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2.5: Ejemplos

Última actualización

30 oct 2022
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- 2.4: En Resumen
- 2.6: Ejercicios

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

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$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$

$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$

$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$

$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$

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$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$

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$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$

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$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$

$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$

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$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$

$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$

$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$

$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$

$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$

$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$

$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$

$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$

$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$

$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$

$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$

$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$

$\newcommand{\real}{\mathbb R}$

$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$

$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$

$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$

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$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$

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$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$

$\newcommand{\lt}{<}$

$\newcommand{\gt}{>}$

$\newcommand{\amp}{&}$

$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

Ejemplo $\PageIndex{1}$ : Movimiento con aceleración constante por tramos

Construir los gráficos de posición vs. tiempo, velocidad vs tiempo y aceleración vs tiempo para el movimiento que se describe a continuación. Para cada uno de los intervalos (a) — (d) necesitarás averiguar la posición (altura) y la velocidad del cohete al principio y al final del intervalo, y la aceleración para el intervalo. Además, para el intervalo (b) es necesario averiguar la altura máxima alcanzada por el cohete y el momento en que ocurre. Para el intervalo (d) es necesario averiguar su duración, es decir, el momento en el que el cohete golpea el suelo.

Un cohete es disparado hacia arriba, acelerando desde el reposo hasta una velocidad final de 20 m/s en 1 s mientras quema su combustible. (Trate la aceleración como constante durante este intervalo.)
De $t$ = 1 s a $t$ = 4 s, con el combustible agotado, el cohete vuela solo bajo la influencia de la gravedad. En algún momento durante este intervalo de tiempo (¡necesitas averiguar cuándo!) deja de subir y comienza a caer.
A $t$ = 4 s se abre un paracaídas, provocando repentinamente una aceleración ascendente (nuevamente, trátelo como constante) que dura 1 s; al final de este intervalo, la velocidad del cohete es de 5 m/s hacia abajo.
La última parte del movimiento, con el paracaídas desplegado, es con velocidad constante de 5 m/s hacia abajo hasta que el cohete golpea el suelo.

Solución

(a) Para este primer intervalo (para lo cual voy a utilizar un subíndice “1” a lo largo) tenemos

\ [\ Delta y_ {1} =\ frac {1} {2} a_ {1}\ izquierda (\ Delta t_ {1}\ derecha) ^ {2}\ etiqueta {eq:2.18}\]

usando la ecuación (2.2.6) para movimiento con aceleración constante con velocidad inicial cero ( estoy usando la variable $y$ , en lugar de $x$ , para la coordenada vertical; esto es más o menos habitual, pero, por supuesto, podría haber usado $x$ igual de bien).

Dado que la aceleración es constante, es igual a su valor promedio:

\ [a_ {1} =\ frac {\ Delta v} {\ Delta t} =20\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s} ^ {2}}\ nonumber.\]

Sustituyendo esto en (\ ref {eq:2.18}) obtenemos la altura a $t$ = 1 s es de 10 m. La velocidad en ese momento, por supuesto, es $v_{f1}$ = 20 m/s, como nos dijeron en el enunciado del problema.

(b) Esta parte es de caída libre con velocidad inicial $v_{i2}$ = 20 m/s Para encontrar qué tan alto sube el cohete, use la Ecuación (2.3.1) en la forma $v_{top} − v_{i2} = −g(t_{top} − t_{i2})$ , con $v_{top} = 0$ (a medida que el cohete sube, su velocidad disminuye, y deja de subir cuando su velocidad es cero). Esto nos da $t_{top}$ = 3.04 s como el momento en el que el cohete alcanza la cima de su trayectoria, y luego comienza a bajar. El desplazamiento correspondiente es, por la Ecuación (2.3.2),

\ [\ Delta y_ {t o p} =v_ {i 2}\ izquierda (t_ {t o p} -t_ {i 2}\ derecha) -\ frac {1} {2} g\ izquierda (t_ {t o p} -t_ {i 2}\ derecha) ^ {2} =20.4\:\ mathrm {m}\ noner\]

por lo que la altura máxima que alcanza es de 30.4 m.

Al final del intervalo completo de 3 segundos, el desplazamiento del cohete es

\ [\ Delta y_ {2} =v_ {i 2}\ Delta t_ {2} -\ frac {1} {2} g\ izquierda (\ Delta t_ {2}\ derecha) ^ {2} =15.9\:\ mathrm {m} \ nonumber\]

(por lo que su altura es 25.9 m sobre el suelo), y la velocidad final es

\ [v_ {f 2} =v_ {i 2} -g\ Delta t_ {2} =-9.43\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ nonumber.\]

(c) La aceleración para esta parte es $(v_{f3} −v_{i3})/ \Delta t_3$ = (−5 + 9.43) /1=4.43 m/s ². Anote el signo positivo. El desplazamiento es

\ [\ Delta y_ {3} =-9.43\ times 1+\ frac {1} {2}\ times 4.43\ times 1^ {2} =-7.22\:\ mathrm {m} \ nonumber\]

por lo que la altura final es 25.9 − 7.21 = 18.7 m.

(d) Esto es solo movimiento con velocidad constante para cubrir 18.7 m a 5 m/s. El tiempo que tarda es de 3.74 s. Las gráficas para este movimiento se muestran anteriormente en el capítulo, en la Figura 2.2.3.

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