B6: El potencial eléctrico debido a una o más cargas puntuales
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El potencial eléctrico debido a una carga puntual viene dado por
\[\varphi=\frac{kq}{r}\label{6-1}\]
donde
- \(\varphi\)es el potencial eléctrico debido a la carga puntual,
- \(k=8.99\times 10^9 \frac{Nm^2}{C^2}\)es la constante de Coulomb,
- \(q\)es la carga de la partícula (la carga de origen, también conocido como la carga puntual) que causa el campo eléctrico para el que se aplica el potencial eléctrico, y
- \(r\)es la distancia que está el punto de interés desde el punto de carga.
En el caso de un campo eléctrico no uniforme (como el campo eléctrico debido a una carga puntual), el método de potencial eléctrico para calcular el trabajo realizado sobre una partícula cargada es mucho más fácil que la aplicación directa de la fuerza a lo largo de la trayectoria multiplicada por la longitud de la trayectoria. Supongamos, por ejemplo, una partícula de carga\(q′\) se fija en el origen y necesitamos encontrar el trabajo realizado por el campo eléctrico de esa partícula sobre una víctima de carga a\(q\) medida que la víctima se mueve a lo largo del\(x\) eje de\(x_1\) a\(x_2\). No podemos simplemente calcular el trabajo como
\[F\cdot(x_2-x_1)\]
aunque la fuerza esté en la misma dirección que el desplazamiento, porque la fuerza\(F\) adquiere un valor diferente en cada punto diferente del\(x\) eje desde\(x = x_1\) hasta\(x = x_2\). Entonces, tenemos que hacer una integral:
\[dW=Fdx\]
\[dW=qEdx\]
\[dW=q\frac{kq'}{x^2} dx\]
\[\int dW=\int_{x_1}^{x_2} q\frac{kq'}{x^2} dx\]
\[W=kq'q\int_{x_1}^{x_2} x^{-2} dx\]
\[W=kq'q \frac{x^{-1}}{-1}\Big |_{x_1}^{x_2}\]
\[W=-kq'q(\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1})\]
\[W=-(\frac{kq'q}{x_2}-\frac{kq'q}{x_1})\]
Compare esto con la siguiente solución al mismo problema (una partícula de carga\(q′\) se fija en el origen y necesitamos encontrar el trabajo realizado por el campo eléctrico de esa partícula en una víctima de carga a\(q\) medida que la víctima se mueve a lo largo del\(x\) eje de\(x_1\) a\(x_2\)):
\[W=-\Delta U\]
\[W=-q \Delta \varphi\]
\[W=-q(\varphi_2-\varphi_1)\]
\[W=-(\frac{kq'q}{x_2}-\frac{kq'q}{x_1})\]
La energía eléctrica potencial de una partícula, utilizada en conjunto con el principio de la conservación de la energía mecánica, es una poderosa herramienta de resolución de problemas. El siguiente ejemplo lo hace evidente:
Una partícula de carga 0.180\(\mu C\) se fija en el espacio por medios no especificados. Una partícula de carga -0.0950\(\mu C\) y masa 0.130 gramos está a 0.885 cm de distancia de la primera partícula y alejándose directamente de la primera partícula con una velocidad de 15.0 m/s ¿Qué tan lejos de la primera partícula se aleja la segunda partícula?
Se trata de un problema de conservación de la energía. Como se requiere para todos los problemas de conservación de energía, comenzamos con un diagrama de antes y después:
\(\mbox{Energy Before = Energy After}\)
\[K+U=K'+U'\]
\[K+q\varphi=0+q \varphi'\]
\[\frac{1}{2}mv^2+q\frac{kq_s}{r}=q\frac{kq_s}{r'}\]
\[\frac{1}{r'}=\frac{1}{r}+\frac{mv^2}{2kq_sq}\]
\[r'=\frac{1}{\frac{1}{r}+\frac{mv^2}{2kq_sq}}\]
\[ r'=\frac{1}{ \frac{1}{8.85\times 10^{-3} m} + \frac{1.30\times 10^{-4}kg(15.0 m/s)^2}{2(8.99\times 10^9 \frac{N\cdot m^2}{C^2})1.80\times 10^{-7}C(-9.50\times 10^{-8}C) } }\]
\[r'=0.05599m\]
\[r'=0.0560m\]
\[r'=5.6cm\]
Superposición en el Caso del Potencial Eléctrico
Cuando hay más de una partícula cargada que contribuye al potencial eléctrico en un punto en el espacio, el potencial eléctrico en ese punto es la suma de las contribuciones debidas a las partículas cargadas individuales. El potencial eléctrico en un punto en el espacio, debido a un conjunto de varias partículas cargadas, es más fácil de calcular que el campo eléctrico debido al mismo conjunto de partículas cargadas es. Esto es cierto porque la suma de las contribuciones de potencial eléctrico es una suma aritmética ordinaria, mientras que la suma de las contribuciones de campo eléctrico es una suma vectorial.
Encuentra una fórmula que dé el potencial eléctrico en cualquier punto\((x, y)\) del plano x-y, debido a un par de partículas: una de carga\(–q\) en\((-\frac{d}{2},0)\) y la otra de carga\(+q\) en\((\frac{d}{2},0)\).
Solución
Establecemos un punto\(P\) en una posición arbitraria\((x, y)\) en la llanura x-y y determinamos la distancia que\(P\) se encuentra ese punto de cada una de las partículas cargadas. En el siguiente diagrama, utilizo el símbolo\(r_{+}\) para representar la distancia que\(P\) se encuentra ese punto desde la partícula cargada de manera positiva, y\(r_{-}\) para representar la distancia que el punto P está desde la partícula cargada negativamente.
El análisis del triángulo sombreado en el diagrama de la derecha nos da\(r_{+}\).
\[r_{+}=\sqrt{(x-\frac{d}{2})^2+y^2}\]
El análisis del triángulo sombreado en el diagrama de la derecha nos da\(r_{-}\).
\[r_{-}=\sqrt{(x+\frac{d}{2})^2+y^2}\]
Con las distancias que ese punto\(P\) es de cada una de las partículas cargadas en la mano, estamos listos para determinar el potencial:
\[r_{+}=\sqrt{(x-\frac{d}{2})^2+y^2}\]
\[r_{-}=\sqrt{(x+\frac{d}{2})^2+y^2}\]
\[\varphi(x,y)=\varphi_{+}+\varphi_{-}\]
\[\varphi(x,y)=\frac{kq}{r_{+}}+\frac{k(-q)}{r_{-}}\]
\[\varphi(x,y)=\frac{kq}{r_{+}}-\frac{kq}{r_{-}}\]
\[\varphi(x,y)=\frac{kq}{\sqrt{(x-\frac{d}{2})^2+y^2}}-\frac{kq}{\sqrt{(x+\frac{d}{2})^2+y^2}}\]