B33: Ley de Gauss

Cuando se le pide que encuentre el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada debido a una distribución de carga no trivial especificada, la gente con demasiada frecuencia intenta el enfoque inmensamente complicado de encontrar el campo eléctrico en todas partes de la superficie y hacer la integral de\(\vec{E}\) punto\(\vec{dA}\) sobre la superficie en lugar de simplemente dividiendo la carga total que encierra la superficie\(\epsilon _{o}\).

Conceptualmente hablando, la Ley de Gauss establece que el número de líneas de campo eléctrico que asoman hacia afuera a través de una superficie imaginaria cerrada es proporcional a la carga encerrada por la superficie.

Una superficie cerrada es aquella que divide el universo en dos partes: dentro de la superficie y, fuera de la superficie. Un ejemplo sería una burbuja de jabón para la que la película de jabón en sí es de espesor insignificante. Estoy hablando de una burbuja de jabón esferoidal flotando en el aire. Imagínese uno en forma de lata, un frasco cerrado con su tapa puesta o una caja cerrada. Estas también serían superficies cerradas. Para ser cerrada, una superficie tiene que abarcar un volumen de espacio vacío. Una superficie en forma de hoja plana de papel no sería una superficie cerrada. En el contexto de la ley de Gauss, una superficie cerrada imaginaria a menudo se denomina superficie gaussiana.

En términos conceptuales, si usas la Ley de Gauss para determinar cuánta carga hay en alguna superficie cerrada imaginaria contando el número de líneas de campo eléctrico que asoman hacia afuera a través de la superficie, debes considerar las líneas de campo eléctrico que empujan hacia adentro como líneas de campo negativas que asoman hacia afuera. Además, si una línea de campo eléctrico determinada se asoma a través de la superficie en más de una ubicación, hay que contar todas y cada una de las penetraciones de la superficie como otra línea de campo que atraviesa la superficie, lo que se suma\(+1\) a la cuenta si se asoma hacia afuera a través de la superficie, y\(−1\) a la cuenta si asoma hacia adentro a través de la superficie.

Entonces, por ejemplo, en una situación como:

tenemos líneas de campo\(4\) eléctrico que asoman hacia adentro a través de la superficie que, juntas, cuentan como líneas de campo\(−4\) exteriores, además, tenemos líneas de campo\(4\) eléctrico que asoman hacia afuera a través de la superficie que juntas cuentan como líneas de campo\(+4\) exteriores para un total de 0 eléctricas que empujan hacia afuera líneas de campo a través de la superficie cerrada. Por la Ley de Gauss, eso significa que la carga neta dentro de la superficie gaussiana es cero.

El siguiente diagrama podría hacer que nuestra declaración conceptual de la Ley de Gauss le parezca un simple sentido común:

La superficie cerrada tiene la forma de una cáscara de huevo. Hay líneas de campo\(32\) eléctrico que asoman hacia afuera a través de la superficie gaussiana (y cero que se asoman hacia adentro a través de ella), lo que significa que debe haber (según la Ley de Gauss) una carga neta positiva dentro de la superficie cerrada. En efecto, desde su entendimiento de que las líneas de campo eléctrico comienzan, ya sea con cargas positivas o infinitas, y terminan, ya sea con cargas negativas o infinitas, probablemente podría deducir nuestra forma conceptual de la Ley de Gauss. Si el número neto de líneas de campo eléctrico que asoman a través de una superficie cerrada es mayor que cero, entonces debe tener más líneas comenzando dentro de la superficie de las que terminan dentro de la superficie, y, dado que las líneas de campo comienzan con carga positiva, eso debe significar que hay más carga positiva dentro del superficie que hay carga negativa.

Nuestra idea conceptual del número neto de líneas de campo eléctrico que se asoman hacia afuera a través de una superficie gaussiana corresponde al flujo eléctrico neto hacia afuera\(\Phi_{E}\) a través de la superficie.

Para escribir una expresión para la cantidad infinitesimal de flujo hacia afuera\(d\Phi_{E}\) a través de un elemento de área infinitesimal\(dA\), primero definimos un vector de elemento de área\(\vec{dA}\) cuya magnitud es, por supuesto, solo el área\(dA\) del elemento; y; cuya dirección es perpendicular al elemento area, y, hacia afuera. (Recordemos que una superficie cerrada separa el universo en dos partes, una parte interior y otra exterior. Así, en cualquier punto de la superficie, es decir, en la ubicación de cualquier elemento de área infinitesimal en la superficie, la dirección hacia afuera, alejándose de la parte interior, es inequívoca.)

En términos de ese elemento área, y, el campo eléctrico\(\vec{E}\) en la ubicación del elemento area, podemos escribir la cantidad infinitesimal de flujo eléctrico\(d \Phi_{E}\) a través del elemento area como:

\[d\Phi_{E}=\vec{E} \cdot \vec{dA}\]

Recordemos que el producto punto se\(\vec{E}\cdot \vec{dA}\) puede expresar como\(EdA\cos \theta\). Para una cantidad dada\(E\) y una determinada de área, esto produce un valor máximo para el caso de\(\theta=0^{\circ}\) (cuando\(\vec{E}\) es paralelo al\(\vec{dA}\) significado que\(\vec{E}\) es perpendicular a la superficie); cero cuando\(\theta=90^{\circ}\) (cuando\(\vec{E}\) es perpendicular al\(\vec{dA}\) significado que\(\vec{E}\) es paralelo a la superficie); y; un valor negativo cuando\(\theta\) es mayor que\(90^{\circ}\) (\(180^{\circ}\)siendo el mayor valor\(\theta\) posible, el ángulo en el que\(\vec{E}\) vuelve a ser perpendicular a la superficie, pero, en este caso, hacia la superficie.)

Ahora bien, el flujo es la cantidad que podemos pensar conceptualmente como el número de líneas de campo. Entonces, en términos del flujo, la Ley de Gauss establece que el flujo neto hacia afuera a través de una superficie cerrada es proporcional a la cantidad de carga encerrada por esa superficie. En efecto, la constante de proporcionalidad se ha establecido para estar\(\frac{1}{\epsilon_0}\) donde\(\epsilon_0\) (épsilon cero) está la constante universal conocida como la permitividad eléctrica del espacio libre. (Ya lo has visto\(\epsilon_0\) antes. En su momento, afirmamos que la constante de Coulomb a menudo\(k\) se expresa como\(\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\). En efecto, la identidad\(k=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\) aparece en su hoja de fórmulas.) En forma de ecuación, la Ley de Gauss dice:

\[\oint \vec{E} \cdot \vec{dA}=\frac{Q_{\mbox{ENCLOSED}}}{\epsilon_0}\label{33-1}\]

El círculo sobre el signo integral, combinado con el hecho de que lo infinitesimal en el integrando es un elemento de área, significa que la integral está sobre una superficie cerrada. La cantidad de la izquierda es la suma del producto\(\vec{E}\cdot \vec{dA}\) para todos y cada uno de los elementos de área\(dA\) que conforman la superficie cerrada. Es el flujo eléctrico total hacia afuera a través de la superficie.

\[ \Phi_{E}=\oint \vec{E} \cdot \vec{dA} \label{33-2}\]

El uso de esta definición en la Ley de Gauss nos permite escribir la Ley de Gauss en la forma:

\[ \Phi_{E}=\frac{Q_{\mbox{ENCLOSED}}}{\epsilon_0}\label{33-3}\]

Cómo usarás la ley de Gauss

La Ley de Gauss es una ecuación integral. Tal ecuación integral también se puede expresar como una ecuación diferencial. No usaremos la forma diferencial, sino, por su existencia, la ecuación de la Ley de Gauss

\[\oint \vec{E}\cdot \vec{dA}=\frac{Q_{\mbox{ENCLOSED}}}{\epsilon_0}\]

se conoce como la forma integral de la Ley de Gauss. La forma integral de la Ley de Gauss puede ser utilizada para varios propósitos diferentes. En el curso para el que está escrito este libro, lo estarás utilizando de manera limitada consistente con los prerrequisitos matemáticos y co-requisitos para el curso. He aquí cómo:

1. La Ley de Gauss en la forma\(\Phi_E=\frac{Q_{\mbox{ENCLOSED}}}{\epsilon_0}\) facilita el cálculo del flujo neto hacia afuera a través de una superficie cerrada que encierra una cantidad conocida de carga\(Q_{\mbox{ENCLOSED}}\). Simplemente divida la cantidad de carga\(Q_{\mbox{ENCLOSED}}\) por\(\epsilon_0\) (dada en su hoja de fórmula como\(\epsilon_0=8.85\times 10^{-12} \frac{C^2}{N\cdot m^2}\) y tendrá el flujo a través de la superficie cerrada.
   
2. Dado el campo eléctrico en todos los puntos de una superficie cerrada, se puede utilizar la forma integral de la Ley de Gauss para calcular la carga dentro de la superficie cerrada. Esto puede ser utilizado como cheque para un caso en el que el campo eléctrico debido a una distribución de carga dada haya sido calculado por un medio distinto a la Ley de Gauss. Solo se esperará que haga esto en los casos en los que se pueda tratar la superficie cerrada como hecha de una o más piezas superficiales finitas (no esfumantemente pequeñas) sobre las cuales el campo eléctrico es constante sobre toda la pieza superficial para que el flujo pueda calcularse algebraicamente como\(EA\) o\(EA \cos\theta\). Después de hacerlo para cada una de las piezas de superficie finita que componen la superficie cerrada, agrega los resultados y tiene el flujo
   \[\Phi_ E=\oint \vec{E}\cdot \vec{dA}\] a través de la superficie. Para que la carga quede encerrada por la superficie, solo tienes que conectarla a
3. En los casos que involucran una distribución de carga simétrica, la Ley de Gauss puede ser utilizada para calcular el campo eléctrico debido a la distribución de carga. En tales casos, la elección correcta de la superficie gaussiana hace\(E\) una constante en todos los puntos de cada una de varias piezas superficiales, y en algunos casos, cero en otras piezas superficiales. En tales casos, el flujo se puede expresar como\(EA\) y uno puede simplemente resolver\(EA=\frac{Q_{\mbox{enclosed}}}{\epsilon_{o}}\)\(E\) y usar la comprensión conceptual del campo eléctrico para obtener la dirección de\(\vec{E}\). El resto de este capítulo y todo el siguiente serán utilizados para proporcionar ejemplos de los tipos de distribuciones de cargos a los que se espera que pueda aplicar este método.

Uso de la Ley de Gauss para Calcular el Campo Eléctrico en el Caso de una Distribución de Carga con Simetría Esférica

Una distribución de carga esféricamente simétrica tiene un centro bien definido. Además, si gira una distribución de carga esféricamente simétrica a través de cualquier ángulo, alrededor de cualquier eje que pase por el centro, terminará con la misma distribución de carga exacta. Una bola de carga uniforme es un ejemplo de una distribución de carga esféricamente simétrica. Antes de considerarlo, sin embargo, retomemos el caso de la distribución de carga más simple de todas ellas, una carga puntual.

Usamos la simetría de la distribución de carga para averiguar todo lo que podamos sobre el campo eléctrico y luego usamos la Ley de Gauss para hacer el resto. Ahora, cuando giramos la distribución de carga, giramos el campo eléctrico con ella. Y, si una rotación de la distribución de carga te deja con la misma distribución exacta de carga, entonces, también debe dejarte con el mismo campo eléctrico.

Primero probamos que el campo eléctrico debido a una carga puntual no puede tener componente tangencial asumiendo que sí tiene un componente tangencial y mostrando que esto lleva a una contradicción.

Aquí está nuestra carga puntual\(q\), y un supuesto componente tangencial del campo eléctrico en un punto\(P\) que, desde nuestra perspectiva, está a la derecha de la carga puntual.

(Tenga en cuenta que una dirección radial es cualquier dirección que se aleja de la carga puntual y, una dirección tangencial es perpendicular a la dirección radial).

Ahora decidamos sobre un eje de rotación para probar si el campo eléctrico es simétrico con respecto a la rotación. Casi cualquiera servirá. Elijo uno que pase tanto por el punto de carga, como, punto\(P\).

Ahora bien, si giro la carga, y su campo eléctrico asociado, a través de un ángulo de\(180 ^{\circ}\) alrededor de ese eje, obtengo:

Esto es diferente del campo eléctrico con el que empezamos. Es hacia abajo en lugar de hacia arriba. De ahí que el campo eléctrico no pueda tener el componente tangencial representado en el punto\(P\). Obsérvese que el argumento no depende de qué tan lejos\(P\) esté el punto de la carga puntual; efectivamente, nunca especificé la distancia. Entonces, ningún punto a la derecha de nuestro punto de carga puede tener un componente ascendente a su campo eléctrico. De hecho, si asumo el campo eléctrico\(P′\) en cualquier punto del espacio que no sea el punto en el que se encuentra la carga, para tener un componente tangencial, entonces, puedo adoptar un punto de vista desde el cual punto\(P′\) parece estar a la derecha de la carga, y, el campo eléctrico parece estar hacia arriba. Desde ese punto de vista, puedo hacer el mismo argumento de rotación presentado anteriormente para demostrar que el componente tangencial no puede existir. Así, en base a la simetría esférica de la distribución de carga, el campo eléctrico debido a una carga puntual tiene que ser estrictamente radial. De esta manera, en cada punto del espacio, el campo eléctrico debe estar ya sea directamente hacia la carga puntual o directamente lejos de ella. Además, nuevamente desde la simetría, si el campo eléctrico está directamente alejado de la carga puntual en un punto en el espacio, entonces tiene que estar directamente lejos de la carga puntual en cada punto del espacio. De igual manera, para el caso en que se encuentre directamente hacia la carga puntual en un punto en el espacio, el campo eléctrico tiene que estar directamente hacia la carga puntual en cada punto del espacio.

Lo hemos reducido a una elección 50/50. Supongamos que el campo eléctrico se dirige lejos de la carga puntual en cada punto del espacio y utilicemos la Ley de Gauss para calcular la magnitud del campo eléctrico. Si la magnitud es positiva, entonces el campo eléctrico es efectivamente dirigido lejos de la carga puntual. Si la magnitud resulta ser negativa, entonces el campo eléctrico en realidad se dirige hacia la carga puntual.

En este punto tenemos que elegir una superficie gaussiana. Para explotar aún más la simetría de la distribución de carga, elegimos una superficie gaussiana con simetría esférica. Más específicamente, elegimos una concha esférica de radio\(r\), centrada en la carga puntual.

En cada punto del proyectil, el campo eléctrico, al ser radial, tiene que ser perpendicular a la concha esférica. Esto significa que para cada elemento de área, el campo eléctrico es paralelo a nuestro vector de elemento de área dirigido hacia afuera\(\vec{dA}\). Esto quiere decir que\(\vec{E} \cdot \vec{dA}\) en la Ley de Gauss,

\[\oint \vec{E} \cdot \vec{dA}=\frac{Q_{\mbox{enclosed}}}{\epsilon_o}\]

evalúa a\(E\space dA\). Entonces, para el caso que nos ocupa, la Ley de Gauss toma la forma:

\[\oint E dA=\frac{Q_{\mbox{enclosed}}}{\epsilon_o}\]

Además, la magnitud del campo eléctrico tiene que tener el mismo valor en cada punto de la cáscara. Si fuera diferente en un punto\(P′\) de la concha esférica de lo que es en un punto\(P\) en el caparazón esférico, entonces podríamos rotar la distribución de carga alrededor de un eje a través de la carga puntual de tal manera que lleve el campo eléctrico original en punto\(P′\) a posición\(P\). Pero esto representaría un cambio en el campo eléctrico en el punto\(P\), debido a la rotación, en violación de que una carga puntual tiene simetría esférica. De ahí que el campo eléctrico en cualquier punto\(P′\) de la superficie gaussiana debe tener la misma magnitud que el campo eléctrico en el punto\(P\), que es lo que me propuse probar. El hecho de que\(E\) sea una constante, en lo integral, significa que podemos faccionarlo fuera de lo integral. Entonces, para el caso que nos ocupa, la Ley de Gauss toma la forma:

\[E \oint dA=\frac{Q_{\mbox{enclosed}}}{\epsilon_o}\]

En la página anterior llegamos a\(E \oint dA=\frac{Q_{\mbox{enclosed}}}{\epsilon_o}\).

Ahora\(\oint dA\), la integral de\(dA\) sobre la superficie gaussiana es la suma de todos los elementos de área que componen la superficie gaussiana. Eso quiere decir que es solo el área total de la superficie gaussiana. La superficie gaussiana, al ser una esfera de radio\(r\), tiene área\(4\pi r^2\). Entonces ahora, la Ley de Gauss para el caso en cuestión se ve así:

\[E4\pi r^2= \frac{Q_{\mbox{enclosed}}}{\epsilon_o}\]

Bien, ya hemos dejado ese lado derecho solo el tiempo suficiente. Estamos hablando de una carga puntual\(q\) y nuestra superficie gaussiana es una esfera centrada en esa carga puntual\(q\), entonces, la carga encerrada,\(Q_{\mbox{enclosed}}\) es obviamente\(q\). Esto produce:

\[E 4\pi r^2=\frac{q}{\epsilon_o}\]

Resolver para nos\(E\) da:

\[E=\frac{1}{4\pi\epsilon_o} \frac{q}{r^2}\]

Esto es positivo cuando la carga\(q\) es positiva, es decir, que el campo eléctrico se dirige hacia afuera, según nuestra suposición. Es negativo cuando\(q\) es negativo. Entonces, cuando la carga\(q\) es negativa, el campo eléctrico se dirige hacia adentro, hacia la partícula cargada. Esta expresión es, por supuesto, solo Ley de Coulomb para el campo eléctrico. Puede parecerle más familiar si lo escribimos en términos de la constante de Coulomb\(k=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\) en cuyo caso nuestro resultado para el campo eléctrico exterior aparece como:

\[E=\frac{kq}{r^2}\]

Es claro que, por medio de nuestro primer ejemplo de Ley de Gauss, hemos derivado algo que ya sabes, el campo eléctrico debido a una carga puntual.