B5: Trabajo realizado por el Campo Eléctrico y el Potencial Eléctrico

Cuando una partícula cargada se mueve de una posición en un campo eléctrico a otra posición en ese mismo campo eléctrico, el campo eléctrico funciona en la partícula. El trabajo realizado es conservador; de ahí que podamos definir una energía potencial para el caso de la fuerza ejercida por un campo eléctrico. Esto nos permite utilizar los conceptos de trabajo, energía y conservación de energía, en el análisis de procesos físicos que involucran partículas cargadas y campos eléctricos.

Hemos definido el trabajo realizado sobre una partícula por una fuerza, para ser la fuerza a lo largo del camino multiplicada por la longitud del camino, con la estipulación de que cuando el componente de la fuerza a lo largo del camino es diferente en diferentes segmentos del camino, uno tiene que dividir el camino en segmentos en cada uno de los cuales la fuerza a lo largo -the-path tiene un valor para todo el segmento, calcula el trabajo realizado en cada segmento y suma los resultados.

Investiguemos el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre una partícula cargada a medida que se mueve en el campo eléctrico en el caso bastante simple de un campo eléctrico uniforme. Por ejemplo, calculemos el trabajo realizado en una partícula de carga positiva q a medida que se mueve de punto\(P_1\) a punto\(P_3\)

a lo largo del camino: “De\(P_1\) recto a punto\(P_2\) y de ahí, recto a”\(P_3\). Tenga en cuenta que no se nos dice qué es lo que hace que la partícula se mueva. Eso no nos importa en este problema. Quizás la partícula cargada está en el extremo de una varilla de cuarzo (el cuarzo es un buen aislante) y una persona que está sujetando la varilla por el otro extremo mueve la varilla para que la partícula cargada se mueva como se especifica.

A lo largo de la primera parte del camino, desde\(P_1\) hasta\(P_2\), la fuerza sobre la partícula cargada es perpendicular a la trayectoria.

La fuerza no tiene componente a lo largo de la trayectoria, por lo que no funciona en absoluto sobre la partícula cargada ya que la partícula cargada se mueve de un punto\(P_1\) a otro\(P_2\).

\[W_{12}=0\]

De\(P_2\), la partícula va directo a\(P_3\).

En ese segmento del camino (de\(P_2\) a\(P_3\)) la fuerza está exactamente en la misma dirección que la dirección en la que va la partícula.

Como tal, el trabajo es solo la magnitud de la fuerza multiplicada por la longitud del segmento de ruta:

\[W_{23}=Fb\]

La magnitud de la fuerza es la carga de la partícula multiplicada por la magnitud del campo eléctrico\(F = qE\), por lo que,

\[W_{23}=qEb\]

Así, el trabajo realizado sobre la partícula cargada por el campo eléctrico, a medida que la partícula se mueve de punto\(P_1\) a\(P_3\) lo largo de la trayectoria especificada es

\[W_{123}=W_{12}+W_{23}\]

\[W_{123}=0+qEb\]

\[W_{123}=qEb\]

Ahora calculemos el trabajo realizado sobre la partícula cargada si sufre el mismo desplazamiento (de\(P_1\) a\(P_3\)) pero lo hace moviéndose por el camino directo, recto de\(P_1\) a\(P_3\).

La fuerza sobre una partícula cargada positivamente está en la misma dirección que el campo eléctrico, el vector de fuerza forma un ángulo\(\theta\) con la dirección de la trayectoria y la expresión

\[W=\vec{F} \cdot \vec{\Delta r}\]

para que la obra se convierta

\[W_{13}=F c \, cos \theta\]

\[W_{13}=qE c \, cos \theta\]

Analizando el triángulo sombreado en el siguiente diagrama:

nos encontramos con eso\(cos \theta=\frac{b}{c}\). Sustituyendo esto en nuestra expresión por el trabajo (\(W_{13}=qE c \, cos \theta\)) rinde

\[W_{13}=qEc \frac{b}{c}\]

\[W_{13}=qEb\]

Este es el mismo resultado que obtuvimos por el trabajo realizado sobre la partícula cargada por el campo eléctrico ya que la partícula se movió entre los mismos dos puntos (de\(P_1\) a\(P_3\)) a lo largo del otro camino (\(P_1\)\(P_2\)a\(P_3\)). Resulta que el trabajo realizado es el mismo sin importar el camino que tome la partícula en su camino de\(P_1\) a\(P_3\). No quiero tomarme el tiempo para demostrarlo aquí pero me gustaría investigar un camino más (no tanto para obtener el resultado, sino más bien, para revisar un punto importante sobre cómo calcular el trabajo). Refiriéndose al diagrama:

Calculemos el trabajo realizado sobre una partícula con carga\(q\), por el campo eléctrico, a medida que la partícula se mueve de\(P_1\) a\(P_3\) lo largo del camino “de\(P_1\) recto a\(P_4\), de\(P_4\) recto a\(P_5\), y de\(P_5\) recto a”\(P_3\). \(P_1\)A\(P_4\), la fuerza está exactamente en la misma dirección que la dirección en la que la partícula se mueve a lo largo del camino, entonces,

\[W_{14}=F(b+d)\]

\[W_{14}=qE(b+d)\]

De punto\(P_4\) a\(P_5\), la fuerza ejercida sobre la partícula cargada por el campo eléctrico está en ángulo recto con la trayectoria, por lo que, la fuerza no funciona sobre la partícula cargada en segmento\(P_4\) a\(P_5\).

\[W_{45}=0\]

En el segmento de\(P_5\) a\(P_3\),

la fuerza está en la dirección exacta opuesta a la dirección en la que se mueve la partícula. Esto significa que el trabajo realizado por la fuerza del campo eléctrico sobre la partícula cargada a medida que la partícula se mueve de forma\(P_5\) a\(P_3\) es el negativo de la magnitud de la fuerza por la longitud del segmento de trayectoria. Así

\[W_{53}=-Fd\]

\[W_{53}=-qEd\]

y

\[W_{1453}=W_{14}+W_{45}+W_{53}\]

\[W_{1453}=qE(b+d)+0+(-qEd)\]

\[W_{1453}=qEb\]

Como se anuncia, obtenemos el mismo resultado para el trabajo realizado sobre la partícula a medida que se mueve de\(P_1\) a\(P_3\) lo largo de “\(P_1\)\(P_4\)\(P_5\)a a\(P_3\)” como lo hicimos en los otros dos caminos.

Siempre que el trabajo realizado sobre una partícula por una fuerza que actúa sobre esa partícula, cuando esa partícula se mueve de punto\(P_1\) a punto\(P_3\), es el mismo sin importar qué camino tome la partícula en el camino de\(P_1\) a\(P_3\), podemos definir una función de energía potencial para la fuerza. La función de energía potencial es una asignación de un valor de energía potencial a cada punto del espacio. Tal asignación nos permite calcular el trabajo realizado sobre la partícula por la fuerza cuando la partícula se mueve de punto\(P_1\) a punto\(P_3\) simplemente restando el valor de la energía potencial de la partícula al\(P_1\) valor de la energía potencial de la partícula a\(P_3\) y tomando el negativo del resultado. Es decir, el trabajo realizado sobre la partícula por la fuerza del campo eléctrico cuando la partícula va de un punto a otro es solo lo negativo del cambio en la energía potencial de la partícula.

Al determinar la función de energía potencial para el caso de una partícula de carga\(q\) en un campo eléctrico uniforme\(\vec{E}\), (un conjunto infinito de vectores, cada uno apuntando en una y la misma dirección y teniendo cada uno una y la misma magnitud\(E\)) confiamos en gran medida en su comprensión de la energía potencial gravitacional de superficie de nearearth's-superficie. Cerca de la superficie de la tierra, dijimos en el volumen 1 de este libro, hay un campo gravitacional uniforme, (un campo vectorial de fuerza por masa) en dirección descendente. Una partícula de masa\(m\) en ese campo tiene una fuerza “\(mg\)hacia abajo” ejercida sobre ella en cualquier lugar cercano a la superficie de la tierra. Para ese caso, la energía potencial de una partícula de masa\(m\) viene dada por\(mgy\) donde\(mg\) está la magnitud de la fuerza descendente y\(y\) es la altura a la que la partícula está por encima de un nivel de referencia arbitrariamente elegido. Para facilitar la comparación con el caso del campo eléctrico, ahora describimos el nivel de referencia para la energía potencial gravitacional como un plano, perpendicular al campo gravitacional\(g\), el campo vectorial fuerza-por masa; y; llamamos a la variable\(y\) la distancia “upfield” (la distancia en el dirección opuesta a la del campo gravitacional) que la partícula es del plano de referencia. (Entonces, estamos llamando a la dirección en la que apunta el campo gravitacional, la dirección que sabes que es hacia abajo, la dirección “campo abajo”).

Ahora cambiemos al caso del campo eléctrico uniforme. Como en el caso del campo gravitacional cercano a la superficie terrestre, la fuerza ejercida sobre su víctima por un campo eléctrico uniforme tiene una y la misma magnitud y dirección en cualquier punto del espacio. Desde luego, en el caso del campo eléctrico, la fuerza es\(qE\) más que\(mg\) y la característica de la víctima que importa es la carga\(q\) más que la masa\(m\). Llamamos a la dirección en la que apunta el campo eléctrico, la dirección “campo abajo”, y la dirección opuesta, la dirección “campo arriba”. Ahora definimos arbitrariamente un plano que es perpendicular al campo eléctrico para que sea el plano de referencia para la energía potencial eléctrica de una partícula de carga\(q\) en el campo eléctrico. Si llamamos a\(d\) la distancia que la partícula cargada está lejos del plano en la dirección del campo superior, entonces la energía potencial de la partícula con carga\(q\) viene dada por

\[U=qEd\]

donde

\(U\)es la energía eléctrica potencial de la partícula cargada,

\(q\)es la carga de la partícula,

\(E\)es la magnitud de cada vector de campo eléctrico que constituye el campo eléctrico uniforme, y

\(d\)es la distancia “upfield” que la partícula está desde el plano de\(U = 0\) referencia.

Asegurémonos que esta expresión para la función de energía potencial da el resultado que obtuvimos previamente para el trabajo realizado en una partícula con carga\(q\), por el campo eléctrico uniforme representado en el siguiente diagrama, cuando la partícula se mueve de\(P_1\) a\(P_3\)

Como pueden ver, he elegido (para mi propia conveniencia) definir el plano de referencia para que esté en la posición más abajo relevante para el problema. Con esa elección, la partícula de carga\(q\), cuando está en,\(P_1\) tiene energía potencial\(qEb\) (ya que el punto\(P_1\) es una distancia\(b\) “campo arriba” del plano de referencia) y, cuando está en\(P_3\), la partícula de carga\(q\) tiene energía potencial\(0\) ya que \(P_3\)está en el plano de referencia.

\[W_{13}=-\Delta U\]

\[W_{13}=-(U_3-U_1)\]

\[W_{13}=-(0-qEb)\]

\[W_{13}=qEb\]

Este es efectivamente el resultado que obtuvimos (por el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre la partícula con carga\(q\) ya que esa partícula se movió de\(P_1\) a\(P_3\)) las otras tres formas en que calculamos este trabajo.