la resistencia,\(\mathrm { v } = \mathrm { R } \mathrm { i }\). De nuestro voltaje dado anteriormente,\(\mathrm { i } = \frac { \mathrm { V } } { \mathrm { R } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { j } \omega t } \). Por lo tanto, el voltaje de la resistencia es un complejo, al igual que la corriente con una amplitud\(\mathrm { I } = \frac { \mathrm { V } } { \mathrm { R } }\). Para un condensador,\(\mathrm { i } = \mathrm { C } \frac { \mathrm { dv } } { \mathrm { dt } }\). Dejando que el voltaje sea un exponencial complejo tenemos\(\mathrm{i=jωCVe^{jωt}}\). La amplitud de este complejo exponencial es\(\mathrm{I=jωCV}\).

    La principal consecuencia de asumir voltaje y corrientes exponenciales complejas es que la relación\(\mathrm{Z = \frac { V } { I }}\) para, en lugar de depender del tiempo, cada elemento depende de la frecuencia de la fuente. Esta cantidad se conoce como impedancia (compleja) del elemento. La magnitud de la impedancia compleja es la relación entre la amplitud del voltaje y la amplitud de la corriente. Al igual que la resistencia en los casos de CC, la impedancia es la medida de la oposición que un circuito presenta al paso de una corriente cuando se aplica una tensión. La impedancia de una resistencia es R, mientras que la de un condensador (C) es\(\mathrm{\frac { 1 } { j \omega C }}\). En el caso del circuito en, para encontrar la impedancia compleja del circuito RC, agregamos la impedancia de los dos componentes, al igual que con dos resistencias en serie:\(\mathrm { Z } = \mathrm { R } + \frac { 1 } { \mathrm { j } \omega \mathrm { C } }\).

    Encontrar corrientes y voltajes reales

    Ya que\(\mathrm { e } ^ { \mathrm { j } \omega t } = \cos ( \omega \mathrm { t } ) + \mathrm { j } \sin ( \omega \mathrm { t } )\), para encontrar las corrientes y voltajes reales simplemente necesitamos tomar la parte real de la i (t) y v (t). La impedancia (valor real) es la parte real de la impedancia compleja Z. para un circuito RC en serie, obtenemos\(\mathrm { Z } = \sqrt { \mathrm { R } ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { \omega C } \right) ^ { 2 } }\). Vemos que la amplitud de la corriente será\( \frac{\mathrm { V }}{ \mathrm { Z }} = \frac { \mathrm { V } } { \sqrt { \mathrm { R } ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { \omega C } \right) ^ { 2 } } }\).

    Ángulo de fase y factor de potencia

    En un circuito RC en serie conectado a una fuente de voltaje de CA, el voltaje y la corriente mantienen una diferencia de fase.

    objetivos de aprendizaje

    • Compare las corrientes en la resistencia y el condensador en un circuito RC en serie conectado a una fuente de voltaje de CA

    Ángulo de fase

    La impedancia es un análogo de CA (corriente alterna) a la resistencia en un circuito de CC. Como estudiamos anteriormente en un Atom (“Impedancia”), la corriente, el voltaje y la impedancia en un circuito RC están relacionados por una versión de CA de la ley de Ohm:\(\mathrm{I=\frac{V}{Z}}\), donde I y V son corriente pico y voltaje pico respectivamente, y Z es la impedancia del circuito.

    En un circuito RC en serie conectado a una fuente de voltaje de CA como se muestra en, la conservación de la carga requiere que la corriente sea la misma en cada parte del circuito en todo momento. Por lo tanto podemos decir: las corrientes en la resistencia y el condensador son iguales y en fase. (Representaremos la corriente instantánea como i (t).)

    imagen

    Circuito RC en serie: Circuito RC en serie.

    Por otro lado, debido a que la tensión total debe ser igual a la suma de tensiones en la resistencia y el condensador, por lo que tenemos:

    \[\left.\begin{aligned} \mathrm { v } ( \mathrm { t } ) & = \mathrm { v } _ { \mathrm { R } } ( \mathrm { t } ) + \mathrm { v } _ { \mathrm { C } } ( \mathrm { t } ) \\ & = \mathrm { i } ( \mathrm { t } ) \mathrm { R } + \mathrm { i } ( \mathrm { t } ) \frac { 1 } { \mathrm { j } \omega C } \\ & = \mathrm { i } ( \mathrm { t } ) \left( \mathrm { R } + \frac { 1 } { \mathrm { j } \omega C } \right) \end{aligned} \right.\]

    donde ωω es la frecuencia angular de la fuente de voltaje de CA y j es la unidad imaginaria; j 2 =-1. Dado que el número complejo\(\mathrm { Z } = \mathrm { R } + \frac { 1 } { \mathrm { j } \omega C } = \sqrt { \mathrm { R } ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { \omega \mathrm{C} } \right) ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { j } \phi }\) tiene un ángulo de fase\(ϕ\) que satisface\(\cos \phi = \frac { \mathrm { R } } { \sqrt { \mathrm { R } ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { \omega \mathrm{ C} } \right) ^ { 2 } } }\),

    notamos que el voltaje\(\mathrm{v(t)}\) y la corriente\(\mathrm{i(t)}\) tienen una diferencia de fase de\(ϕ\).

    Para\(\mathrm{R=0, ϕ=90^∘}\). Como se aprendió de la serie anterior de átomos, el voltaje a través del condensador V C sigue la corriente en un cuarto de ciclo (o 90º).

    Factor de potencia

    Debido a que el voltaje y la corriente están desfasados, la potencia disipada por el circuito no es igual a: (voltaje pico) veces (corriente pico). El hecho de que la tensión y la corriente de la fuente estén desfasadas afecta la potencia entregada al circuito. Se puede demostrar que la potencia promedio es I rms V rms cos9, donde I rms y V rms son los promedios de raíz cuadrática media (rms) de la corriente y voltaje, respectivamente. Por esta razón, cosϕ se llama el factor de potencia, que puede variar de 0 a 1.

    Puntos Clave

    • En un circuito RC conectado a una fuente de voltaje de CC, la corriente disminuye desde su valor inicial de I 0 =EMF/r a cero a medida que la tensión en el condensador alcanza el mismo valor que la emf.
    • En un circuito RC conectado a una fuente de voltaje de CC, el voltaje en el condensador es inicialmente cero y aumenta rápidamente al principio ya que la corriente inicial es máxima:\( \mathrm { V } ( \mathrm { t } ) = \operatorname { emf } \left( 1 - \mathrm { e } ^ { \mathrm{t} / \mathrm { RC } } \right)\).
    • La constante de tiempo τ para un circuito RC se define como RC. Su unidad está en segundos y muestra la rapidez con la que se carga o descarga el circuito.
    • La ventaja de asumir que las fuentes tienen forma exponencial compleja es que todos los voltajes y corrientes en el circuito también son exponenciales complejos, teniendo la misma frecuencia que la fuente.
    • La principal consecuencia de asumir voltaje y corrientes exponenciales complejas es que la relación (Z = V/I) para cada elemento no depende del tiempo, sino que depende de la frecuencia de la fuente.
    • Para un circuito RC en serie, la impedancia se da como\( \mathrm { Z } = \sqrt { \mathrm { R } ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { \omega \mathrm{C} } \right) ^ { 2 } }\).
    • En un circuito RC en serie conectado a una fuente de voltaje de CA, las corrientes en la resistencia y el condensador son iguales y en fase.
    • En un circuito RC en serie conectado a una fuente de voltaje de CA, el voltaje total debe ser igual a la suma de tensiones en la resistencia y el condensador.
    • En un circuito RC serie conectado a una fuente de voltaje de CA, voltaje y corriente tienen una diferencia de fase de\(ϕ\), donde\(\cos \phi = \frac { \mathrm { R } } { \sqrt { \mathrm { R } ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { \omega \mathrm{C} } \right) ^ { 2 } } }\). cosϕ se llama el factor de potencia.

    Términos Clave

    • CC: Corriente continua; el flujo unidireccional de carga eléctrica.
    • condensador: Un componente electrónico capaz de almacenar una carga eléctrica, especialmente uno que consta de dos conductores separados por un dieléctrico.
    • ecuación diferencial: Ecuación que involucra las derivadas de una función.
    • impedancia: Una medida de la oposición al flujo de una corriente alterna en un circuito; la agregación de su resistencia, reactancia inductiva y capacitiva. Representado por el símbolo Z.
    • resistor: Un componente eléctrico que transmite corriente en proporción directa a la tensión a través de ella.
    • corriente alterna: (AC) —Una corriente eléctrica en la que la dirección de flujo de los electrones se invierte periódicamente teniendo un promedio de cero, con valores positivos y negativos (con una frecuencia de 50 Hz en Europa, 60 Hz en EE.UU., 400 Hz para la iluminación del aeropuerto, y algunos otros); especialmente tal corriente producida por un generador giratorio o alternador.
    • rms: Raíz cuadrática media: una medida estadística de la magnitud de una cantidad variable.

    LICENCIAS Y ATRIBUCIONES

    CONTENIDO CON LICENCIA CC, COMPARTIDO PREVIAMENTE

    CC CONTENIDO LICENCIADO, ATRIBUCIÓN ESPECÍFICA

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