2.3: Caída Libre

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Un ejemplo importante de movimiento con aceleración (aproximadamente) constante es proporcionado por la caída libre cerca de la superficie de la Tierra. Decimos que un objeto está en “caída libre” cuando la única fuerza que actúa sobre él es la fuerza de la gravedad (la palabra “caída” aquí puede ser un poco engañosa, ya que el objeto en realidad podría estar moviéndose hacia arriba algunas veces, si ha sido arrojado hacia arriba, por ejemplo). La estación espacial está en caída libre, pero debido a que no está cerca de la superficie de la tierra su dirección de movimiento (y de ahí su aceleración, considerada como un vector bidimensional) cambia constantemente. Justo al lado de la superficie de la tierra, por otro lado, la curvatura del planeta es prácticamente insignificante y la gravedad proporciona una aceleración vertical aproximadamente constante, que, en ausencia de otras fuerzas, resulta ser la misma para cada objeto, independientemente de su tamaño, forma o peso.

El resultado anterior —que, en ausencia de otras fuerzas, todos los objetos deben caer a la tierra al mismo ritmo, independientemente de lo grandes o pesados que sean— es tan contrario a nuestra experiencia común que tardó muchos siglos en descubrirlo. La clave, por supuesto, como ocurre con la ley de la inercia, es darse cuenta de que, en circunstancias normales, las fuerzas de fricción están, de hecho, actuando todo el tiempo, por lo que un objeto que cae a través de la atmósfera nunca está realmente en caída “libre”: siempre hay, como mínimo, y además de la fuerza de la gravedad, una fuerza de arrastre aéreo que se opone a su movimiento. La magnitud de esta fuerza sí depende del tamaño y la forma del objeto (básicamente, de cuán “aerodinámico” sea el objeto); y así una pelota de golf, por ejemplo, cae mucho más rápido que una hoja plana de papel. Sin embargo, si arrugas la hoja de papel hasta que tenga el mismo tamaño y forma que la pelota de golf, ¡puedes ver por ti mismo que caen aproximadamente al mismo ritmo! La igualdad nunca puede ser exacta, sin embargo, a menos que te deshagas por completo del arrastre aéreo, ya sea haciendo el experimento en un tubo evacuado, o (de una manera algo extrema), haciéndolo en la superficie de la luna, como hicieron los astronautas del Apolo 15 con un martillo y una pluma allá por 1971 ².

Esto todavía nos deja con algo de misterio, sin embargo: la fuerza de la gravedad es la única fuerza que se sabe que tiene la propiedad de que imparte a todos los objetos la misma aceleración, independientemente de su masa o constitución. Una manera de decirlo técnicamente es que la fuerza de gravedad sobre un objeto es proporcional a la masa inercial de ese objeto, cantidad que introduciremos adecuadamente en el siguiente capítulo. Por el momento, simplemente registraremos aquí que esta aceleración, cerca de la superficie de la tierra, tiene una magnitud de aproximadamente 9.8 m/s ², cantidad que se denota con el símbolo\(g\). Así, si tomamos la dirección hacia arriba como positiva (como suele hacerse), obtenemos para la aceleración de un objeto en caída libre\(a = −g\), y las ecuaciones de movimiento se convierten

\[ \Delta v=-g \Delta t \label{eq:2.15} \]

\[ \Delta y=v_{i} \Delta t-\frac{1}{2} g(\Delta t)^{2} \label{eq:2.16} \]

donde he usado\(y\) en lugar de\(x\) para la coordenada de posición, ya que esa es una opción más común para un eje vertical. Tenga en cuenta que bien podríamos haber elegido la dirección descendente como positiva, y esa puede ser una opción más natural en algunos problemas. Independientemente, la cantidad siempre\(g\) se define como positiva:\(g\) = 9.8 m/s ². La aceleración, entonces, es\(g\) o\(−g\), dependiendo de qué dirección tomemos para ser positivos

En la práctica, el valor de\(g\) cambia un poco de un lugar a otro alrededor de la tierra, por diversas razones (es algo sensible a la densidad del suelo debajo de ti, y disminuye a medida que subes más alto lejos del centro de la tierra). En un capítulo posterior veremos cómo calcular el valor de a\(g\) partir de la masa y el radio de la tierra, y también cómo calcular la cantidad equivalente para otros planetas.

Mientras tanto, podemos usar ecuaciones como (\ ref {eq:2.15}) y (\ ref {eq:2.15}) (así como (2.2.10), con las sustituciones apropiadas) para responder a una serie de preguntas interesantes sobre objetos arrojados o caídos hacia arriba o hacia abajo (siempre, por supuesto, asumiendo que el arrastre de aire es insignificante). Por ejemplo, al principio de este capítulo mencioné que si se me cae un objeto podría tomar alrededor de medio segundo en golpear el suelo. Si usas Ecuación (\ ref {eq:2.16}) con\(v_i\) = 0 (ya que estoy soltando el objeto, no tirándolo hacia abajo, su velocidad inicial es cero), y sustituto\(\Delta t\) = 0.5 s, obtienes\(\Delta y\) = 1.23 m (aproximadamente 4 pies). Esta es una altura razonable desde la que dejar caer algo.

Por otro lado, puede notar que medio segundo no es un tiempo muy largo en el que hacer observaciones precisas (sobre todo si no se cuenta con equipos electrónicos modernos), y como resultado de eso hubo considerable confusión durante muchos siglos en cuanto a la manera precisa en que cayeron los objetos. Algunas personas creían que la velocidad sí aumentaba de alguna manera a medida que el objeto caía, mientras que otras parecen haber creído que un objeto caído “instantáneamente” (es decir, en cuanto dejara tu mano) adquiriría algo de velocidad y la mantendría inalterada todo el camino hacia abajo. En realidad, ante la presencia de arrastre de aire, lo que sucede es una combinación de ambos: inicialmente la velocidad aumenta a una velocidad aproximadamente constante (caída libre, o casi libre), pero la fuerza de arrastre también aumenta con la velocidad, hasta que finalmente equilibra la fuerza de la gravedad, y a partir de ese punto la velocidad ya no aumenta: decimos que el objeto ha alcanzado “velocidad terminal”. Algunos objetos alcanzan la velocidad terminal casi instantáneamente, mientras que otros (los más “aerodinámicos”) pueden tardar mucho en hacerlo. Esto explica la confusión que prevaleció antes de los experimentos de Galileo a principios de los 1600.

La visión principal de Galileo, en el lado teórico, fue la comprensión de que era necesario separar claramente el efecto de la gravedad y el efecto de la fuerza de arrastre. Experimentalmente, su gran idea era utilizar un plano inclinado para frenar la “caída” de un objeto, a fin de hacer posibles mediciones precisas (¡y también, por cierto, reducir la fuerza de arrastre aéreo!). Estos “planos inclinados” eran simplemente básicamente rampas por las que mandó rodar pequeñas bolas (como canicas). Al cambiar la pendiente de la rampa pudo controlar la lentitud con la que se movían las bolas. Razonó que, en última instancia, la fuerza que hacía bajar las bolas era esencialmente la misma fuerza de gravedad, solo que no toda la fuerza, sino solo una fracción de ella. Hoy sabemos que, de hecho, un objeto se desliza (¡no rodando!) arriba o abajo en una inclinación sin fricción experimentará una aceleración dirigida hacia abajo a lo largo de la pendiente y con una magnitud igual a\(g \sin \theta\), donde\ (\ theta) es el ángulo que la pendiente hace con la horizontal:

\[ a=g \sin \theta \quad \text{ (inclined plane, taking} \: downwards \: \text{to be positive) } \label{eq:2.17} \]

(por alguna razón, parece más natural, cuando se trata de planos inclinados, ¡tomar la dirección descendente como positiva!). La ecuación (\ ref {eq:2.17}) tiene sentido en los dos casos extremos en los que el plano es completamente vertical (\(\theta = 90^{\circ}\),\(a = g\)) y completamente horizontal (\(\theta = 0^{\circ}\),\(a\) = 0). Para valores intermedios, realizarás experimentos en el laboratorio para verificar este resultado.

Mostraremos, en un capítulo posterior, cómo la Ecuación (\ ref {eq:2.17}) proviene de una cuidadosa consideración de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto; también veremos, más adelante, cómo se necesita modificar para el caso de un objeto rodante, en lugar de un objeto deslizante. Esta modificación no afecta a la conclusión principal de Galileo, que fue, básicamente, que el movimiento natural de caída en ausencia de fricción o fuerzas de arrastre es el movimiento con aceleración constante (al menos, cerca de la superficie de la tierra, donde\(g\) es constante a una muy buena aproximación).

² El video de esto está disponible en línea: https://www.youtube.com/watch?v=oYEgdZ3iEKA. Es, sin embargo, bastante baja resolución y difícil de ver. Una demostración moderna muy impresionante que involucra plumas y una bola de boliche en una sala completamente evacuada (sin aire) está disponible aquí: https://www.youtube.com/watch?v=E43-CfukEgs.