10.3: En Resumen

1. En la teoría de la gravedad de Newton, dos partículas de masas inerciales\(m_1\) y\(m_2\), separadas por una distancia\(r_{12}\), ejercen una fuerza gravitacional una sobre la otra que es atractiva, a lo largo de la línea que une las dos partículas, y tiene magnitud\(F^G_{12} = F^G_{21} = Gm_1m_2/r^2_{12}\), con\(G\) = 6.674 × 10 ⁻¹¹ m ³ kg ⁻¹ s ⁻².
2. La fuerza gravitacional entre dos objetos extendidos se encuentra sumando (vectorialmente) las fuerzas entre todos los pares de partículas que componen los objetos. Para los objetos con simetría esférica, el resultado tiene la misma forma que el anterior,\(r_{12}\) siendo ahora la distancia entre los centros de las esferas.
3. La energía potencial gravitacional de un sistema de dos partículas de masas\(m_1\) y\(m_2\) es\(U^G = −Gm_1m_2/r_{12}\). Para sistemas de más partículas, solo se deben sumar las energías correspondientes para todos los pares posibles. Para un par de esferas, se puede usar el mismo resultado que para dos partículas, siempre y cuando a una no le interese la autoenergía gravitacional de las esferas.
4. Las expresiones dadas anteriormente para\(F^G\) y\(U^G\) reducen, respectivamente, a\(mg\) y\(mgy+C\) (donde\(C\) es una constante sin importancia) cerca de la superficie de la tierra, a una buena aproximación, siempre que la distancia\(y\) a la superficie sea mucho menor que el radio de la tierra, \(R_E\). Si\(M_E\) es la masa de la tierra, uno tiene\(g = GM_E/R^2_E\).
5. Una buena primera aproximación a muchos problemas astronómicos se obtiene considerando el movimiento de una partícula (o esfera) de masa\(m\) bajo la atracción gravitacional de un objeto (también tratado como una partícula o esfera) de masa mucho mayor\(M\), que se supone que no se mueve en absoluto. Esto a veces se llama el problema Kepler.
6. Las soluciones al problema Kepler son de dos tipos, dependiendo de la energía total del sistema\(E\): órbitas enlazadas, elípticas (incluyendo círculos como caso especial), si\(E\) < 0; y trayectorias hiperbólicas no enlazadas, si\(E\) > 0. La trayectoria especial obtenida cuando\(E\) = 0 es una parábola.
7. Para las órbitas elípticas, se tiene\(E = −GMm/2a\), donde están\(a\) los ejes semimajores de la elipse. El objeto de gran masa no está en el centro, sino en uno de los focos de la elipse. La distancia desde el foco al centro es igual a\(ea\), donde\(e\) se llama la excentricidad de la elipse.
8. La velocidad de escape de un objeto ligado gravitacionalmente a una masa\(M\), a una\(r_i\) distancia del centro de esa masa, se obtiene estableciendo la energía total del sistema igual a cero. Es la velocidad que el objeto necesita para poder simplemente escapar al “infinito” y “detenerse ahí” (matemáticamente,\(v \rightarrow 0\) as\(r \rightarrow \infty\), lo que hace\(E = K + U^G = 0\)).
9. El momento angular de una partícula en una trayectoria Kepler (círculo, elipse, parábola o hipérbola), relativo al punto donde\(M\) se ubica la gran masa, es constante. Para una energía dada, las órbitas con menor momento angular son más excéntricas.
10. Una consecuencia de la conservación del momento angular es la segunda ley de Kepler, o “ley de áreas”: El vector de posición del objeto en órbita (con el origen en la ubicación de la masa grande), barre áreas iguales en tiempos iguales.
11. El cuadrado del periodo orbital de cualquier objeto en una órbita elíptica Kepler es proporcional al cubo del eje semimajor de la elipse. Esta es la tercera ley de Kepler. Específicamente, se encuentra, a partir de la teoría de Newton,\(T^2 = (4\pi^2/GM)a^3\).
12. De acuerdo con el principio de equivalencia de Einstein, una aceleración constante\(a\) de un marco de referencia es experimentada por cada objeto en ese marco de referencia como un “peso extra”, o fuerza gravitacional, igual a\(−ma\) (es decir, de magnitud\(ma\) y en la dirección opuesta a la aceleración).