B4: Conductores y Campo Eléctrico

Un conductor ideal está lleno de partículas cargadas que son perfectamente libres de moverse dentro del conductor. Como todas las muestras macroscópicas de material, un conductor ideal consiste en una gran cantidad de carga positiva y, cuando es neutral, la misma cantidad de carga negativa. Cuando no es neutral, hay un pequeño desequilibrio fraccional de una manera u otra. En un conductor ideal, alguna fracción apreciable de la carga es completamente libre de moverse dentro del material conductor. El conductor ideal (perfecto) está bien aproximado por algunos materiales familiares para usted, en particular, los metales. En algunos materiales, es carga positiva la que es libre de moverse, en algunos, es negativa, y en otros, es ambas. Para nuestros propósitos, los efectos observables de la carga positiva que se mueve en una dirección están tan cerca de ser indistinguibles de la carga negativa que se mueve en la dirección opuesta que, normalmente trataremos a los portadores de carga como positivos sin preocuparse por lo que son los portadores de carga reales.

Aquí, hacemos un punto sobre los conductores por medio de una analogía. La analogía involucra un lago lleno de peces. Que el lago represente al conductor y a los peces los portadores de carga. Los peces son libres de moverse por cualquier parte del lago, pero, y este es el punto, no pueden, en circunstancias ordinarias, escapar del lago. Pueden ir a todos los límites del cuerpo de agua, incluso podrías ver algunos en la superficie, pero, no pueden salir del agua. Esto es similar a los portadores de carga en un conductor rodeado de vacío o un medio aislante como el aire. Los cargos pueden ir a todas partes dentro y sobre el conductor, pero, no pueden salir del conductor.

Los hechos que hemos presentado sobre la naturaleza de la carga, los campos eléctricos y los conductores permiten sacar algunas conclusiones definitivas sobre el campo eléctrico y la carga desequilibrada dentro del material de, y en o sobre la superficie de, un conductor ideal. Por favor, intente razonar las respuestas a las siguientes preguntas:

1. Supongamos que pones una esfera sólida conductora ideal neutra en una región del espacio en la que hay, inicialmente, un campo eléctrico uniforme. Describir (lo más específicamente posible) el campo eléctrico dentro del conductor y el campo eléctrico en la superficie del conductor. Describir la distribución de la carga en y sobre el conductor.
2. Repita la pregunta 1 para el caso de un campo no uniforme.
3. Supongamos que pones alguna carga en una esfera inicialmente neutra, sólida y perfectamente conductora (donde la esfera no está en un campo eléctrico preexistente). Describir el campo eléctrico dentro del conductor, en la superficie del conductor y fuera del conductor como resultado de la carga desequilibrada. Describir la distribución de la carga dentro y sobre el conductor.
4. Repita las preguntas 1-3 para el caso de una concha esférica hueca perfectamente conductora (con el interior vacío).
5. ¿Cómo cambiarían tus respuestas a las preguntas 1-4 si el conductor tuviera alguna forma distinta a la esférica?

Aquí proporcionamos las respuestas (precedidas en cada caso, con la pregunta correspondiente).

1) Supongamos que pones una esfera sólida conductora ideal neutra en una región del espacio en la que hay, inicialmente, un campo eléctrico uniforme. Describir (lo más específicamente posible) el campo eléctrico dentro del conductor y el campo eléctrico en la superficie del conductor. Describir la distribución de la carga en y sobre el conductor.

Respuesta: Comenzamos con un campo eléctrico uniforme.

Ponemos en él un conductor sólido e ideal. El campo eléctrico impregna todo, incluido el conductor.

Las partículas cargadas en el conductor responden a la fuerza ejercida sobre ellas por el campo eléctrico. (La fuerza provoca aceleración, la aceleración de las partículas que inicialmente están en reposo hace que adquieran algo de velocidad. En definitiva, se mueven.) Todo esto ocurre en menos de un microsegundo. El efecto neto es una redistribución de las partículas cargadas.

Ahora, ¡consigue esto! Las partículas cargadas crean su propio campo eléctrico.

El campo eléctrico total en cualquier punto del conductor es la suma vectorial del campo eléctrico original y el campo eléctrico debido a las partículas cargadas redistribuidas. Dado que están dirigidos de manera opuesta, las dos contribuciones al campo eléctrico dentro del conductor tienden a cancelarse entre sí. Ahora viene la parte profunda del argumento: las dos contribuciones al campo eléctrico en cualquier punto del conductor cancelan exactamente. Sabemos que tienen que cancelar completamente porque, si no lo hicieran, la carga gratuita en el conductor se movería como consecuencia de la fuerza ejercida sobre él por el campo eléctrico. Y la fuerza sobre la carga siempre está en una dirección que provoca que la carga se redistribuya a posiciones en las que creará su propio campo eléctrico que tiende a cancelar el campo eléctrico que provocó que la carga se moviera. El punto es que la carga no dejará de responder al campo eléctrico hasta que el campo eléctrico neto en cada punto del conductor sea cero.

Hasta el momento, en respuesta a la pregunta, tenemos: El campo eléctrico es cero en todos los puntos dentro del conductor, y, si bien la carga total sigue siendo cero, la carga se ha redistribuido como en el siguiente diagrama:

Recordemos que también fuimos llamados a describir el campo eléctrico en la superficie del conductor. Tenga en cuenta que la carga en la superficie de la esfera no sólo contribuirá al campo eléctrico dentro del conductor, también contribuirá al campo eléctrico exterior. El efecto neto de todas las contribuciones al campo eléctrico en las inmediaciones de la esfera es hacer que el campo eléctrico sea normal a (perpendicular a) la superficie de la esfera en todos los puntos donde se encuentra con la esfera.

¿Cómo es que somos capaces de afirmar esto sin hacer ningún cálculo? Aquí está el argumento: Si el campo eléctrico en la superficie tuviera un componente paralelo a la superficie, entonces las partículas cargadas en la superficie del conductor experimentarían una fuerza dirigida a lo largo de la superficie. Dado que esas partículas son libres de moverse a cualquier parte del conductor, serían redistribuidas. En sus nuevas posiciones, harían su propia contribución al campo eléctrico en la superficie y su contribución cancelaría el campo eléctrico que provocó la redistribución de carga.

Acerca de la distribución de carga: El objeto comenzó neutral y ningún cargo ha dejado o entrado al conductor desde el mundo exterior por lo que sigue siendo neutral. Pero sí vemos una separación de los dos tipos diferentes de carga. Algo que hemos representado pero no discutido es la afirmación de que toda la carga reside en la superficie. (En la imagen de arriba, hay carga positiva en la superficie derecha de la esfera y una cantidad igual de carga negativa en el lado izquierdo). ¿Cómo sabemos que toda carga debe estar en la superficie? Supongamos que hubo una carga puntual positiva en alguna ubicación dentro del conductor:

El campo eléctrico de esa carga puntual provocaría que la carga de movimiento libre en el conductor se moviera, y seguiría moviéndose mientras hubiera un campo eléctrico. Entonces, ¿a dónde se movería la carga para cancelar el campo eléctrico de la carga de punto positivo? Puedes probar cualquier arreglo de carga que quieras, alrededor de esa carga de punto positivo, pero, si se estipula que hay una carga positiva neta en esa ubicación, no hay forma de cancelar el campo eléctrico de esa carga positiva. Entonces la situación ni siquiera se da. Si sucediera, la partícula repelería la carga positiva libre de movimiento del conductor lejos de la carga positiva estipulada, de modo que (excluyendo la carga positiva estipulada en consideración) el conductor tendría una carga negativa neta en esa ubicación, una cantidad de carga negativa exactamente igual a la carga positiva originalmente estipulada. Tomando en cuenta también la carga positiva, el punto, después de la redistribución de la carga, sería neutral. El punto de nuestro argumento es que, bajo condiciones estáticas, no puede haber carga neta dentro del material de un conductor perfecto. Incluso si asumes que hay algunos, pronto se neutralizaría por la redistribución de carga casi instantánea que causaría.

Siguiente pregunta:

2) Repetir la pregunta 1 para el caso de un campo no uniforme. (La pregunta 1 pidió una descripción de la distribución de carga que se desarrolla en una esfera conductora neutra sólida cuando la colocas en un campo eléctrico uniforme.)

Respuesta: Aquí hay una representación de un ejemplo de un campo no uniforme:

Si le ponemos una esfera sólida y perfectamente conductora obtenemos:

Los mismos argumentos conducen a las mismas conclusiones. Cuando, después de menos de un microsegundo, se logran las nuevas condiciones estáticas: No puede haber campo eléctrico dentro del conductor o de lo contrario las cargas libres de mover en él todavía estarían moviéndose dentro del volumen del conductor. No puede haber carga desequilibrada dentro del volumen del conductor o de lo contrario habría un campo eléctrico dentro del conductor. De ahí que cualquier carga localmente desequilibrada (en general, la esfera inicialmente neutra permanece neutra) debe estar en la superficie. El campo eléctrico tiene que ser normal a la superficie de la esfera o de lo contrario la carga libre de movimiento en la superficie todavía se movería en la superficie. Lo único que es diferente en este caso, en comparación con el caso del campo eléctrico inicialmente uniforme, es la forma en que la carga se distribuye en la superficie. Vemos que la carga negativa está más agrupada que la carga positiva en el caso que nos ocupa. En el caso de campo eléctrico inicialmente uniforme, la distribución de carga positiva fue la imagen especular de la distribución de carga negativa.

Siguiente Pregunta:

3) Supongamos que pones alguna carga en una esfera inicialmente neutra, sólida y perfectamente conductora (donde la esfera no está en un campo eléctrico preexistente). Describir el campo eléctrico dentro del conductor, en la superficie del conductor y fuera del conductor como resultado de la carga desequilibrada. Describir la distribución de la carga dentro y sobre el conductor.

Nuevamente, asumimos que hemos esperado lo suficiente (menos de un microsegundo) para que se hayan logrado condiciones estáticas. No puede haber ningún cargo dentro del grueso del conductor o de lo contrario habría un campo eléctrico en el conductor y no puede haber un campo eléctrico en el conductor o de lo contrario la carga de movimiento libre del conductor se movería y las condiciones estáticas no prevalecerían. Entonces, toda la carga desequilibrada debe estar en la superficie. No se puede apaciguar más en cualquier lugar de la superficie que en cualquier otro lugar de la superficie o de lo contrario la carga en el borde del racimo sería repelida por el manojo y se movería, nuevamente en violación de nuestra estipulación de que hemos esperado hasta que la carga dejó de moverse. Entonces, la carga debe distribuirse uniformemente sobre la superficie de la esfera. Dentro de la esfera no hay campo eléctrico. Donde el campo eléctrico exterior se encuentra con la superficie de la esfera, el campo eléctrico debe ser normal a la superficie de la esfera. De lo contrario, el campo eléctrico en la superficie tendría un componente vectorial paralelo a la superficie que provocaría que la carga se mueva a lo largo de la superficie, nuevamente en violación de nuestras estipulaciones estáticas. Ahora, las líneas de campo eléctrico que son perpendiculares a la superficie de una esfera se encuentran sobre líneas que pasan por el centro de la esfera. De ahí que fuera de la esfera, las líneas del campo eléctrico forman el mismo patrón que el patrón que estaría formado por una carga puntual en la ubicación del centro de la esfera (con la esfera desaparecida). Además, si vas tan lejos de la esfera que la esfera “parece” un punto, el campo eléctrico será el mismo que ese debido a una carga puntual en la ubicación del centro de la esfera. Dado que fuera de la esfera, tiene el mismo patrón que el campo debido a una carga puntual en el centro de la esfera, la única forma en que puede coincidir con el campo de carga puntual a gran distancia de la esfera, es si es idéntico al campo de carga puntual en todas partes que existe. Entonces, fuera de la esfera, el campo eléctrico es indistinguible del campo eléctrico debido a la misma cantidad de carga que le pones a la esfera, todo concentrado en la ubicación del centro de la esfera (con la esfera desaparecida).

Siguiente pregunta:

4) Repita las preguntas 1-3 para el caso de una concha esférica hueca perfectamente conductora (con el interior siendo vacío).

En los tres casos que hemos considerado hasta ahora, el interior de la esfera no ha jugado ningún papel. Inicialmente es neutral y es neutral después de que la esfera se coloca en un campo eléctrico preexistente o se le coloca alguna carga sobre ella. Nada cambiaría si elimináramos todo ese material neutro que compone el grueso del conductor, dejando nada más que una concha hueca de una esfera. De ahí que todos los resultados que encontramos para la esfera sólida se aplican a la esfera hueca. En particular, el campo eléctrico en todos los puntos dentro de una cáscara esférica hueca vacía perfectamente conductora es, bajo todas las condiciones, cero.

Última pregunta:

5) ¿Cómo cambiarían tus respuestas a las preguntas 1-4 si el conductor tuviera alguna forma distinta a la esférica?

Para un conductor sólido perfecto, el campo eléctrico y la carga en todas partes del interior tendrían que ser cero por las mismas razones discutidas anteriormente. Además, el campo eléctrico tendría que ser normal a la superficie por las mismas razones que antes. Nuevamente, no haría ninguna diferencia si ahuecamos el conductor quitando un montón de material neutro. Lo único que sería diferente para un conductor no esférico es la forma en que la carga se distribuiría en la superficie, y, el campo eléctrico exterior. En particular, si pones alguna carga en un objeto perfectamente conductor que no es una esfera, el campo eléctrico en las proximidades del objeto no será el mismo que el campo eléctrico debido a una carga puntual en el centro del objeto (aunque la diferencia sería insignificante a distancias suficientemente grandes del objeto).