28A: Oscilaciones: El péndulo simple, energía en movimiento armónico simple

Comenzando con la sacudida del péndulo en su posición más alta en un lado, el período de oscilaciones es el tiempo que tarda el bob en balancearse hasta su posición más alta en el otro lado y de nuevo. No olvides esa parte sobre “y de vuelta otra vez”.

Por definición, un péndulo simple consiste en una partícula de masa m suspendida por una cuerda inestirable sin masa de longitud L en una región del espacio en la que hay un campo gravitacional constante uniforme, por ejemplo cerca de la superficie de la tierra. La partícula suspendida se llama el bob del péndulo. Aquí discutimos la moción del bob. Si bien los resultados a revelar aquí son más precisos para el caso de una partícula puntual, son buenos siempre y cuando la longitud del péndulo (desde el extremo superior fijo de la cuerda hasta el centro de masa del bob) sea grande en comparación con una dimensión característica (como el diámetro si el bob es una esfera o el longitud de borde si es un cubo) de la bob. (El uso de un bob de péndulo cuyo diámetro es 10% de la longitud del péndulo (a diferencia de una partícula puntual) introduce un error de 0.05%. Hay que hacer el diámetro del bob 45% de la longitud del péndulo para obtener el error hasta 1%.)

Si tiras del péndulo hacia un lado y lo sueltas, encuentras que oscila de un lado a otro. Oscila. En este punto, no sabes si el bob sufre o no un simple movimiento armónico, pero ciertamente sabes que oscila. Para saber si sufre un simple movimiento armónico, todo lo que tenemos que hacer es determinar si su aceleración es una constante negativa multiplicada por su posición. Debido a que el bob se mueve sobre un arco en lugar de una línea, es más fácil analizar el movimiento usando variables angulares.

El bob se mueve en la parte inferior de un círculo vertical que está centrado en el extremo superior fijo de la cuerda. Nos posicionaremos de tal manera que estemos viendo el círculo, mirando y adoptando un sistema de coordenadas, basado en nuestro punto de vista, que tiene la dirección de referencia recta hacia abajo, y para el cual los ángulos positivos se miden en sentido antihorario desde la dirección de referencia. Refiriéndose al diagrama anterior, ahora dibujamos un pseudo diagrama de cuerpo libre (del tipo que usamos cuando se trata de torque) para el sistema string-plus-bob.

Consideramos que la dirección contraria a las agujas del reloj es la dirección positiva para todas las variables de movimiento rotacional. Aplicando la ^2ª Ley de Newton para el Movimiento Rotacional, produce:

\[\propto_{\circ\circlearrowleft}\space= \frac{\sum \tau_{\circ\circlearrowleft}}{I} \]

\[\propto=\frac{-mgL\space \theta}{I} \]

A continuación implementamos la aproximación de ángulo pequeño. Hacerlo significa que nuestro resultado es aproximado y que cuanto menor sea el ángulo máximo alcanzado durante las oscilaciones, mejor será la aproximación. De acuerdo con la aproximación de ángulo pequeño, con ella entendió que\(\theta\) debe ser en radianes,\(\sin\theta\approx\theta\). Sustituyendo esto en nuestra expresión por\(\propto\), obtenemos:

\[ \propto=-\frac{mgL\theta}{I} \]

Aquí viene la parte donde tratamos al bob como una partícula puntual. El momento de inercia de una partícula puntual, con respecto a un eje que está a una\(L\) distancia, viene dado por\(I=mL^2\). Sustituyendo esto en nuestra expresión\(\propto\) porque llegamos a:

\[\propto=-\frac{-mgL}{mL^2} \theta \]

Algo profundo ocurre en nuestra simplificación de esta ecuación. Las masas cancelan. La masa que determina la fuerza impulsora detrás del movimiento del péndulo (la fuerza gravitacional\(F_g=mg\)) en el numerador, es cancelada exactamente por la masa inercial del bob en el denominador. ¡El movimiento del bob no depende de la masa del bob! Simplificando la expresión para\(\propto\) rendimientos:

\[\propto=-\frac{g}{L}\theta \]

Recordando eso\(\propto\equiv\frac{d^2\theta}{dt^2}\), tenemos:

\[ \frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{L}\]

Oye, esta es la simple ecuación de movimiento armónico, que, en forma genérica, aparece como\(\frac{d^2x}{dt^2}=-| constant | x\) (ecuación\(\ref{27-14}\)) en la que el\(| constant |\) puede equipararse a\((2\pi f)^2\) donde\(f\) está la frecuencia de las oscilaciones. La variable de posición en nuestra ecuación puede no ser\(x\), pero aún tenemos la segunda derivada de la variable de posición siendo igual a la negativa de una constante multiplicada por la variable de posición misma. Siendo ese el caso, número 1: sí tenemos movimiento armónico simple, y número 2: la constante\(\frac{g}{L}\) debe ser igual a\((2\pi f)^2\).

\[\frac{g}{L}=\space (2\pi f)^2 \]

Resolviendo esto para\(f\), encontramos que la frecuencia de oscilaciones de un péndulo simple viene dada por

\[f=\frac{1}{2\pi}\space \sqrt{\frac{g}{L}}\label{28-1}\]

Nuevamente llamamos su atención sobre el hecho de que la frecuencia no depende de la masa del bob!

\(T=\frac{1}{f}\)como en el caso del bloque en un muelle. Esta relación entre\(T\) y\(f\) es una definición que se aplica a cualquier movimiento oscilatorio (incluso si el movimiento no es simple movimiento armónico).

Todas las demás fórmulas para el péndulo simple se pueden transcribir a partir de los resultados para el bloque en un resorte escribiendo

\(\theta\)en lugar de x,

\(\omega\)en lugar de v, y

\(\propto\)en lugar de\(a\).

Por lo tanto,

\[\theta=\theta_{max}\space cos(2\pi f\space t)\label{28-2}\]

\[\omega=-\omega_{max}\space sin(2\pi f\space t)\label{28-3}\]

\[\propto=-\propto_{max}\space cos (2\pi f\space t)\label{28-4}\]

\[\omega_{max}=(2\pi f)\theta_{max}\label{28-5}\]

\[\propto_{max}=(2\pi f)^2 \theta_{max}\label{28-6}\]

Consideraciones energéticas en el movimiento armónico simple

Volvamos nuestra atención al bloque en un resorte. Una persona saca el bloque de la pared a una distancia\(x_{max}\) de la posición de equilibrio, y libera el bloque del reposo. En ese instante, antes de que el bloque coja alguna velocidad en absoluto, (pero cuando la persona ya no está afectando el movimiento del bloque) el bloque tiene cierta cantidad de energía\(E\). Y como estamos tratando con un sistema ideal (sin fricción, sin resistencia al aire) el sistema tiene esa misma cantidad de energía a partir de entonces. En general, mientras el bloque está oscilando, la energía

\[E=K+U \notag\label{28-7}\]

es en parte energía cinética\(K=\frac{1}{2} mv^2\) y en parte energía potencial de resorte\(U=\frac{1}{2} kx^2\). El monto de cada uno varía, pero el total sigue siendo el mismo. En el tiempo 0, el\(K\) in\(E=K+U\) es cero ya que la velocidad del bloque es cero. Entonces, en el tiempo 0:

\[E=U\]

\[E=\frac{1}{2} k \, x^2_{\max} \]

Un punto final en el movimiento del bloque es una posición particularmente fácil en la que calcular la energía total ya que toda es energía potencial.

A medida que el resorte se contrae, tirando del bloque hacia la pared, la velocidad del bloque aumenta así, la energía cinética aumenta mientras que la energía potencial\(U=\frac{1}{2} kx^2\) disminuye debido a que el resorte se estira cada vez menos. En su camino hacia la posición de equilibrio, el sistema tiene energía cinética y potencial

\[E=K+U\]

\(K\)aumentando la energía cinética y\(U\) disminuyendo la energía potencial. Eventualmente el bloque alcanza la posición de equilibrio. Por un instante, el resorte no se estira ni se comprime y por lo tanto no tiene energía potencial almacenada en él. Toda la energía (el mismo total con el que empezamos) está en forma de energía cinética,\(K=\frac{1}{2}mV^2\).

\[E=K+0 \]

\[E=K\]

El bloque sigue en movimiento. Se sobrepasa la posición de equilibrio y comienza a comprimir el resorte. A medida que comprime el resorte, se ralentiza. La energía cinética se está convirtiendo en energía potencial de resorte. A medida que el bloque continúa moviéndose hacia la pared, el siempre igual valor de la energía total representa una combinación de energía cinética y energía potencial con la energía cinética decreciente y la energía potencial aumentando. Eventualmente, en su punto más cercano de aproximación a la pared, su desplazamiento máximo en la\(–x\) dirección desde su posición de equilibrio, en su punto de inflexión, el bloque, solo por un instante tiene una velocidad de cero. En ese instante, la energía cinética es cero y la energía potencial está en su valor máximo:

\[E=0+U\]

\[E=U \]

Entonces el bloque comienza a alejarse de la pared. Su energía cinética aumenta a medida que disminuye su energía potencial hasta que vuelve a llegar a la posición de equilibrio. En ese punto, por definición, el resorte no se estira ni se comprime por lo que la energía potencial es cero. Toda la energía está en forma de energía cinética. Debido a su inercia, el bloque continúa más allá de la posición de equilibrio, estirando el resorte y desacelerándose a medida que disminuye la energía cinética mientras que, a la misma velocidad, aumenta la energía potencial. Finalmente, el bloque está en su punto de partida, nuevamente solo por un instante, en reposo, sin energía cinética. La energía total es el mismo total que lo ha sido a lo largo del movimiento oscilatorio. En ese instante, la energía total está todo en forma de energía potencial. La conversión de energía, ida y vuelta entre la energía cinética del bloque y la energía potencial almacenada en la primavera, se repite una y otra vez mientras el bloque continúe oscilando (sin pérdida de energía mecánica, y esto es de hecho una idealización).

Una descripción similar, en términos de energía, se puede dar para el movimiento de un péndulo simple ideal (sin resistencia al aire, cuerda completamente inestirable). La energía potencial, en el caso del péndulo simple, está en forma de energía potencial gravitacional en\(U =mgy\) lugar de energía potencial de resorte. El único valor de la energía total que tiene el péndulo a lo largo de sus oscilaciones es toda la energía potencial en los puntos finales de las oscilaciones, toda la energía cinética en el punto medio y una mezcla de energía potencial y cinética en ubicaciones intermedias.