30A: Función de onda, interferencia, ondas estacionarias

En que dos de nuestros cinco sentidos (la vista y el sonido) dependen de nuestra capacidad de percibir e interpretar las ondas, y en que las ondas son ubicuas, las ondas son de inmensa importancia para los seres humanos. Las ondas en los medios físicos se ajustan a una ecuación de onda que puede derivarse de la Segunda Ley del movimiento de Newton. La ecuación de onda dice:

$$\frac{\partial ^2 y}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}\label{30-1}$$

donde:

$y$es el desplazamiento de un punto en el medio desde su posición de equilibrio,
$x$ es la posición a lo largo de la longitud del medio,
$t$ es el tiempo y
$v$ es la velocidad de onda.

Échale un buen vistazo a esta importante ecuación. Debido a que involucra derivados, la ecuación de onda es una ecuación diferencial. La ecuación de onda dice que la segunda derivada del desplazamiento con respecto a la posición (tratando el tiempo$t$ como una constante) es directamente proporcional a la segunda derivada del desplazamiento con respecto al tiempo (tratando la posición$x$ como una constante). Cuando veas una ecuación para la que este es el caso, debes reconocerla como la ecuación de onda.

En general, cuando el análisis de un medio continuo, por ejemplo, la aplicación de la segunda ley de Newton a los elementos que componen ese medio, conduce a una ecuación de la forma

$$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\Big | \mbox{constant} \Big | \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$$ ,

la constante será una combinación algebraica de cantidades físicas que representan las propiedades del medio. Esa combinación puede estar relacionada con la velocidad de la onda por

$$\Big| \mbox{constant} \Big|=\frac{1}{v^2}$$

Por ejemplo, la aplicación de la Segunda Ley de Newton al caso de una cuerda da como resultado una ecuación de onda en la que la constante de proporcionalidad depende de la densidad de masa lineal$\mu$ y la tensión de la cuerda$F_T$:

$$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{\mu}{F_T} \frac{\partial ^2 y}{\partial t^2}$$

Reconociendo que la constante de proporcionalidad$\frac{\mu}{F_T}$ tiene que ser igual al recíproco del cuadrado de la velocidad de onda, tenemos

$$\frac{\mu}{F_T}=\frac{1}{v^2}$$

$$v=\sqrt{\frac{F_T}{\mu}}\label{30-2}$$

relacionar la velocidad de onda con las propiedades de la cuerda. La solución de la ecuación de onda se$\frac{\partial ^2 y}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2} \frac{\partial ^2 y}{\partial t^2}$ puede expresar como

$$y \, =\space y_{\max} \cos (\frac{2\pi}{\lambda}x\pm \frac{2\pi}{\lambda} t+\phi)\label{30-3}$$

donde:

$y$es el desplazamiento de un punto en el medio desde su posición de equilibrio,
$y_{\max}$ es la amplitud de la onda,
$x$ es la posición a lo largo de la longitud del medio,
$\lambda$ es la longitud de onda,
$t$ es tiempo,
$T$es el periodo, y
$\phi$ es una constante que tiene unidades de radianes. $\phi$se llama constante de fase.

Un “$-$“en la ubicación del “$\pm$” se utiliza en el caso de una ola que viaja en la$+x$ dirección y un “$+$” para uno que viaja en la$–x$ dirección. La ecuación$\ref{30-3}$, la solución a la ecuación de onda$\frac{\partial ^2 y}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2} \frac{\partial ^2 y}{\partial t^2}$, se conoce como la función de onda. Sustituye la función de onda en la ecuación de onda y verifica que llegas a

$$v=\frac{\lambda}{T} ,$$

una condición necesaria para que la función de onda resuelva realmente la ecuación de onda. $v=\frac{\lambda}{T}$es la afirmación de que la velocidad de onda es igual a la relación entre la longitud de onda y el periodo, relación que derivamos de manera conceptual en el último capítulo.

En posición$x=0$ en el medio, en el tiempo$t=0$, la función de onda$\ref{30-3}$, ecuación, evalúa a

$$y=y_{\max} \cos(\phi) \notag.\label{30-4}$$

La fase del coseno se reduce a la constante de fase$\phi$ cuyo valor determina así el valor de$y$ at$x=0$,$t=0$. (Tenga en cuenta que la “fase” del coseno es el argumento del coseno, aquello de lo que está tomando el coseno.) El valor de la constante$\phi$ de fase no tiene relevancia para nuestra discusión actual por lo que nos fijamos arbitrariamente$\phi = 0$. Además, en su hoja de fórmulas, escribimos la función de onda solo para el caso de una ola que viaja en la$+x$ dirección, es decir, reemplazamos el “$\pm$” por un “$-$”. La función de onda se convierte en

$$y=y_{\max} \cos \Big (\frac{2\pi}{\lambda}x-\frac{2\pi}{T} t)\label{30-5}$$

Esta es la forma en que aparece en tu hoja de fórmulas. Se supone que debes saber que esto corresponde a una ola que viaja en la dirección +x y que se puede llegar a la expresión de una ola que viaja en la$–x$ dirección reemplazando el “$-$“por un “$+$”.

Interferencia

Consideremos un caso en el que dos formas de onda lleguen al mismo punto en un medio al mismo tiempo. Usaremos formas de onda idealizadas en una cadena para hacer nuestros puntos aquí. En el caso de una cuerda, la única forma en que dos formas de onda pueden llegar al mismo punto en el medio al mismo tiempo es que las formas de onda viajen en direcciones opuestas:

Las dos formas de onda representadas en el diagrama anterior están “programadas” para llegar al punto$A$ al mismo tiempo. En ese momento, con base en la forma de onda solo en la izquierda, el punto$A$ tendría un desplazamiento$+h$, y en base a la forma de onda solo de la derecha, el punto$A$ tendría el desplazamiento$–h$. Entonces, ¿cuál es el desplazamiento real del punto$A$ cuando ambas formas de onda están en punto$A$ al mismo tiempo? Para responder a eso, simplemente agrega los posibles desplazamientos de una sola forma de onda juntos algebraicamente (teniendo en cuenta el signo). Uno hace este punto por punto sobre toda la longitud de la cadena para cualquier instante dado en el tiempo. En la siguiente serie de diagramas mostramos la adición punto por punto de desplazamientos para varios instantes en el tiempo.

El fenómeno en el que las ondas que viajan en diferentes direcciones llegan simultáneamente a un mismo punto en el medio de onda se conoce como interferencia. Cuando las formas de onda se suman para producir una forma de onda más grande,

la interferencia se denomina interferencia constructiva. Cuando las dos formas de onda tienden a cancelarse entre sí,

la interferencia se conoce como interferencia destructiva.

Reflejo de una ola desde el final de un medio

Al reflexionar desde el extremo fijo de una cuerda, se invierte el desplazamiento de los puntos en una forma de onda viajera.

El extremo fijo, por definición, nunca sufre ningún desplazamiento.

Ahora consideramos un extremo libre. Un extremo fijo es una característica natural de una cuerda tensa. Un extremo libre, en cambio, una idealización, es en el mejor de los casos una aproximación en el caso de una cuerda tensa. Aproximamos un extremo libre en una cuerda física mediante un cambio drástico y abrupto en la densidad lineal. Considera una cuerda, una de las cuales está unida a la fuente de la ola, y el otro extremo de la cual está unida a un extremo de una pieza de hilo de pescar delgado, pero fuerte. Supongamos que la línea de pesca se extiende a través de una gran distancia hasta un punto fijo para que todo el sistema de cuerda más la línea de pesca esté tenso. Una ola que viaja a lo largo de la cuerda, al encontrarse con el extremo de la cuerda unida a la delgada línea de pesca, se comporta aproximadamente como si hubiera encontrado un extremo libre de una cuerda tensa.

En el caso de las ondas sonoras en una tubería, un extremo libre puede aproximarse por un extremo abierto de la tubería.

Suficiente dicho sobre cómo se podría establecer un extremo libre físico de un medio de onda, ¿qué sucede cuando un pulso de onda se encuentra con un extremo libre? La respuesta es, como en el caso del extremo fijo, se refleja la forma de onda, pero esta vez, no hay inversión de desplazamientos.

Ondas Standing

Considera un trozo de cuerda, fijado en ambos extremos, en el que se han introducido ondas. La configuración es rica en interferencias. Una onda que viaja hacia un extremo de la cuerda se refleja en el extremo fijo e interfiere con las ondas que la arrastraban. Entonces se refleja en el otro extremo y vuelve a interferir con ellos. Esto es cierto para cada ola y se repite continuamente. Para cualquier longitud, densidad lineal y tensión dadas de la cuerda, existen ciertas frecuencias para las cuales, en, al menos un punto de la cuerda, la interferencia es siempre constructiva. Cuando este es el caso, las oscilaciones en ese punto (o esos puntos) en la cuerda son máximas y se dice que la cuerda tiene ondas estacionarias en ella. Nuevamente, las ondas estacionarias resultan de la interferencia de las ondas reflejadas con las ondas transmitidas y entre sí. Un punto en la cuerda en el que la interferencia es siempre constructiva se llama antinodo. Cualquier cuerda en la que existan ondas estacionarias también tiene al menos un punto en el que la interferencia siempre es destructiva. Tal punto en la cuerda no se mueve de su posición de equilibrio. Tal punto en la cadena se llama nodo.

Podría parecer que sería una tarea desalentadora determinar las frecuencias que resultan en ondas estacionarias. Supongamos que desea investigar si un punto en una cadena podría ser un antinodo. Considera un instante en el tiempo cuando una cresta de ola está en esa posición. Necesitas encontrar las condiciones que lo harían para que en el tiempo que tarda la cresta en viajar a un extremo fijo de la cuerda, refleje hacia atrás como un canal y llegue de vuelta a la ubicación en cuestión; un canal, por ejemplo, uno que estaba detrás de la cresta original, propaga justo la distancia correcta para que llega al lugar en cuestión al mismo tiempo. Como se ilustra en el siguiente capítulo, el análisis que arroja las frecuencias de las ondas estacionarias es más fácil de lo que sugieren estas consideraciones de sincronización.