14A: Leyes de Newton #1: Uso de diagramas de cuerpo libre

Si arrojas una roca hacia arriba en presencia de otra persona, y le preguntas a esa otra persona qué mantiene la roca yendo hacia arriba, después de que deja tu mano pero antes de que alcance su mayor altura, esa persona puede decirte incorrectamente que la fuerza de la mano de la persona la mantiene en marcha. Esto ilustra el error común de que la fuerza es algo que se le da a la roca de la mano y que la roca “tiene” mientras está en el aire. No lo es. Una fuerza se trata de algo que se le está haciendo a un objeto. Hemos definido una fuerza para ser un empuje continuo o un tirón. Es algo de lo que un objeto puede ser víctima, nunca es algo que un objeto tenga. Mientras la fuerza actúa sobre el objeto, el movimiento del objeto es consistente con el hecho de que la fuerza está actuando sobre el objeto. Una vez que la fuerza ya no está actuando sobre el objeto, no existe tal fuerza, y el movimiento del objeto es consistente con el hecho de que la fuerza está ausente. (Como se revela en este capítulo, la respuesta correcta a la pregunta sobre qué mantiene a la roca subiendo, es, “Nada”. Seguir subiendo es lo que hace todo por sí mismo si ya va hacia arriba. No necesitas nada para que siga haciendo eso. De hecho, la única razón por la que la roca no sigue ascendiendo para siempre es porque hay una fuerza descendente sobre ella. Cuando hay una fuerza descendente y solo una fuerza descendente sobre un objeto, ese objeto está experimentando una aceleración descendente. Esto significa que la roca que se mueve hacia arriba se ralentiza, luego invierte su dirección de movimiento y se mueve hacia abajo cada vez más rápido).

Imagina que las estrellas están fijas en el espacio para que la distancia entre una estrella y otra nunca cambie. (No son fijos. Las estrellas se mueven una relativa a la otra.) Ahora imagina que creas un sistema de coordenadas cartesianas; un conjunto de tres ejes mutuamente ortogonales que etiquetas\(x\),\(y\), y\(z\). Su sistema de coordenadas cartesianas es un marco de referencia. Ahora, siempre y cuando su marco de referencia no esté girando y sea fijo o se mueva a una velocidad constante en relación con las estrellas fijas (ficticias), entonces su marco de referencia es un marco de referencia inercial. Tenga en cuenta que la velocidad tiene tanto magnitud como dirección y cuando estipulamos que la velocidad de su marco de referencia debe ser constante para que sea un marco de referencia inercial, no solo estamos diciendo que la magnitud tiene que ser constante sino que la dirección tiene que ser constante también. La magnitud de la velocidad es la velocidad. Entonces, para que la magnitud de la velocidad sea constante, la velocidad debe ser constante. Para que la dirección sea constante, el marco de referencia debe moverse a lo largo de una trayectoria de línea recta. Entonces, un marco de referencia inercial es aquel que es fijo o se mueve a una velocidad constante a lo largo de una trayectoria en línea recta, en relación con las estrellas fijas (ficticias).

El concepto de un marco de referencia inercial es importante en el estudio de la física porque es en los marcos de referencia inerciales donde se aplican las leyes del movimiento conocidas como Leyes del Movimiento de Newton. Aquí están las tres leyes de movimiento de Newton, observadas para ser respetadas por cualquier partícula de materia en un marco de referencia inercial:

1. Si no hay fuerza neta que actúe sobre una partícula, entonces la velocidad de esa partícula no está cambiando.
2. Si hay una fuerza neta sobre una partícula, entonces esa partícula está experimentando una aceleración que es directamente proporcional a la fuerza, siendo la constante de proporcionalidad el recíproco de la masa de la partícula.
3. Cada vez que un objeto ejerce una fuerza sobre un segundo objeto, el segundo objeto ejerce una fuerza igual pero opuesta sobre el primer objeto.

Discusión de la ^1ª Ley de Newton

A pesar del nombre, en realidad fue Galileo el que ideó la primera ley. Dejó que una bola rodara por una rampa con otra rampa orientada hacia el otro lado frente a ella para que, después de que rodara por una rampa, la pelota rodara hacia arriba por la otra. Señaló que la pelota rodó por la segunda rampa, desacelerándose de manera constante hasta alcanzar la misma elevación que aquella de la que originalmente se liberó la pelota del\ resto. Posteriormente redujo repetidamente el ángulo que hacía la segunda rampa con la horizontal y soltó la pelota del reposo de la posición original por cada nueva inclinación de la segunda rampa. Cuanto menor era el ángulo, más lentamente se reducía la velocidad de la pelota al subir la segunda rampa y más lejos tenía que recorrer la superficie de la segunda rampa antes de llegar a su elevación inicial. Cuando finalmente puso el ángulo a cero, el balón no pareció disminuir en absoluto la velocidad en la segunda rampa. No tenía una rampa infinitamente larga, pero indujo que si lo hacía, con la segunda rampa horizontal, la pelota seguiría rodando para siempre, nunca bajando la velocidad porque por muy lejos que rodara, nunca ganaría ninguna elevación, por lo que nunca llegaría a la elevación inicial. Su conclusión fue que si un objeto se estaba moviendo, entonces si nada interfería con su movimiento seguiría moviéndose a la misma velocidad en la misma dirección. Entonces, ¿qué lo mantiene en marcha? La respuesta es “nada”. Ese es el punto entero. Un objeto no necesita nada para mantenerlo en marcha. Si ya se está moviendo, ir a una velocidad constante es lo que hace siempre y cuando no haya una fuerza neta que actúe sobre ella. De hecho, se necesita una fuerza para cambiar la velocidad de un objeto.

No es difícil ver por qué se necesitó una gran parte de la historia humana para que alguien se diera cuenta de que si no hay fuerza neta sobre un objeto en movimiento, seguirá moviéndose a una velocidad constante, porque la cosa es, donde vivimos, en la superficie de la Tierra, inevitablemente hay una fuerza neta sobre un objeto en movimiento. Tiras algo hacia arriba y la Tierra tira hacia abajo sobre él todo el tiempo que el objeto está en vuelo. No va a seguir viajando en línea recta hacia arriba, no con la Tierra tirando de ella. Incluso si intentas deslizar algo a través de la superficie lisa de un estanque congelado donde la tracción hacia abajo del campo gravitacional de la Tierra es cancelada por el hielo que presiona sobre el objeto, encuentras que el objeto se ralentiza debido a una fuerza de fricción que empuja sobre el objeto en la dirección opuesta a la del la velocidad del objeto y de hecho una fuerza de resistencia aérea haciendo lo mismo. Ante la presencia de estas fuerzas ubicuas, la humanidad tardó mucho en darse cuenta de que si no hubiera fuerzas, un objeto en movimiento permanecería en movimiento por un camino en línea recta, a velocidad constante, y que un objeto en reposo permanecería en reposo.

Discusión de la ^2ª Ley de Newton

Galileo indujo algo más de interés a partir de sus experimentos de bola en rampa al centrar su atención en la primera rampa discutida anteriormente. La observación de una pelota liberada del descanso le reveló que la pelota aceleró de manera constante en el camino por la rampa. Pruébalo. Siempre y cuando no hagas la rampa demasiado empinada, puedes ver que la pelota no solo rueda por la rampa a cierta velocidad fija, acelera todo el camino hacia abajo. Galileo señaló además que cuanto más empinada era la rampa, más rápido se aceleraría la pelota en el camino hacia abajo. Hizo juicio tras juicio, comenzando con un plano ligeramente inclinado y gradualmente haciéndolo cada vez más empinado. Cada vez que lo hacía más empinado, la pelota, al bajar por la rampa, se aceleraba más rápido que antes, hasta que la rampa se ponía tan empinada que ya no podía ver que se aceleraba en el camino hacia abajo de la rampa, simplemente estaba pasando demasiado rápido para ser observada. Pero Galileo indujo que, a medida que continuaba haciendo más empinada la rampa, sucedía lo mismo. Es decir que la velocidad de la pelota seguía aumentando en su camino por la rampa y cuanto mayor fuera el ángulo, más rápido aceleraría la pelota. De hecho, indujo que si aumentaba la inclinación hasta el ángulo máximo, 90°, la pelota aceleraría todo el camino por la rampa más rápido de lo que lo haría en cualquier ángulo menor pero que aún así aceleraría en el camino hacia abajo. Ahora bien, cuando la rampa se inclina a 90°, la bola en realidad está cayendo en lugar de rodar por la rampa, así que la conclusión de Galileo fue que cuando se deja caer un objeto (para el cual la resistencia al aire es insignificante), lo que sucede es que el objeto acelera todo el camino hacia abajo, hasta que golpea la Tierra.

Galileo así hizo bastante para preparar el escenario para Sir Isaac Newton, quien nació el mismo año en que Galileo murió. Fue Newton quien reconoció la relación entre fuerza y movimiento. Él es quien se dio cuenta de que el vínculo era entre la fuerza y la aceleración, más específicamente, que cada vez que un objeto está experimentando una fuerza neta, ese objeto está experimentando una aceleración en la misma dirección que la fuerza. Ahora, algunos objetos son más sensibles a la fuerza que otros objetos—podemos decir que cada objeto viene con su propio factor de sensibilidad tal que cuanto mayor sea el factor de sensibilidad, mayor será la aceleración del objeto para una fuerza dada. El factor de sensibilidad es el recíproco de la masa del objeto, por lo que podemos escribir que

\[\vec{a}=\dfrac{1}{m} \sum \vec{F} \label{14-1}\]

donde\(\vec{a}\) está la aceleración del objeto,\(m\) es la masa del objeto, y\(\Sigma\vec{F}\) es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto, es decir que\(\sum \vec{F}\) es la fuerza neta que actúa sobre el objeto.

Discusión de la Tercera Ley de Newton

Al darse cuenta de que cada vez que un objeto está en el acto de ejercer una fuerza sobre un segundo objeto, el segundo objeto está siempre en el acto de ejercer una fuerza igual y opuesta sobre el primer objeto, Newton estaba reconociendo un aspecto de la naturaleza que, en la superficie, parece bastante simple y directo, pero rápidamente lleva a conclusiones que, por correctas que sean, y de hecho son correctas, son bastante contrarias a la intuición. La ^{tercera ley de} Newton es una declaración del hecho de que cualquier fuerza es solo la mitad de una interacción donde una interacción en este sentido es el empuje o tirón mutuo que ocurre con bastante frecuencia cuando un objeto está cerca de otro.

En algunos casos, donde el efecto es obvio, la validez de la tercera ley de Newton es bastante evidente. Por ejemplo, si dos personas que tienen la misma masa están en patines y están enfrentadas y una empuja al otro, vemos que ambos patinadores van rodando hacia atrás, alejándose uno del otro. Al principio podría ser difícil aceptar el hecho de que el segundo patinador está empujando hacia atrás en las manos del primer patinador, pero podemos decir que la patinadora que pensamos como el empujador, también debe ser un “pushee”, porque podemos ver que experimenta una aceleración hacia atrás. De hecho, mientras se produce el empuje, la fuerza que se ejerce sobre ella debe ser igual de grande que la fuerza que ejerce sobre el otro patinador porque vemos que su velocidad final hacia atrás es igual de grande que la del otro patinador (samemass).

Pero, ¿qué tal esos casos en los que el efecto de al menos una de las fuerzas en el par de interacción no es para nada evidente? Supongamos por ejemplo que tienes una escoba apoyada contra una pared resbaladiza. Aparte de nuestro conocimiento de las leyes de Newton, ¿cómo podemos convencernos de que la escoba está presionando contra la pared, es decir, que la escoba ejerce continuamente una fuerza sobre la pared; y; ¿cómo podemos convencernos de que la pared está ejerciendo fuerza sobre la escoba? Una forma de convencerte es dejar que tu mano juegue el papel de la pared. Mueve la escoba y pon tu mano en el lugar de la pared para que la escoba quede apoyada contra la palma de tu mano en el mismo ángulo que estaba contra la pared con la palma de tu mano orientada directamente hacia la punta del mango. Puedes sentir la punta del mango presionando contra la palma de tu mano. De hecho, puedes ver la indentación que la punta del mango de la escoba hace en tu mano. Puedes sentir la fuerza del mango de la escoba en tu mano y puedes inducir que cuando la pared está donde está tu mano, con relación a la escoba, el mango de la escoba debe estar presionando sobre la pared con la misma fuerza.

¿Qué tal este negocio de la pared ejerciendo una fuerza sobre (empujando) la punta del mango de la escoba? Nuevamente, con tu mano jugando el papel de la pared, mueve rápidamente tu mano fuera del camino. La escoba, por supuesto, se cae. Antes de mover tu mano, debes haber estado aplicando una fuerza sobre la escoba o de lo contrario la escoba se habría caído entonces. Podrías argumentar que tu mano no necesariamente estaba aplicando una fuerza sino que tu mano estaba simplemente “en el camino”. Bueno, estoy aquí para decirte que “estar en el camino” se trata de aplicar una fuerza. Cuando la escoba está apoyada contra la pared, el hecho de que la escoba no se caiga significa que la pared está ejerciendo una fuerza sobre la escoba que cancela las otras fuerzas para que no hagan caer la escoba. De hecho, si el muro no fuera lo suficientemente fuerte como para ejercer tal fuerza, el muro se rompería. Aún así, sería bueno tener una sensación visceral de la fuerza ejercida sobre la escoba por la pared. Deja que tu mano juegue el papel de la pared, pero esta vez, deja que la escoba se apoye contra tu meñique, cerca de la punta de tu dedo. Para mantener la escoba en la misma orientación que estaba cuando estaba apoyada contra la pared, puedes sentir que tienes que ejercer una fuerza en la punta del mango de la escoba. De hecho, si aumentas un poco esta fuerza, el mango de la escoba se inclina más hacia arriba, y si la disminues, se inclina más hacia abajo. Nuevamente, puedes sentir que estás empujando la punta del mango de la escoba cuando estás haciendo que el mango de la escoba permanezca estacionario en la misma orientación que tenía cuando se apoyaba contra la pared, y puedes inducir que cuando la pared está donde está tu mano, con relación a la escoba, la pared debe estar presionando el mango de la escoba con la misma fuerza. Tenga en cuenta que la dirección en la que la pared está empujando sobre la escoba es alejada de la pared en ángulo recto con la pared. Tal fuerza se ejerce sobre cualquier objeto que esté en contacto con una superficie sólida. Esta fuerza de contacto ejercida por una superficie sólida sobre un objeto en contacto con esa superficie se denomina “fuerza normal” porque la fuerza es perpendicular a la superficie y la palabra “normal” significa perpendicular.

Uso de diagramas de cuerpo libre

La clave para la solución exitosa del ^segundo problema de la Ley de Newton es dibujar un buen diagrama de cuerpo libre del objeto cuyo movimiento está en estudio y luego usar ese diagrama de cuerpo libre para expandir la ^2ª Ley de Newton, es decir, reemplazar el\(\Sigma\vec{F}\) con una suma real término por término de las fuerzas. Tenga en cuenta que la ^2ª Ley de Newton

\[\vec{a}=\dfrac{1}{m}\sum \vec{F}\]

es una ecuación vectorial y por lo tanto, en el caso más general (\(3\)dimensiones) es en realidad tres ecuaciones escalares en una, una para cada una de las tres posibles direcciones mutuamente ortogonales en el espacio. (Un escalar es un número. Algo que tiene magnitud solamente, a diferencia de un vector que tiene magnitud y dirección.) En tu curso de física, normalmente estarás lidiando con fuerzas que se encuentran todas en el mismo plano y, por lo tanto, normalmente obtendrás dos ecuaciones de

\[\vec{a}=\dfrac{1}{m}\Sigma\vec{F}.\]

Respecto a los Diagramas de Cuerpo Libre: La parte difícil es crearlos a partir de una descripción del proceso físico bajo consideración; la parte fácil es usarlos. En lo poco que queda de este capítulo, nos centraremos en la parte fácil: Dado un Diagrama de Cuerpo Libre, úsalo para encontrar una fuerza desconocida o fuerzas desconocidas, y/o utilizarlo para encontrar la aceleración del objeto.

Por ejemplo, dado el diagrama de cuerpo libre

para un objeto de masa\(2.00 kg\), encontrar la magnitud de la fuerza normal\(F_N\) y encontrar la magnitud de la aceleración a. (Obsérvese que definimos los símbolos que usamos para representar los componentes de las fuerzas y el componente de la aceleración, en el diagrama de cuerpo libre. Esto lo hacemos dibujando una flecha cuyo eje representa una línea a lo largo de la cual se encuentra la fuerza, y cuya punta de flecha definimos como la dirección positiva para ese componente de fuerza, y luego etiquetando la flecha con nuestro símbolo elegido. Un valor negativo para un símbolo así definido, simplemente significa que la fuerza o aceleración correspondiente está en la dirección opuesta a la dirección en la que apunta la flecha.

Solución

Obsérvese que la aceleración y todas las fuerzas se encuentran a lo largo de una u otra de dos líneas imaginarias (una de las cuales es horizontal y la otra vertical) que son perpendiculares entre sí. La aceleración a lo largo de una línea es independiente de cualquier fuerza perpendicular a esa línea por lo que podemos considerar una línea a la vez. Tratemos primero con la línea horizontal. Escribimos la ^2ª Ley de Newton para la línea horizontal como

\[a_{\rightarrow}=\dfrac{1}{m} \Sigma F_{\rightarrow} \label{14-2}\]

en el que los ejes de las flechas indican la línea a lo largo de la cual estamos sumando fuerzas (los ejes en la ecuación 14-2 son horizontales por lo que debemos estar sumando fuerzas a lo largo de la horizontal) y la punta de flecha indica en qué dirección consideramos que es la dirección positiva (cualquier fuerza en sentido contrario entra en el suma con un signo menos).

El siguiente paso es reemplazar\(a_{\rightarrow}\) con el símbolo que hemos utilizado en el diagrama para representar la aceleración hacia la derecha y la\(\Sigma F_{\rightarrow}\) con una suma real término a término de las fuerzas que incluye solo las fuerzas horizontales y en la que las fuerzas hacia la derecha entran con una “\(+\)” y fuerzas hacia la izquierda entrar con un “\(−\)”. Esto produce:

\[a=\dfrac{1}{m}(F_p-F_{kf})\]

Sustituir valores con unidades y evaluar da:

\[a=\dfrac{1}{2.00kg}(31N-13N)=9.0\dfrac{m}{s^2}\]

Ahora volvemos nuestra atención hacia la dirección vertical. Para su comodidad, el diagrama de cuerpo libre se replica aquí:

Nuevamente comenzamos con la ^2ª Ley de Newton, esta vez escrita para la dirección vertical:

\[a_{\downarrow}=\dfrac{1}{m} \Sigma F_{\downarrow}\]

Sustituimos\(a_{\downarrow}\) con lo que es y\(\Sigma F_{\downarrow}\) reemplazamos por la suma término por término de las fuerzas por un “\(+\)” para las fuerzas descendentes y un\(−\) “” para las fuerzas ascendentes. Tenga en cuenta que la única a en el diagrama de cuerpo libre es horizontal. A quien se le ocurrió ese diagrama de cuerpo libre nos está diciendo que no hay aceleración en la dirección vertical, es decir, eso\(a_{\downarrow}=0\). Así:

\[0=\dfrac{1}{m}(F_g-F_N)\]

Resolviendo esto para\(F_N\) rendimientos:

\[F_N=F_g\]

Sustituir valores por unidades da como resultado una respuesta final de:

\[F_N=19.6\; N\]