25A: Energía Potencial, Conservación de Energía, Energía

El trabajo realizado sobre una partícula por una fuerza que actúa sobre ella a medida que esa partícula se mueve del punto A al punto B bajo la influencia de esa fuerza, para algunas fuerzas, no depende del camino seguido por la partícula. Para tal fuerza existe una manera fácil de calcular el trabajo realizado sobre la partícula a medida que se mueve del punto A al punto B. Uno simplemente tiene que asignar un valor de energía potencial (de la partícula) al punto A (llamar a ese valor\(U_A\)) y un valor de energía potencial al punto B (llamar a ese valor\(U_B\)). Uno elige los valores de tal manera que el trabajo realizado por la fuerza en cuestión es sólo lo negativo de la diferencia entre los dos valores.

\[W=-(U_B-U_A) \]

\[W=-\triangle U \label{25-1}\]

\(\triangle U=U_B-U_A\)es el cambio en la energía potencial que experimenta la partícula a medida que se mueve del punto A al punto B. El signo menos en la ecuación 25-1 asegura que un aumento en la energía potencial corresponde al trabajo negativo realizado por la fuerza correspondiente. Por ejemplo, para el caso de la energía potencial gravitacional de la superficie de nearearth's, la fuerza asociada es la fuerza gravitacional, también conocida como la fuerza gravitacional. Si levantamos un objeto hacia arriba cerca de la superficie de la tierra, la fuerza gravitacional hace un trabajo negativo sobre el objeto ya que la fuerza (hacia abajo) está en la dirección opuesta al desplazamiento (hacia arriba). Al mismo tiempo, estamos incrementando la capacidad de la partícula para hacer trabajo por lo que estamos incrementando la energía potencial. Así, necesitamos el inicio de sesión “- “\( \omega =-\triangle U\)para asegurar que el cambio en el método de energía potencial de calcular la obra dé el mismo signo algebraico para el valor de la obra que da la fuerza-a lo largo del camino multiplicada por la longitud del camino.

Tenga en cuenta que para que este método de cálculo del trabajo sea útil en cualquier caso que pueda surgir, se debe asignar un valor de energía potencial a cada punto del espacio donde la fuerza pueda actuar sobre una partícula para que el método pueda ser utilizado para calcular el trabajo realizado sobre una partícula a medida que la partícula se mueve de cualquier punto A a cualquier punto B. En general, esto significa que necesitamos un valor para cada uno de un conjunto infinito de puntos en el espacio.

Esta asignación de un valor de energía potencial a cada uno de un conjunto infinito de puntos en el espacio puede parecer desalentadora hasta que te des cuenta de que se puede hacer por medio de una simple expresión algebraica. Por ejemplo, ya hemos escrito la asignación de una partícula de masa\(m_2\) para el caso de la fuerza gravitacional universal debida a una partícula de masa\(m_1\). Era la ecuación\(\ref{17-5}\):

\[U\space=\space -\dfrac{Gm_1m_2}{r} \]

en la que G es la constante gravitacional universal\(G=6.67 \times 10^{-11} \dfrac{N\cdot m^2}{kg^2}\) y r es la distancia que la partícula 2 es de la partícula 1. Tenga en cuenta que considerando que la partícula 1 está en el origen de un sistema de coordenadas, ¡esta ecuación asigna un valor de energía potencial a cada punto del universo! El valor, para cualquier punto, simplemente depende de la distancia que esté el punto desde el origen. Supongamos que queremos encontrar el trabajo realizado por la fuerza gravitacional debida a la partícula 1, sobre la partícula 2 a medida que la partícula 2 se mueve desde el punto A, una distancia\(r_A\) desde la partícula 1 hasta el punto B, una distancia\(r_B\), desde la partícula 1. La fuerza gravitacional ejercida sobre ella (partícula 2) por el campo gravitacional de la partícula 1 hace una cantidad de trabajo, sobre la partícula 2, dada por (comenzando con la ecuación\(\ref{25-1}\)):

\[ W=\triangle U \]

\[ W=-(U_B-U_A) \]

\[ W=-\Big [(-\dfrac{Gm_1m_2}{r_B})-(-\dfrac{Gm_1m_2}{r_A})\Big ] \]

\[ W=Gm_1m_2 (\dfrac{1}{r_B}-\dfrac{1}{r_A}) \]

La relación entre una fuerza conservadora y el potencial correspondiente

Si bien este negocio de calcular el trabajo realizado sobre una partícula como el negativo del cambio en su energía potencial hace que sea mucho más fácil calcular el trabajo, sí hay que tener cuidado para definir el potencial de tal manera que este método sea equivalente a calcular el trabajo como la fuerza a lo largo del camino multiplicada por el longitud del camino. En lugar de saltar al problema de encontrar la energía potencial en todos los puntos de una región tridimensional del espacio para una especie de fuerza que se sabe que existe en todos los puntos de esa región tridimensional del espacio, analicemos el problema más simple de encontrar el potencial a lo largo de una línea. Definimos un sistema de coordenadas que consiste en un solo eje, llamémoslo el eje x, con un origen y una dirección positiva. Ponemos una partícula en la línea, una partícula que puede moverse a lo largo de la línea. Suponemos que tenemos una fuerza que actúa sobre la partícula dondequiera que la partícula esté en la línea y que la fuerza se dirija a lo largo de la línea. Si bien también abordaremos el caso de una fuerza que tenga el mismo valor en diferentes puntos a lo largo de la línea, suponemos que, en general, la fuerza varía con la posición. \(\leftarrow\)Recuerda este hecho para que puedas encontrar la falla que se discute a continuación. Debido a que queremos definir un potencial para ello, es importante que el trabajo realizado sobre la partícula por la fuerza que se ejerce sobre la partícula, ya que la partícula se mueve del punto A al punto B no dependa de cómo la partícula llegue del punto A al punto B. Nuestro objetivo es definir una función de energía potencial para la fuerza de tal manera que obtengamos el mismo valor para el trabajo realizado sobre la partícula por la fuerza, ya sea que utilicemos el método fuerza-longitud-trayectoria para calcularla o el negativo del método de cambio de energía potencial. Supongamos que la partícula sufre un desplazamiento\(\triangle x\) a lo largo de la línea bajo la influencia de la fuerza. Mira si puedes ver la falla en lo siguiente, antes de señalarlo: Escribimos\(W=F\triangle x\) para el trabajo realizado por la fuerza, calculado usando la fuerza a lo largo del camino multiplicada por la longitud de la idea de camino, y luego\(W=-\triangle U\) para el trabajo realizado por la fuerza calculada usando lo negativo del cambio en la energía potencial concepto. Estableciendo las dos expresiones iguales entre sí, tenemos,\(F\triangle x=-\triangle U\) que podemos escribir en\(F=-\dfrac{\triangle U}{\triangle x}\) cuanto a la relación entre la energía potencial y el componente x de la fuerza.

¿Ves dónde nos equivocamos? Si bien el método funcionará para el caso especial en el que la fuerza es una constante, se suponía que íbamos a llegar a una relación que fuera buena para el caso general en el que la fuerza varía con la posición. Eso significa que por cada valor de x en el rango de valores que se extiende desde el valor inicial\(x_A\), llamémoslo, hasta el valor al final del desplazamiento\(x_A+\triangle x\), hay un valor diferente de fuerza. Entonces la expresión\(W=F\triangle x\) es inapropiada. Ante un problema numérico, no hay un valor para enchufar para F, porque F varía a lo largo del\(\triangle x\).

Para arreglar las cosas, podemos encogernos\(\triangle x\) a un tamaño infinitesimal, tan pequeño que,\(x_A\) y\(x_A + \triangle x\) son, para todos los fines prácticos, uno y el mismo punto. Es decir, tomamos el límite como\(\triangle x \rightarrow 0\). Entonces nuestra relación se convierte

\[ F_x=\lim \limits_{\triangle x \to 0} (-\dfrac{\triangle U}{\triangle x}) \]

que es lo mismo que

\[ F_x=-\lim \limits_{\triangle x \rightarrow 0} (-\dfrac{\triangle U}{\triangle x}) \]

El límite de\(\frac{\triangle U}{\triangle x}\) lo que aparece a la derecha no es otro que el derivado\(\frac{dU}{dx}\), por lo que:

\[ F_x=-\dfrac{dU}{dx} \label{25-2}\]

Para enfatizar el hecho de que la fuerza es un vector, lo escribimos en notación vectorial unitaria como:

\[ \vec{F}=-\dfrac{dU}{dx} \hat{i} \label{25-3}\]

Hagamos esto más concreto usándolo para determinar la energía potencial debida a una fuerza con la que estás familiarizado—la fuerza debida a un resorte.

Considera un bloque en superficie horizontal sin fricción. El bloque está unido a un extremo de un resorte. El otro extremo del muelle está unido a una pared. El resorte se extiende horizontalmente alejándose de la pared, en ángulo recto con la pared. Definir un eje x con el origen en la posición de equilibrio de ese extremo del resorte que está unido al bloque. Considera que la dirección alejada de la pared es la dirección x positiva. Experimentalmente, encontramos que la fuerza ejercida por el resorte sobre el bloque viene dada por:

\[ \vec{F}=-kx\hat{i} \label{25-4}\]

donde\(k\) es la constante de fuerza del resorte. (Nota: Un positivo\(x\), correspondiente a que el bloque haya sido jalado de la pared, estirando así el resorte, resulta en una fuerza en la\(x\) dirección negativa. Un resorte negativo comprimido\(x\), da como resultado una fuerza en la\(+x\) dirección, consistente con el sentido común.) En comparación con la ecuación\(\ref{25-3}\) (la que lee\(\vec{F}=-\dfrac{dU}{dx} \hat{i}\)) observamos que la función de energía potencial tiene que definirse de manera que

\[\dfrac{dU}{dx}=kx \]

Este es un caso tan sencillo que prácticamente podemos adivinar lo que\(U\) tiene que ser. \(U\)tiene que definirse de tal manera que cuando tomamos la derivada de la misma obtenemos una constante (la\(k\)) tiempos\(x\) a la potencia de 1. Ahora cuando se toma la derivada de\(x\) a un poder, se reduce el poder en uno. Para que eso resulte en una potencia de 1, la potencia original debe ser 2. También, la derivada de una constante veces algo produce esa misma constante por la derivada, por lo que, debe haber un factor de k en la función de energía potencial. Vamos a tratar\(U=kx^2\) de ver a dónde nos lleva eso. El derivado de\(kx^2\) es\(2kx\). Excepto por ese factor de\(2\) afuera, eso es exactamente lo que queremos. Modificemos nuestra conjetura multiplicándola por un factor de\(\frac{1}{2}\), para eventualmente cancelar el 2 que baja cuando tomamos la derivada. Con\(U=\dfrac{1}{2}kx^2\) conseguimos\(\frac{dU}{dx}\space=\space kx\) que es exactamente lo que necesitábamos. Por lo tanto

\[ U=\dfrac{1}{2} kx^2 \label{25-5} \]

es de hecho la energía potencial para la fuerza debido a un resorte. Usaste esta expresión de nuevo en el capítulo\(2\). Ahora ya sabes de dónde viene.

Hemos considerado otras dos fuerzas conservadoras. Para cada uno, encontremos la función energética potencial\(U\) que cumpla con el criterio que hemos escrito como,\(\vec{F}=-\dfrac{dU}{dx} \hat{i}\).

Primero, consideremos la fuerza gravitacional cercana a la superficie terrestre ejercida sobre un objeto de masa m, por la tierra. Elegimos nuestro eje único para ser dirigido verticalmente hacia arriba con el origen a una elevación arbitraria pero claramente especificada y fija para todo el problema que se pueda resolver utilizando los conceptos aquí considerados. Por convención, llamamos a dicho eje el eje y en lugar del eje x. Ahora sabemos que la fuerza gravitacional se da simplemente (de nuevo, este es un resultado experimental) por

\[ \vec{F}=\space -mg\hat{j} \]

donde el mg es la magnitud conocida de la fuerza gravitacional y la\(-\hat{j}\) es la dirección hacia abajo.

La ecuación\(\ref{25-3}\), escrita para el caso que nos ocupa es:

\[\vec{F}=-\dfrac{dU}{dy} \hat{j} \]

Para que las dos últimas ecuaciones sean consistentes entre sí, necesitamos\(U\) definirnos de tal manera que

\[\dfrac{dU}{dy}=\space mg \]

Para que la derivada de\(U\) con respecto a y sea la constante “mg”,\(U\) debe ser dada por

\[ U=\space mgy \label{25-6}\]

y de hecho esta es la ecuación para la energía potencial gravitacional cercana a la superficie de la Tierra. Por favor verifica que cuando tomas la derivada de la misma con respecto a y, efectivamente obtienes la magnitud de la fuerza gravitacional,\(mg\).

Ahora volvamos nuestra atención a la Ley Universal de la Gravitación. La partícula número 1 de masa\(m_1\) crea un campo gravitacional en la región del espacio a su alrededor. Definamos la posición de la partícula número 1 para que sea el origen de un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional. Ahora supongamos que la partícula número 2 está en alguna posición en el espacio, a una distancia r de la partícula 1. Definamos la dirección en la que se encuentra la partícula 2, en relación con la partícula 1, como la\(+x\) dirección. Entonces, las coordenadas de la partícula 2 son (r,0,0). r es entonces el componente x del vector de posición para la partícula 2, una cantidad que ahora llamaremos x Es decir, x se define de tal manera que\(x=r\). En términos del sistema de coordenadas así definido, la fuerza ejercida por el campo gravitacional de la partícula 1, sobre la partícula 2, viene dada por:

\[\vec{F}=-\dfrac{Gm_1m_2}{x^2} \hat{i} \]

que reescribo aquí:

\[\vec{F}=-\dfrac{Gm_1m_2}{x^2} \hat{i} \]

Compare esto con la ecuación\(\ref{25-3}\):

\[\vec{F}=-\dfrac{dU}{dx} \hat{i} \]

Combinando las dos ecuaciones, observamos que nuestra expresión para la energía potencial\(U\) en términos de x debe satisfacer la ecuación

\[ \dfrac{dU}{dx}=\dfrac{Gm_1m_2}{x^2} \]

Es más fácil deducir lo que\(U\) debe ser si escribimos esto como:

\[ \dfrac{dU}{dx}=\space Gm_1m_2x^{-2} \]

Para que la derivada de\(U\) con respecto a x sea una constante\((Gm_1m_2)\) por una potencia (-2) de x,\(U\) en sí misma debe ser esa misma constante\((Gm_1m_2)\) veces x a la siguiente potencia superior (-1), dividida por el valor de esta última potencia.

\[ U=\dfrac{Gm_1m_2 x^{-1}}{-1} \]

que se puede escribir

\[ U=-\dfrac{Gm_1m_2}{r}\label{25-7}\]

Esta es efectivamente la expresión del potencial gravitacional que le dimos (sin justificación alguna para ello) allá por el Capítulo 17, el capítulo sobre la Ley Universal de la Gravitación.

Conservación de Energía Revisitada

Recordemos la relación trabajo-energía, ecuación\(\ref{24-2}\) del último capítulo,

\[ W=\triangle K ,\]

la afirmación de que el trabajo provoca un cambio en la energía cinética. Consideremos ahora un caso en el que todo el trabajo es realizado por fuerzas conservadoras, por lo que, el trabajo puede expresarse como el negativo del cambio en la energía potencial.

\[ -\triangle U=\triangle K \]

Supongamos además que estamos ante una situación en la que una partícula se mueve del punto A al punto B bajo la influencia de la fuerza o fuerzas correspondientes a la energía potencial\(U\).

Entonces, la expresión anterior puede escribirse como:

\[-(U_B-U_A)=K_B-K_A \]

\[-U_B+U_A=K_B-K_A \]

\[K_A+U_A=K_B+U_B \]

Cambiando a notación en la que usamos variables cebadas para caracterizar la partícula cuando está en el punto B y variables no cebadas en A tenemos:

\[ K+U=K'+U' \]

Interpretando\(E=K+U\) como la energía del sistema en el instante “antes”, y\(E'=K'+U'\) como la energía del sistema en el instante “después”, vemos que hemos derivado la conservación de la declaración de energía mecánica para el caso especial de no transferencia neta de energía hacia o desde el entorno y sin conversión de energía dentro del sistema de energía mecánica a otras formas o viceversa. En forma de ecuación, la declaración es

\[ E=E' \label{25-8}\]

una ecuación a la que te introdujeron en el capítulo 2. Tenga en cuenta que sería muy conveniente revisar el capítulo 2 ahora, porque para el capítulo actual, nuevamente es responsable de resolver cualquiera de los problemas de “tipo capíto-2” (recordar incluir, y usar correctamente, antes y después de los diagramas) y responder a cualquiera de las preguntas de “tipo capítulo 2”.

Poder

En esta última sección sobre energía abordamos un nuevo tema. Como concepto separado e importante, merecería su propio capítulo salvo por el hecho de que es un concepto tan simple, directo. El poder es la tasa de transferencia de energía, conversión de energía y, en algunos casos, la velocidad a la que se producen simultáneamente la transferencia y conversión de energía. Cuando trabajas en un objeto, estás transfiriendo energía a ese objeto. Supongamos, por ejemplo, que está empujando un bloque a través de una superficie horizontal sin fricción. Estás trabajando en el objeto. La energía cinética del objeto va en aumento. La velocidad a la que aumenta la energía cinética se conoce como potencia. La tasa de cambio de cualquier cantidad (qué tan rápido cambia esa cantidad) se puede calcular como la derivada de esa cantidad con respecto al tiempo. En el caso que nos ocupa, la potencia P puede expresarse como

\[ P=\space \dfrac{dK}{dt} \label{25-9}\]

la derivada del tiempo de la energía cinética. Ya\(K=\dfrac{1}{2}mV^2\) que tenemos

\[P=\dfrac{d}{dt}\space \dfrac{1}{2}m\space V^2 \]

\[P=\dfrac{1}{2}\space m\space \dfrac{d}{dt}v^2 \]

\[P= \dfrac{1}{2}m\space 2v \space \dfrac{dv}{dt} \]

\[P=m\dfrac{dv}{dt}v \]

\[P=m \, a_{\parallel}v\]

\[P=F_{\parallel} \, v \]

\[P=\vec{F}\cdot\vec{v} \label{25-10}\]

donde\(a_{\parallel}\) es el componente de aceleración paralelo al vector de velocidad. El componente perpendicular cambia la dirección de la velocidad pero no la magnitud.

Además de la velocidad a la que cambia la energía cinética, la potencia es la velocidad a la que se está trabajando en el objeto. En un intervalo de tiempo infinitesimal dt, haces una cantidad infinitesimal de trabajo

\[dW=\vec{F}\cdot\vec{dx} \]

sobre el objeto. Dividiendo ambos lados por dt, tenemos

\[\dfrac{dW}{dt}=\vec{F}\cdot \dfrac{\vec{dx}}{dt} \]

que de nuevo es

como debe ser ya que, de acuerdo con la relación trabajo-energía, la velocidad a la que se trabaja en el objeto tiene que ser la velocidad a la que aumenta la energía cinética del objeto.

Si trabaja a una velocidad constante durante un intervalo de tiempo finito, la potencia es constante y simplemente se puede calcular como la cantidad de trabajo realizado durante el intervalo de tiempo dividido por el propio intervalo de tiempo. Por ejemplo, cuando subes escaleras, conviertes la energía química almacenada en tu cuerpo en energía potencial gravitacional. La velocidad a la que haces esto es poder. Si subes a una velocidad constante para un aumento total de la energía potencial gravitacional\(\triangle U\) durante un intervalo de tiempo,\(\triangle t\) entonces el valor constante de su potencia durante ese intervalo de tiempo es

\[ P=\dfrac{\triangle U}{\triangle t} \label{25-11}\]

Si sabes que la potencia es constante, conoces el valor de la potencia P, y se te pide que encuentres la cantidad total de trabajo realizado, la cantidad total de energía transferida y/o la cantidad total de energía convertida durante un intervalo de tiempo determinado\(\triangle t\), solo tienes que multiplicar la potencia P por el intervalo de tiempo\(\triangle t\).

\[ \mbox{Energy}=P \triangle t \label{25-12}\]

Uno podría incluir al menos una docena de fórmulas en tu hoja de fórmulas para poder, pero todas son tan simples que, si entiendes qué es el poder, puedes llegar a la fórmula específica que necesitas para el caso en el que estás trabajando. Incluimos solo una fórmula en la hoja de fórmulas,

\[ P=\dfrac{dE}{dt} \label{25-13}\]

que debería recordarte lo que es el poder. Dado que el poder es la tasa de cambio de la energía, las unidades de poder SI deben serlo\(\frac{j}{s}\). A esta unidad combinada se le da un nombre, el vatio, abreviado W.

\[ 1W=1\dfrac{J}{s} \label{25-14}\]