13.6: Ejemplos

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Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Calorimetry

El calor específico del aluminio es de 900 J/kg·k, y el del agua es 4186 J·K. Supongamos que se deja caer un bloque de aluminio de masa 1 kg a una temperatura de 80\(^{\circ}\) C en un litro de agua (que también tiene una masa de 1 kg) a una temperatura de 20\(^{\circ}\) C. Cuál es la temperatura final del sistema, suponiendo que no haya intercambio de calor con el ambiente se lleva a cabo? ¿Cuánta energía pierde el aluminio/gana el agua?

Solución

Llamemos a\(T_{Al}\) la temperatura inicial del aluminio,\(T_{water}\) la temperatura inicial del agua y\(T_f\) su temperatura común final. La energía térmica desprendida por el aluminio es igual\(\Delta E_{Al} = C_{Al}(T_f − T_{Al})\) (esto se desprende de la definición (13.2.1) de capacidad calorífica; igualmente bien podríamos llamar a esta cantidad “el calor desprendido por el aluminio”). De la misma manera, el cambio de energía térmica del agua (calor absorbido por el agua) es igual\(\Delta E_{water} = C_{water}(T_f −T_{water})\). Si el sistema total está cerrado, la suma de estas dos cantidades, cada una con su signo apropiado, debe ser cero:

\[ 0=\Delta E_{\mathrm{Al}}+\Delta E_{\mathrm{water}}=C_{\mathrm{Al}}\left(T_{f}-T_{\mathrm{Al}}\right)+C_{\mathrm{water}}\left(T_{f}-T_{\mathrm{water}}\right) \label{eq:13.20} .\]

Esta ecuación para\(T_f\) tiene la solución

\[ T_{f}=\frac{C_{\mathrm{Al}} T_{\mathrm{Al}}+C_{\mathrm{water}} T_{\mathrm{water}}}{C_{\mathrm{Al}}+C_{\mathrm{water}}} \label{eq:13.21} .\]

Como puede ver, el resultado es un promedio ponderado de las dos temperaturas iniciales, con las capacidades caloríficas correspondientes como factores de ponderación.

\(C\)Las capacidades de calor son iguales a los calores específicos dados multiplicados por las masas respectivas. En este caso, la masa de aluminio y la masa del agua son las mismas, por lo que cancelarán en el resultado final. También, podemos usar las temperaturas en grados Celsius, en lugar de Kelvin. Esto no es inmediatamente obvio a partir de la expresión final (\ ref {eq:13.21}), pero si miras (\ ref {eq:13.20}) verás que implica solo diferencias de temperatura, y esas tienen el mismo valor en las escalas Kelvin y Celsius.

Sustituyendo los valores dados en (\ ref {eq:13.21}), entonces, obtenemos

\[ T_{f}=\frac{900 \times 80+4186 \times 20}{900+4186}=30.6^{\circ} \mathrm{C} \label{eq:13.22} .\]

Esto está mucho más cerca de la temperatura inicial del agua, como se esperaba, ya que tiene la mayor capacidad calorífica. La cantidad de calor intercambiado es

\[ C_{\text {water }}\left(T_{f}-T_{\text {water }}\right)=4186 \times(30.6-20)=44,440 \: \mathrm{J}=44.4 \: \mathrm{kJ} \label{eq:13.23} .\]

Entonces, 1 kg de aluminio desprende 44.4 kJ de energía térmica y su temperatura baja casi 50\(^{\circ}\) C, de 80\(^{\circ}\) C a 30.6\(^{\circ}\) C, mientras que 1 kg de agua absorbe la misma cantidad de energía térmica y su temperatura solo sube alrededor de 10.6\(^{\circ}\) C.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Equipartition of energy

Estimar la velocidad de una molécula de oxígeno en el aire a temperatura ambiente (aproximadamente 300 K).

Solución

Recordemos que en la Sección 13.2 mencioné que la energía cinética traduccional promedio de una molécula en un sistema a una temperatura\(T\) es\(\frac{3}{2}k_{B}T\) (Ecuación (13.2.7)\(k_B\), donde, la constante de Boltzmann, es igual a 1.38 × 10 ⁻²³ J/K.\(T\) K, una molécula de oxígeno (o de cualquier otra cosa, para el caso) debería tener, en promedio, una energía cinética de

\[ \left\langle K_{\text {trans}}\right\rangle=\frac{3}{2} k_{B} T=\frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300 \: \mathrm{J}=6.21 \times 10^{-21} \: \mathrm{J} \label{eq:13.24} .\]

Ya que\(K = \frac{1}{2}mv^2\), podemos averiguar el valor promedio de\(v^2\) si conocemos la masa de una molécula de oxígeno. Esto es algo que puedes buscar, o derivar así: Un mol de átomos de oxígeno tiene una masa de 16 gramos (16 es el número de masa atómica del oxígeno) y contiene el número de átomos de Avogadro, 6.02 × 10 ²³. Entonces un solo átomo tiene una masa de 0.016 kg/6.02 × 10 ²³ = 2.66 × 10 ⁻²⁶ kg. Una molécula de oxígeno contiene dos átomos, por lo que tiene el doble de masa,\(m\) = 5.32 × 10 ⁻²⁶ kg. Entonces,

\[ \left\langle v^{2}\right\rangle=\frac{2\left\langle K_{\text {trans}}\right\rangle}{m}=\frac{2 \times 6.21 \times 10^{-21} \: \mathrm{J}}{5.32 \times 10^{-26} \: \mathrm{kg}}=2.33 \times 10^{5} \: \frac{\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{s}^{2}} \label{eq:13.25} .\]

La raíz cuadrada de esto nos dará lo que se llama la velocidad “raíz cuadrática media”, o\(v_{rms}\):

\[ v_{r m s}=\sqrt{2.33 \times 10^{5} \: \frac{\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{s}^{2}}}=483 \: \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \label{eq:13.26} .\]

Esto es del mismo orden de magnitud que (pero mayor que) la velocidad del sonido en el aire a temperatura ambiente (aproximadamente 340 m/s, como recordará del Capítulo 12).