10.6: Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que disparas un proyectil directamente desde el Polo Norte de la Tierra con una velocidad de 10.5 km/s Ignorar la resistencia del aire.

1. ¿A qué distancia del centro de la Tierra se eleva el proyectil? ¿Qué tan alto está eso por encima de la superficie de la Tierra? (El radio de la Tierra es\(R_E\) = 6.37 × 10 ⁶ m, y la masa de la Tierra es\(M\) = 5.97 × 10 ²⁴ kg.)
2. ¿Qué tan diferente es el resultado que obtuviste en la parte (a) anterior de lo que habrías obtenido si hubieras tratado la fuerza gravitacional de la Tierra como una constante (independiente de la altura), como lo hicimos en capítulos anteriores?
3. Usando la expresión correcta para la energía potencial gravitacional, ¿cuál es la energía total del sistema Proyectil-Tierra, si la masa del proyectil es de 1.000 kg?
   
   Ahora supongamos que el proyectil se dispara horizontalmente en su lugar, con la misma velocidad. ¡Esta vez, en realidad entra en órbita! (Bueno, lo haría, si pudieras descuidar cosas como la resistencia aérea, y montañas y cosas así. Supongamos que sí, de todos modos, y responde las siguientes preguntas:)
   
4. ¿Cuál es el momento angular del proyectil alrededor del centro de la Tierra?
5. ¿A qué distancia del centro de la Tierra llega esta vez? (Necesitarás usar conservación de energía e impulso angular para responder a esta, a menos que puedas pensar en un atajo...)
6. Dibuja un boceto de la Tierra y la trayectoria del proyectil.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Se quiere poner un satélite en una órbita geosincrónica alrededor de la tierra. (Esto significa que el asteroide tarda 1 día en completar un giro alrededor de la tierra).

1. ¿A qué altura por encima de la superficie necesitas colocarla?
2. ¿Qué tan rápido se mueve?
3. ¿Cómo se compara la respuesta a (b) con la velocidad de escape de la tierra, para un objeto a esta altura?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Supongamos que un día los astrónomos descubren un nuevo asteroide que se mueve en una órbita muy elíptica alrededor del sol. En el punto de aproximación más cercano (perihelio), el asteroide se encuentra a 1.61 × 10 a ⁸ km del (centro del) sol, y su velocidad es de 38.9 km/s.

1. ¿Cuál es la velocidad de escape del sol a esta distancia? La masa del sol es de 2 × 10 ³⁰ kg.
2. Los astrónomos estiman la masa del asteroide como 10 ¹² kg. ¿Cuál es su energía cinética en el perihelio?
3. ¿Cuál es la energía potencial gravitacional del sistema sol-asteroide en el perihelio?
4. ¿Cuál es la energía total del sistema sol-asteroide? ¿Es positivo o negativo? ¿Esto es consistente con la suposición de que la órbita es una elipse? ¿Qué significaría una energía total positiva?
5. En el perihelio, el vector de velocidad del asteroide es perpendicular a su vector de posición (dibujado del sol). ¿Cuál es entonces su momento angular?
6. Dibuja un boceto de una órbita elíptica. En tu boceto, indica (1) el eje semimajor, y (2) cualitativamente, dónde podría estar el sol.
7. El punto en su órbita donde el asteroide está más alejado del sol se llama afelio. Utilice la conservación de energía y el momento angular para determinar la distancia del asteroide al sol en el afelio. (Pista: si resolver ecuaciones simultáneas no te gusta, hay una fórmula en este capítulo que puedes usar para responder a esta pregunta con bastante rapidez, en base a algo que ya has calculado.)
8. ¿Qué tan rápido se mueve el asteroide en el afelio?

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

La masa de la luna es de 7.34 × 10 ²² kg, y su radio es de aproximadamente 1.74 × 10 ⁶ m.

1. ¿Cuál es el valor de “\(g_{moon}\)”, es decir, la aceleración de la gravedad para un objeto que cae cerca de la superficie de la luna?
2. ¿Cuál es la velocidad de escape (de la luna) para un objeto en la superficie de la luna?
3. ¿Cuál es la velocidad de escape de la tierra para un objeto que está tan lejos de la tierra como la órbita de la luna?
4. En algún punto entre la tierra y la luna, un objeto sería tirado con igual fuerza hacia ambos cuerpos. ¿Qué tan lejos de la tierra está ese punto?

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

El 17 de agosto de 2017, el observatorio LIGO reportó la detección de ondas gravitacionales a partir de la fusión de dos estrellas de neutrones. Las estrellas de neutrones son extremadamente densas (“una cucharadita de material de estrella de neutrones tiene una masa de alrededor de mil millones de toneladas”) y muy pequeñas, de solo unos 10 o 20 km de diámetro. Se estimó que las estrellas estaban separadas unos 300 km cuando la señal de fusión se hizo detectable.

Empecemos un poco antes de eso. Supongamos que las estrellas tienen la misma masa,\(M\) = 2.6 × 10 ³⁰ kg (aproximadamente 1.3 veces la masa del sol), y están separadas (distancia centro a centro) por 1000 km. Se tiran el uno del otro gravitacionalmente, y como resultado cada uno se mueve en una órbita circular alrededor de su centro de masa común. ¿Cuál es entonces (a) su periodo de revolución, y (b) su velocidad? (Pista: ¿cuál es la fuerza centrípeta en este caso?)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

1. Considera dos posibles órbitas circulares para un satélite alrededor de un planeta, con radios\(R_1\) y\(R_2\). Si\(R_1 < R_2\), ¿cuál de las dos órbitas tiene (i) la mayor energía total y (ii) el mayor momento angular total? Explique.
2. Para un objeto en órbita circular alrededor de un planeta, ¿cómo se compara la velocidad orbital con la velocidad de escape de la misma órbita?

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

La distancia de Júpiter al sol es de 5.2 unidades astronómicas. ¿Cuánto tiempo tarda Júpiter en completar una órbita alrededor del sol, en años terrestres? (¡No lo busques! Necesitas mostrar cómo puedes calcularlo usando lo que has aprendido en este capítulo.)