4.4: Ejemplos

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Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Gráfico de colisiones revisado

Vuelva a mirar la gráfica de colisiones del Ejemplo 3.5.1 desde el punto de vista de la energía cinética de los dos carros.

¿Cuál es la energía cinética inicial del sistema?
¿Cuánto de esto está en el centro del movimiento de masas y cuánto es convertible?
¿La energía cinética convertible va a cero en algún momento durante la colisión? Si es así, ¿cuándo? ¿Se recupera completamente después de que termine la colisión?
¿Qué tipo de colisión es esta? (Elástico, inelástico, etc.) ¿Cuál es el coeficiente de restitución?

Solución

(a) De la solución al Ejemplo 3.5.1 sabemos que

\ begin {alineado}
v_ {1 i} =&-1\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}} & v_ {2 i} =0.5\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\\
v_ {1 f} =&1\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}} & & v_ {2 f} =-0.5\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}
\ end {alineado}

y\(m_1\) = 1 kg y\(m_2\) = 2 kg. Entonces la energía cinética inicial es

\ [K_ {s y s, i} =\ frac {1} {2} m_ {1} v_ {1 i} ^ {2} +\ frac {1} {2} m_ {2} v_ {2 i} ^ {2} =0.5\: \ mathrm {J} +0.25\:\ mathrm {J} =0.75\:\ mathrm {J}\ etiqueta eq:4.17} \]

(b) Para calcular\ (K_ {cm} = \ frac {1} {2} (m_1 + m_2) v^2_ {cm}\), necesitamos\(v_{cm}\), que en este caso es igual a

\ [v_ {c m} =\ frac {m_ {1} v_ {1 i} +m_ {2} v_ {2 i}} {m_ {1} +m_ {2}} =\ frac {-1+2\ veces 0.5} {3} =0 \ nonumber\]

so\(K_{cm}\) = 0, lo que significa que toda la energía cinética es convertible. También podemos calcular eso directamente:

\ [K_ {\ text {conv}, i} =\ frac {1} {2}\ mu v_ {12, i} ^ {2} =\ frac {1} {2}\ left (\ frac {1\ times 2} {1+2}\:\ mathrm {kg}\ derecha)\ veces\ izquierda (0.5\: \ frac {\ mathrm {m}}\ mathrm {s}} - (-1)\: \ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ derecha) ^ {2} =\ frac {1.5^ {2}} {3}\: \ mathrm {J} =0.75\:\ mathrm {J}\ label {eq:4.18}\]

(c) Si nos fijamos en la figura 3.5.1, podemos ver que los carros no pasan entre sí, por lo que su velocidad relativa debe ser cero en algún momento, y con eso, la energía convertible. De hecho, la cifra deja bastante claro que ambos\(v_1\) y\(v_2\) son cero a \(t\) = 5 s, por lo que en ese punto también\(v_{12}\) = 0, y la energía convertible\(K_{conv}\) = 0. (Y así es el total \(K_{sys}\) = 0 en ese momento, ya que\(K_{cm}\) = 0 a lo largo.)

Por otro lado, también está claro que\(K_{conv}\) se recupera completamente después de que termine la colisión, ya que la velocidad relativa apenas cambia de signo:

\ begin {array} {l}
{v_ {12, i} =v_ {2 i} -v_ {1 i} =0.5\: \ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}} - (-1)\: \ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}} =1.5\:\ frac {\ mathrm {m}}\ mathrm {s}} \\
{v_ {12, f} =v_ {2 f} -v_ {1 f} =-0.5\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}} -1 \:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}} =-1.5\: \ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}}\ label {eq:4.19}
\ end {array}

Por lo tanto

\ [K_ {\ text {conv}, f} =\ frac {1} {2}\ mu v_ {12, f} ^ {2} =\ frac {1} {2}\ mu v_ {12, i} ^ {2} =K_ {\ text {conv}, i}\ nonumber\]

d) Dado que la energía cinética total (que en este caso es sólo energía convertible) se recupera completamente cuando termina la colisión, la colisión es elástica. Usando la ecuación (\ ref {eq:4.19}), podemos ver que el coeficiente de restitución es

\ [e=-\ frac {v_ {12, f}} {v_ {12, i}} =-\ frac {-1.5} {1.5} =1\ nonumber\]

como debería ser.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Colisión inelástica y separación explosiva

Analizar Ejemplo 3.5.2 desde el punto de vista de la energía cinética del sistema. En particular, conteste las siguientes preguntas:

Cuál es la energía cinética total del sistema (i) antes de que los jugadores choquen, (ii) justo después de la colisión, cuando se sujetan el uno al otro, y (iii) después de que se separen. ¿Cuánto de esta energía es traslacional ( es decir, energía cinética del centro de masa) y cuánto es convertible?
Responde las mismas preguntas desde el punto de vista del jugador que está patinando a una constante 1.5 m/s hacia la derecha (jugador 3) (Para evitar repeticiones innecesariamente, es posible que uses resultados ya establecidos, como la conservación del impulso.)

Solución

(a) Antes de que choquen los jugadores, tenemos

\ [K_ {s y s, i} =\ frac {1} {2} m_ {1} v_ {1 i} ^ {2} +\ frac {1} {2} {2} m_ {2} v_ {2 i} ^ {2} =\ frac {1} {2} (80 \:\ mathrm {kg})\ veces\ izquierda (3 \:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ derecha) ^ {2} +\ frac {1} {2} (90 \:\ mathrm {kg})\ veces\ izquierda (-2 \:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ derecha) ^ {2} =540\:\ mathrm {J} \ label {eq:20}. \]

Mientras todavía se mantienen el uno al otro, sabemos por la solución al Ejemplo 3.5.2 que su velocidad conjunta es de 0.353, y que ésta tiene que ser también la velocidad de su centro de masa, que no se modifica por la colisión. Entonces, tenemos

\ [K_ {c m} =\ frac {1} {2}\ izquierda (m_ {1} +m_ {2}\ derecha) v_ {c m} ^ {2} =\ frac {1} {2} (170 \:\ mathrm {kg})\ izquierda (0.353\: \ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}} derecha) ^ {2} =10.6\:\ mathrm {J} \ label {eq:4.21}.\]

Esto es\(K_{cm}\) a lo largo, así como\(K_{sys}\) justo después de la colisión, ya que la colisión es totalmente inelástica y eso significa que\(K_{conv}\) cae a cero. Además, restando esto de (\ ref {eq:4.20}) nos dará el valor inicial de la energía convertible, sin necesidad de un cálculo separado, por lo que

\ [K_ {c o n v, i} =K_ {s y s, i} -K_ {c m} =540\:\ mathrm {J} -10.6\:\ mathrm {J} =529.4\:\ mathrm {J} \ simeq 529\:\ mathrm {J}\ label {eq:4.22}.\]

Después de la separación, la nueva energía cinética total (para la cual utilizaré el subíndice f) es

\ [K_ {s y s, i} =\ frac {1} {2} m_ {1} v_ {1 f} ^ {2} +\ frac {1} {2} {2} m_ {2} v_ {2 f} ^ {2} =\ frac {1} {2} (80 \:\ mathrm {kg})\ veces\ izquierda (-0.176 \:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ derecha) ^ {2} +\ frac {1} {2} (90\: \ mathrm {kg})\ veces\ izquierda (0.824\: \ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ derecha) ^ {2} =31.8\:\ mathrm {J} \ label { eq:4.23}\]

donde he conseguido los valores para \(v_{1f}\) y\(v_{2f}\) de la solución a la parte (d) del Ejemplo 3.5.2. Restar\(K_{cm}\) de esto nos dará el valor final de la energía convertible:

\ [K_ {\ text {conv}, f} =K_ {\ text {sys, f}} -K_ {c m} =31.8\:\ mathrm {J} -10.6\:\ mathrm {J} =21.2\: \ mathrm {J}\ label {eq:4.24}\]

Para resumir, entonces, tenemos:

Antes de la colisión:\ [K_ {s y s, i} =540\:\ mathrm {J}, \ quad K_ {c m} =10.6\:\ mathrm {J},\ quad K_ {c o n v, i} =529.4\:\ mathrm {J}\ nonumber\]
Justo después de la colisión (los jugadores siguen sosteniendo el uno al otro):\ [K_ {s y s} =K_ {c m} =10.6\:\ mathrm {J},\ quad K_ {c o n v} =0\ nonumber\]
Después de la separación (explosiva):\ [K_ {s y s, f} =31.8 \:\ mathrm {J},\ quad K_ {c m} =10.6\:\ mathrm {J},\ quad K_ {c o n v, i} =21.2\:\ mathrm {J}\ nonumber\]

Entonces, en la colisión, aproximadamente 529 J de energía cinética “desaparecieron” del sistema (o, podríamos decir, fueron “ convertidos en alguna forma de energía interna”), mientras que los jugadores empujándose unos a otros lograron devolver al sistema alrededor de 21 J de energía cinética; exploraremos este tipo de procesos con más detalle en el siguiente capítulo!

(b) Necesitamos repetir todos los cálculos anteriores con todas las velocidades bajadas 1.5 m/s, para llevarlos al marco de referencia del jugador 3. En lugar de poner un subíndice “3” en todas las cantidades, ya que ya tenemos toneladas de subíndices de los que preocuparme, voy a seguir una convención alternativa y usar un superíndice “prime” (\(^{\prime}\)) para denotar todas las cantidades en este marco de referencia. En resumen, tenemos

\ [K_ {s y s, i} ^ {\ prime} =\ frac {1} {2} m_ {1}\ izquierda (v_ {1 i} ^ {\ prime}\ derecha) ^ {2} +\ frac {1} {2} m_ {2}\ izquierda (v_ {2 i} ^ {\ prime}\ derecha) ^ {2} =\ frac {1} {2} (80\:\ mathrm {kg}) \ veces\ izquierda (1.5 \ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ derecha) ^ {2} +\ frac {1} {2} (90\: \ mathrm {kg})\ veces\ izquierda (-3.5\: \ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ derecha) ^ {2} =641.3\:\ mathrm {J} \ label {eq:4.25}\]

\ [K_ {c m} ^ {\ prime} =\ frac {1} {2}\ izquierda (m_ {1} +m_ {2}\ derecha)\ izquierda (v_ {c m} ^ {\ prime}\ derecha) ^ {2} =\ frac {1} {2} (170\:\ mathrm {kg})\ izquierda (0.353 \:\ frac\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}} -1.5\: \ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ derecha) ^ {2} =111.8\ mathrm {J}\: \ label {eq:4.26}\]

\ [K_ {\ text {conv, i}} ^ {\ prime} =K_ {s y s, i} ^ {\ prime} -K_ {c m} ^ {\ prime} =641.3\: \ mathrm {J} -111.8\:\ mathrm {J} =529.5\:\ mathrm {J}\ simeq 529\: \ mathrm {J}\ etiqueta {eq:4.27}\]

Esto demuestra explícitamente que la energía convertible, como señalé anteriormente en este capítulo, ¡es la misma en cada marco de referencia! (La igualdad es exacta, si mantienes suficientes decimales en el cálculo).

Sabiendo esto, podemos simplificar el cálculo de la energía cinética final, después de la separación explosiva: la energía convertible\(K^{\prime}_{conv,f}\),, será la misma que en el marco de referencia terrestre, es decir, 21.2 J, y la energía cinética total será\ (K^ {\ prime} _ {sys, f} = K^ {\ prime} _cm + K^ {\ prime} _ {conv, f}\) = 111.8 J +21.2 J = 133 J.

Entonces, en este marco de referencia, tenemos (a tres cifras significativas):

\ begin {aligned}
K_ {s y s, i} ^ {\ prime} =641\:\ mathrm {J},\ quad K_ {c m} ^ {\ prime} =112 \:\ mathrm {J},\ quad K_ {\ text {conv, i}} ^ {\ prime} =529\:\ mathrm {J} quad &\ text {(antes de la colisión)}\\
K_ {s y s} ^ {\ prime} =K_ {c m} ^ {\ prime} =112\:\ mathrm {J},\ quad K_ {c o n v} ^ {\ prime} =0\ quad &\ text {(justo después de la colisión) }\\
K_ {s y s, f} ^ {\ prime} =133\:\ mathrm {J},\ quad K_ {c m} ^ {\ prime} =112 \:\ mathrm {J},\ quad K_ {c o n v, i} ^ {\ prime} =21.2\: \ mathrm {J}\ quad &\ text {(después de la separación)}
\ end {alineado}

Entonces, aunque la energía cinética total sea diferente en los dos marcos de referencia, todos los observadores (inerciales) estarán de acuerdo en cuanto a la cantidad de energía cinética “perdida” en la colisión, así como la cantidad de energía cinética puesta de nuevo en el sistema por los jugadores empujándose unos a otros.