34A: Principio de Pascal, Ecuación de Continuidad y Principio de Bernoulli
- Page ID
- 129452
Hay un par de errores que tienden a surgir con cierta regularidad en la aplicación de la ecuación de Bernoulli\(P+\frac{1}{2}\varrho v^2 +\varrho gh =\mbox{constant}\). En primer lugar, la gente tiende a olvidarse de crear un diagrama para identificar el punto 1 y el punto 2 en el diagrama para que puedan escribir la ecuación de Bernoulli en su forma útil:
\[P_1+\frac{1}{2}\varrho v_1^2 +\varrho gh_1 =P_2+\frac{1}{2}\varrho v_2^2 +\varrho gh_2.\]
En segundo lugar, cuando se desconocen ambas velocidades en la ecuación de Bernoulli, olvidan que existe otra ecuación que relaciona las velocidades, es decir, la ecuación de continuidad en la forma\(A_1v_1 =A_2v_2\) que establece que el caudal en la posición 1 es igual al caudal en la posición 2.
Principio de Pascal
Experimentalmente, encontramos que si aumenta la presión en alguna cantidad dada en una ubicación en un fluido, la presión aumenta en esa misma cantidad en todas partes del fluido. Este resultado experimental se conoce como Principio de Pascal.
Aprovechamos el principio de Pascal cada vez que pisamos los frenos de nuestros autos y camiones. El sistema de frenos es un sistema hidráulico. El fluido es aceite que se llama fluido hidráulico. Cuando aprietas el pedal del freno aumentas la presión en todas partes del líquido en la línea hidráulica. En las ruedas, el aumento de la presión que actúa sobre los pistones unidos a las pastillas de freno los empuja contra discos o tambores conectados a las ruedas.
Un elevador hidráulico simple consta de dos pistones, uno más grande que el otro, en cilindros conectados por una tubería. Los cilindros y la tubería están llenos de agua. En uso, una persona empuja hacia abajo sobre el pistón más pequeño y el agua empuja hacia arriba sobre el pistón más grande. El diámetro del pistón más pequeño es de 2.20 centímetros. El diámetro del pistón más grande es de 21.0 centímetros. Encima del pistón más grande hay un soporte metálico y encima de eso hay un automóvil. La masa combinada del soporte-más-automóvil es de 998 kg. Encuentra la fuerza que la persona debe ejercer sobre el pistón más pequeño para elevar el carro a una velocidad constante. Descuidar las masas de los pistones.
Solución
Comenzamos nuestra solución con un boceto.
Ahora, encontremos la fuerza\(R_N\) ejercida sobre el pistón más grande por el soporte del automóvil. Por la Ley 3 ª de Newton, es lo mismo que la fuerza normal\(F_N\) ejercida por el pistón más grande sobre el soporte del automóvil. Dibujaremos y analizaremos el diagrama de cuerpo libre del car-plus-support para conseguirlo.
\[\sum F_{\uparrow}=0\]
\[F_N-mg=0\]
\[F_N=mg\]
\[F_N=998kg\space (9.80\frac{\mbox{newtons}}{kg})\]
\[F_N=9780 \, \mbox{newtons}\]
| Símbolo | Nombre | Agente | Víctima |
|---|---|---|---|
| \(F_g=mg\) | Fuerza gravitacional en el automóvil Support-Plus | El Campo Gravitacional de la Tierra | El auto Support-Plus |
| \(F_N\) | Fuerza Normal | El Pistón Grande | El auto Support-Plus |
Ahora analizamos el equilibrio del pistón más grande para determinar cuál debe ser la presión en el fluido para que el fluido ejerza suficiente fuerza sobre el pistón (con el carro más soporte sobre él) para mantenerlo en movimiento a velocidad constante.
\[\sum F_{\uparrow}=0\]
\[F_{PL}-R_N=0\]
\[PA_L-R_N=0\]
\[P=\frac{R_N}{A_L}\label{34-1}\]
| Símbolo | Nombre | Agente | Víctima |
|---|---|---|---|
| \(R_N=F_N=9780 \, \mbox{newtons}\) | Interacción Asociado a Fuerza Normal (ver arriba) | Soporte (Esa parte, del elevador hidráulico, en la que se encuentra el carro). | Pistón grande |
| \(F_{PL}\) | Fuerza relacionada con la presión en pistón grande | El Agua | Pistón grande |
\(A_L\)es el área de la cara del pistón más grande. Podemos usar el diámetro de pistón mayor dado\(D_L= 0.210\space m\) para determinar el área de la cara del pistón más grande de la siguiente manera:
\[A_L=\pi r_L^2 \nonumber\]
donde\(r_L=\frac{D_L}{2}\) está el radio del pistón más grande.
\[\begin{align*} A_L &=\pi \Big ( \frac{D_L}{2} \Big ) ^2 \\[4pt] &=\pi \Big ( \frac{0.210 \mbox{m}}{2} \Big ) ^2 \\[4pt] &=0.03464 \, m^2 \end{align*}\]
Sustituyendo esto y el valor\(R_N = F_N = 9780 \, \mbox{newtons}\) en la ecuación\(\ref{34-1}\) anterior arroja
\[\begin{align*} P &=\frac{9780 \, \mbox{newtons}}{0.03464 \, \mbox{m}^2} \\[4pt] &=282333 \frac{N}{m^2} \end{align*}\]
Mantenemos intencionalmente 3 demasiadas cifras significativas en este resultado intermedio.
Ahora solo tenemos que analizar el equilibrio del pistón más pequeño para determinar la fuerza que la persona debe ejercer sobre el pistón más pequeño.
\[\sum F_{\uparrow}=0\]
\[F_{PS}-F_{PERSON}=0\]
\[PA_S-F_{PERSON}=0\]
\[F_{PERSON}=PA_S\]
El área\(A_S\) de la cara del pistón más pequeño es solo\(\pi\) multiplicada por el cuadrado del radio del pistón más pequeño donde está el radio\(\frac{D_S}{2}\), la mitad del diámetro del pistón más pequeño. Entonces:
\[F_{PERSON}=P\pi \Big(\frac{D_S}{2} \Big)^2\]
\[F_{PERSON}=282333 \frac{N}{m^2} \pi \Big(\frac{0.0220 m}{2} \Big)^2\]
\[F_{PERSON}=107N\]
Fluido en movimiento: el principio de continuidad
El Principio de Continuidad es un nombre elegante para algo que el sentido común te dirá tiene que ser el caso. Es simplemente una declaración del hecho de que para cualquier sección de una sola tubería, llena de un fluido incompresible (una idealización a la que se acercan los líquidos), a través de la cual fluye el fluido con el que se llena la tubería, la cantidad de fluido que va en un extremo en cualquier cantidad de tiempo especificada es igual a la cantidad que sale al otro extremo en la misma cantidad de tiempo. Si cuantificamos la cantidad de fluido en términos de la masa, esta es una declaración de la conservación de la masa. Habiendo estipulado que el segmento está lleno de fluido, el fluido entrante no tiene espacio para expandirse en el segmento. Habiendo estipulado que el fluido es incompresible, las moléculas que componen el fluido no se pueden empaquetar más juntas; es decir, la densidad del fluido no puede cambiar. Con estas estipulaciones, la masa total del fluido en el segmento de tubería no puede cambiar, por lo que, cada vez que una cierta masa del fluido fluya en un extremo del segmento, la misma masa del fluido debe fluir fuera del otro extremo.
Este solo puede ser el caso si el caudal másico, el número de kilos por segundo que pasan una posición dada en la tubería, es el mismo en ambos extremos del segmento de tubería.
\[ \dot{m_1}=\dot{m_2}\label {34-2}\]
Una consecuencia interesante del principio de continuidad es el hecho de que, para que el caudal másico (el número de kilogramos por segundo que pasa una posición dada en la tubería) sea el mismo en una parte grasa de la tubería que en una parte delgada de la tubería, la velocidad del fluido (es decir, la velocidad del moléculas del fluido) deben ser mayores en la parte flaca de la tubería. Veamos por qué es así.
Aquí, nuevamente describimos una tubería en la que fluye un fluido incompresible.
Teniendo en cuenta que toda la tubería está llena con el fluido, la región sombreada de la izquierda representa el fluido que fluirá más allá de la posición 1 en el tiempo\(\Delta t\) y la región sombreada de la derecha representa el fluido que fluirá más allá de la posición 2 al mismo tiempo\(\Delta t\). En ambos casos, para que toda la babosa de fluido cruce la línea de posición relevante, la babosa debe recorrer una distancia igual a su longitud. Ahora la babosa etiquetada\(\Delta m_2\) tiene que ser más larga que la babosa etiquetada\(\Delta m_1\) ya que la tubería es más delgada en la posición 2 y por la ecuación de continuidad\(\Delta m_1=\Delta m_2\) (la cantidad de fluido que fluye hacia el segmento de la tubería entre la posición 1 y la posición 2 es igual a la cantidad de fluido que fluye fuera de ello). Entonces, si la babosa en la posición 2 es más larga y tiene que viajar más allá de la línea de posición en la misma cantidad de tiempo que tarda la babosa en la posición 1 en viajar más allá de su línea de posición, la velocidad del fluido en la posición 2 debe ser mayor. La velocidad del fluido es mayor en una posición más delgada en la tubería.
Consigamos una relación cuantitativa entre la velocidad en la posición 1 y la velocidad en la posición 2.
Empezando con
\[\Delta m_1=\Delta m_2\]
utilizamos la definición de densidad para reemplazar cada masa con la densidad del fluido multiplicada por el volumen relevante:
\[\varrho \Delta V_1=\varrho \Delta V_2\]
Dividir ambos lados por la densidad nos dice algo que ya sabes:
\[ \Delta V_1=\Delta V_2 \label{eq1}\]
Si divide ambos lados de la Ecuación\ ref {eq1} por\(\Delta t\) y toma el límite como\(\Delta t\) va a cero, tenemos\(\dot{V_1}=\dot{V_2}\) que es una expresión del principio de continuidad en términos de caudal volumétrico. El caudal volumétrico se denomina típicamente simplemente como el caudal. Si bien usamos las unidades SI\(\frac{\mbox{m}^3}{\mbox{s}}\) para el caudal, el lector puede estar más familiarizado con el caudal expresado en unidades de galones por minuto.
Ahora volvemos a nuestro objetivo de encontrar una relación matemática entre las velocidades del fluido en las dos posiciones de la tubería. Aquí copiamos el diagrama de la tubería y agregamos, a la copia, una representación de la cara de babosa 1 de área\(A_1\) y la cara de babosa 2 de área\(A_2\).
Nos quedamos con el hecho de que\(\Delta V_1=\Delta V_2\). Cada volumen puede ser reemplazado por el área de la cara de la babosa correspondiente multiplicada por la longitud de esa babosa. Entonces,
\[A_1 \Delta x_1=A_2 \Delta x_2\]
Recordemos que no solo\(\Delta x_1\) es la longitud de la babosa 1, también es lo lejos que debe recorrer la babosa 1 para que toda la babosa de fluido pase la línea de posición 1. Lo mismo es cierto para la babosa 2 y la posición 2. Dividir ambos lados por el intervalo de tiempo único\(\Delta t\) produce:
\[ A_1 \frac{\Delta x_1}{\Delta t}=A_2 \frac{\Delta x_2}{\Delta t}\]
Tomando el límite como\(\Delta t\) va a cero da como resultado:
\[A_1 v_1=A_2 v_2 \label{34-3}\]
Esta es la relación, entre las velocidades, que hemos estado buscando. Se aplica a cualquier par de posiciones en una tubería completamente llena de un fluido incompresible. Se puede escribir como
\[Av=\mbox{constant}\label{34-4}\]
lo que significa que el producto del área de la sección transversal de la tubería y la velocidad del fluido en esa sección transversal es el mismo para cada posición a lo largo de la tubería llena de fluido. Para aprovechar este hecho, normalmente se escribe, en forma de ecuación, que el producto\(Av\) en una ubicación es igual al mismo producto en otra ubicación. En otras palabras, se escribe ecuación\(\ref{34-3}\).
Nótese que la expresión\(Av\), el producto del área de sección transversal de la tubería, en una posición particular, y la velocidad del fluido en esa misma posición, habiéndose derivado dividiendo una expresión para el volumen de fluido\(\Delta V\) que fluiría más allá de una posición dada de la tubería en el tiempo \(\Delta t\), por\(\Delta t\), y tomando el límite como\(\Delta t\) va a cero, no es otro que el caudal (el caudal volumétrico) discutido en el apartado anterior.
\[\mbox {Flow Rate}=Av\]
Obsérvese además que si multiplicamos el caudal por la densidad del fluido, obtenemos el caudal másico.
\[\dot{m}=\varrho Av\label{34-5}\]
Fluido en movimiento: principio de Bernoulli
La derivación de la Ecuación de Bernoulli representa una elegante aplicación del Teorema de la Energía del Trabajo. Aquí discutimos las condiciones bajo las cuales se aplica la Ecuación de Bernoulli y luego simplemente declaramos y discutimos el resultado.
La ecuación de Bernoulli se aplica a un fluido que fluye a través de una tubería llena. El grado en que la Ecuación de Bernoulli es precisa depende del grado en que se cumplan las siguientes condiciones:
- El fluido debe estar experimentando un flujo en estado estacionario. Esto significa que el caudal en todas las posiciones de la tubería no cambia con el tiempo.
- El fluido debe estar experimentando flujo aerodinámico. Escoja cualquier punto en el fluido. El elemento fluido infinitesimal en ese punto, en un instante en el tiempo, viajó por cierto camino para llegar a ese punto en el fluido. En el caso del flujo aerodinámico, cada elemento infinitesimal de fluido que alguna vez se encuentra en ese mismo punto recorrió el mismo camino. (El flujo aerodinámico es lo opuesto al flujo turbulento).
- El fluido debe ser no viscoso. Esto significa que el fluido no tiene tendencia a “pegarse” ni a los lados de la tubería ni a sí mismo. (La melaza tiene alta viscosidad. El alcohol tiene baja viscosidad.)
Considera una tubería llena de un fluido que fluye a través de la tubería. En el caso más general, el área de sección transversal de la tubería no es la misma en todas las posiciones a lo largo de la tubería y diferentes partes de la tubería están a diferentes elevaciones en relación con un nivel de referencia arbitrario, pero fijo.
Elija dos posiciones a lo largo de la tubería, por ejemplo, las posiciones 1 y 2 en el diagrama anterior. (Ya lo sabe, de acuerdo con el principio de continuidad,\(A_1v_1 =A_2v_2\).) Considere la siguiente suma de términos sin nombre:
\[P+\frac{1}{2} \varrho \space v^2+\varrho gh\]
donde, en el cargo que se esté considerando:
- \(P\)es la presión del fluido,
- \(\varrho\)(la letra griega rho) es la densidad del fluido,
- \(v\)es la magnitud de la velocidad del fluido,
- \(g=9.80 \frac{N}{kg}\)es la magnitud cercana a la superficie del campo gravitacional terrestre, y
- \(h\)es la elevación, relativa a un nivel de referencia fijo, de la posición en la tubería.
El Principio de Bernoulli establece que esta suma sin nombre de términos tiene el mismo valor en todas y cada una de las posiciones a lo largo de la tubería. La ecuación de Bernoulli se escribe típicamente:
\[P+\frac{1}{2} \varrho \space v^2+\varrho gh=\mbox{constant}\label{34-6}\]
pero para usarlo, hay que escoger dos posiciones a lo largo de la tubería y escribir una ecuación que establezca que el valor de la suma sin nombre de términos es el mismo en una de las posiciones que en la otra.
\[P_1+\frac{1}{2} \varrho \space v_1^2+\varrho gh_1=P_2+\frac{1}{2} \varrho \space v_2^2+\varrho gh_2 \label{34-7}\]
En esta ecuación se incorpora una característica particularmente interesante de los fluidos. Supongamos que las posiciones 1 y 2 están en una y la misma elevación que se representa en el siguiente diagrama:
Entonces\(h_1 = h_2\) en ecuación\(\ref{34-7}\) y ecuación\(\ref{34-7}\) se convierte en:
\[P_1+\frac{1}{2} \varrho \space v_1^2=P_2+\frac{1}{2} \varrho \space v_2^2\]
Compruébalo. Si\(v_2 > v_1\) entonces\(P_2\) debe ser menor que\(P_1\) para que la igualdad se mantenga. Esta ecuación está diciendo que, donde la velocidad del fluido es alta, la presión es baja.