6A: Movimiento unidimensional (movimiento a lo largo de una línea): definiciones y matemáticas

Un error que a menudo se comete en problemas de movimiento lineal que involucran aceleración, es usar la velocidad al final de un intervalo de tiempo como si fuera válida para todo el intervalo de tiempo. El error surge en problemas de aceleración constante cuando la gente intenta usar la definición de velocidad promedio$\bar{v}=\dfrac{\triangle x}{\triangle t}$ en la solución. A menos que se le pregunte específicamente sobre la velocidad promedio, nunca necesitará usar esta ecuación para resolver un problema de física. Evita usar esta ecuación, solo te meterá en problemas. Para problemas de aceleración constante, utilice el conjunto de ecuaciones de aceleración constante que se le proporcionan.

Aquí consideramos el movimiento de una partícula a lo largo de una línea recta. La partícula puede acelerar y ralentizar y puede avanzar o retroceder pero no sale de la línea. Si bien la discusión es sobre una partícula (un objeto ficticio que en cualquier instante en el tiempo se encuentra en un punto en el espacio pero no tiene extensión en el espacio, sin ancho, alto, largo o diámetro) también se aplica a un cuerpo rígido que se mueve a lo largo de una trayectoria lineal sin girar, porque en tal caso, cada partícula del cuerpo sufre un mismo movimiento. Esto significa que podemos recoger una partícula en el cuerpo y cuando hemos determinado el movimiento de esa partícula, hemos determinado el movimiento de todo el cuerpo rígido.

Entonces, ¿cómo caracterizamos el movimiento de una partícula? Empecemos definiendo algunas variables:

• $t$: Cuánto tiempo$t$ ha transcurrido desde algún tiempo inicial. El tiempo inicial a menudo se conoce como “el inicio de las observaciones” y aún más a menudo se le asigna el valor$0$. Nos referiremos a la cantidad de tiempo$t$ que ha transcurrido desde el tiempo cero como la lectura del cronómetro. Un intervalo de tiempo$\triangle t$ (para ser leído “delta$t$”) se puede denominar entonces como la diferencia entre dos lecturas del cronómetro.
• $x$: Donde el objeto está a lo largo de la línea recta. Para especificar la posición de un objeto en una línea, hay que definir una posición de referencia (la línea de inicio) y una dirección hacia delante. Habiendo definido una dirección hacia adelante, se entiende que la dirección hacia atrás es la dirección opuesta. Es convencional usar el símbolo$x$ para representar la posición de una partícula. Los valores que$x$ pueden tener, tienen unidades de longitud. La unidad SI de longitud es el metro. (SI significa “Systeme International”, el sistema internacional de unidades). El símbolo para el medidor es$m$. La cantidad física$x$ puede ser positiva o negativa donde se entiende que una partícula que se dice que está menos cinco metros adelante de la línea de inicio (más concisamente expresada como$x=−5m$) está en realidad cinco metros detrás de la línea de inicio.
• $v$: Qué tan rápido y en qué dirección va la partícula, la velocidad del objeto. Debido a que estamos considerando un objeto que se mueve sólo a lo largo de una línea, la parte de “qué camino” es hacia adelante o hacia atrás. Como solo hay dos opciones, podemos usar un signo algebraico (“+” o “−”) para caracterizar la dirección de la velocidad. Por convención, se usa un valor positivo de velocidad para un objeto que se mueve hacia adelante, y un valor negativo se usa para un objeto que se mueve hacia atrás. La velocidad tiene magnitud y dirección. La magnitud de una cantidad física que tiene dirección es lo grande que es esa cantidad, independientemente de su dirección. Entonces, la magnitud de la velocidad de un objeto es la rapidez con la que vaya ese objeto, independientemente de la dirección que vaya. Considera un objeto que tiene una velocidad de$5 m/s$. La magnitud de la velocidad de ese objeto es$5 m/s$. Consideremos ahora un objeto que tenga una velocidad de$−5 m/s$. (Va hacia atrás en$5 m/s$.) La magnitud de su velocidad es también$5 m/s$. Otro nombre para la magnitud de la velocidad es la velocidad. En ambos casos que se acaban de considerar, la velocidad del objeto es$5 m/s$ a pesar de que en un caso la velocidad fue$−5 m/s$. Para entender la parte de “qué tan rápido”, solo imagina que el objeto cuyo movimiento está en estudio tiene incorporado un velocímetro. La magnitud de la velocidad, también conocido como la velocidad del objeto, es simplemente la lectura del velocímetro.
• $a$: A continuación tenemos la pregunta de qué tan rápido y de qué manera está cambiando la velocidad del objeto. A esto lo llamamos la aceleración del objeto. Instrumentalmente, la aceleración de un automóvil está indicada por la rapidez y en qué dirección se mueve la punta de la aguja del velocímetro. En un automóvil, se determina por qué tan abajo se presiona el pedal del acelerador o, en el caso de un automóvil que se está desacelerando, qué tan fuerte está presionando el conductor sobre el pedal del freno. En el caso de un objeto que se está moviendo a lo largo de una línea recta, si el objeto tiene alguna aceleración, entonces la velocidad del objeto está cambiando.

Bien, tenemos las cantidades utilizadas para caracterizar el movimiento. Pronto vamos a desarrollar algunas relaciones útiles entre esas variables. Mientras estamos haciendo eso, quiero que tengas estas cuatro cosas en mente:

1. Estamos hablando de un objeto que se mueve a lo largo de una línea.
2. Estar en movimiento significa que tu posición cambie con el tiempo.
3. Ya tienes una comprensión intuitiva de qué es la velocidad instantánea porque has montado en un auto. Conoces la diferencia entre ir 65 mph y 15 mph y sabes muy bien que ni tienes que recorrer 65 millas ni viajar una hora para ir a 65 mph. De hecho, es completamente posible que tengas una velocidad de 65 mph por solo un instante (sin intervalo de tiempo en absoluto, es lo rápido que vas (cuál es la lectura de tu velocímetro) en ese instante. Sin duda, la aguja del velocímetro puede estar simplemente “balanceándose” a través de esa lectura, tal vez porque estás en el proceso de acelerar hasta 75 mph desde alguna velocidad por debajo de 65 mph, pero la velocidad de 65 mph todavía tiene significado y aún se aplica a ese instante cuando la lectura del velocímetro es de 65 mph. Toma este concepto de velocidad con el que estás tan familiarizado, tacha alguna información direccional, que para el movimiento en una línea solo significa, especifica “hacia adelante” o “hacia atrás”; y tienes lo que se conoce como la velocidad instantánea del objeto cuyo movimiento está en consideración.

Mucha gente dice que la velocidad de un objeto es lo lejos que viaja ese objeto en cierta cantidad de tiempo. ¡No! Eso es una distancia. La velocidad es una tarifa. La velocidad nunca es hasta qué punto, es lo rápido que es. Entonces, si quieres relacionarlo con una distancia podrías decir algo como: “La velocidad es lo que multiplicas por una cierta cantidad de tiempo para determinar hasta dónde llegaría un objeto en esa cantidad de tiempo si la velocidad permaneciera igual durante toda esa cantidad de tiempo”. Por ejemplo, para un automóvil con una velocidad de 25 mph, se podría decir que 25 mph es lo que multiplica por una hora para determinar hasta dónde llegaría ese auto en una hora si mantenía una velocidad constante de 25 mph durante toda la hora. Pero, ¿por qué explicarlo en términos de posición? Es una tarifa. Es lo rápido que cambia la posición del objeto. Si estás parado en una esquina de calle y un auto te pasa yendo 35 mph, apuesto a que si te pido que estimes la velocidad del auto lo conseguirías justo dentro de las 5 mph de una manera u otra. Pero si estuviéramos mirando por encima de un paisaje en un día con visibilidad ilimitada y te pedí que juzgaras la distancia a una montaña que estaba a 35 millas de distancia con solo mirarla, creo que las probabilidades estarían muy en contra de que lo hicieras bien dentro de 5 millas. En un caso como ese, tienes una mejor idea de “qué tan rápido” que por “hasta dónde”. Entonces, ¿por qué definir la velocidad en términos de distancia cuando solo se puede decir que la velocidad de un objeto es lo rápido que va?

4. Ya tienes una comprensión intuitiva de lo que es la aceleración. Has estado en un auto cuando estaba acelerando. Ya sabes lo que se siente al acelerar gradualmente (pequeña aceleración) y sabes lo que se siente al acelerar rápidamente (grande, “pedalto el-metal”, aceleración).

Bien, aquí viene el análisis. Tenemos una línea de inicio ($x=0$) y una dirección positiva (es decir, al revés es la dirección negativa).

Considera una partícula móvil que está en la posición x ₁ cuando el reloj lee t ₁ y en la posición x ₂ cuando el reloj lee t ₂.

El desplazamiento de la partícula es, por definición, el cambio en la posición ∆x =x ₂ −x ₁ de la partícula. La velocidad promedio$bar{v}$ es, por definición, $$\bar{v}=\dfrac{\triangle x}{\triangle t}$$

donde ∆t = t ₂ −t ₁ es el cambio en la lectura del reloj. Ahora bien, la velocidad promedio no es algo para lo que uno esperaría que tuvieras una comprensión intuitiva, como lo haces en el caso de la velocidad instantánea. La velocidad promedio no es algo que se pueda leer en el velocímetro, y francamente, normalmente no es tan interesante como la velocidad real (instantánea), pero es fácil de calcular y podemos asignarle un significado (aunque un significado hipotético). Es la velocidad constante a la que la partícula tendría que viajar si iba a sufrir el mismo desplazamiento ∆x = x ₂ −x ₁ en el mismo tiempo ∆t = t ₂ −t ₁ a velocidad constante. La importancia de la velocidad promedio en esta discusión radica en que facilita el cálculo de la velocidad instantánea.

Calcular la velocidad instantánea en el caso de una velocidad constante es fácil. Mirando lo que queremos decir con velocidad promedio, es obvio que si la velocidad no está cambiando, la velocidad instantánea es la velocidad promedio. Entonces, en el caso de una velocidad constante, para calcular la velocidad instantánea, todo lo que tenemos que hacer es calcular la velocidad promedio, utilizando cualquier desplazamiento con su intervalo de tiempo correspondiente, que queramos. Supongamos que tenemos datos de posición vs. tiempo en, por ejemplo, un automóvil que recorre una trayectoria recta a 24 m/s.

Aquí hay algunos datos ficticios idealizados para tal caso.

Número de lectura de datos	Veces [segundo]	Posición [metro]
0	0.00	0.0
1	0.100	2.30
2	1.0	23.0
3	10.0	230
4	100.0	2300

Recuerde, el velocímetro del automóvil siempre está leyendo 24 m/s. (Debe quedar claro que el auto ya se estaba moviendo ya que cruzó la línea de salida en el tiempo cero; piense en el tiempo cero como el instante en que se arrancó un cronómetro y los tiempos en la tabla como lecturas de cronómetro). La posición es la distancia hacia delante de la línea de salida.

Tenga en cuenta que para este caso especial de velocidad constante, obtiene la misma velocidad promedio, el valor conocido de velocidad constante, sin importar el intervalo de tiempo que elija. Por ejemplo, si elige el intervalo de tiempo de 1.00 segundos a 10.0 segundos:

$\bar{v}=\dfrac{\triangle x}{\triangle t}$(Velocidad media)

$$\bar{v}=\dfrac{x_3-x_2}{t_3-t_2}$$

$$\bar{v}=\dfrac{230m-23.0m}{10.0s-1.0s}$$

$$\bar{v}=23.0\dfrac{m}{s}$$

y si elige el intervalo de tiempo de 0.100 segundos a 100.0 segundos:

$$\bar{v}=\dfrac{\triangle x}{\triangle t}$$

$$\bar{v}=\dfrac{x_4-x_1}{t_4-t_1}$$

$$\bar{v}=\dfrac{2300m-2.30m}{100s-0.100s}$$

$$\bar{v}=23.0\dfrac{m}{s}$$

Los puntos que hay que enfatizar aquí son que, si la velocidad es constante entonces el cálculo de la velocidad promedio produce la velocidad instantánea (la lectura del velocímetro, la velocidad para la que tenemos una sensación intuitiva), y cuando la velocidad es constante, no importa qué intervalo de tiempo utilices para calcular el velocidad promedio; en particular, un intervalo de tiempo pequeño funciona tan bien como un intervalo de tiempo grande.

Entonces, ¿cómo calculamos la velocidad instantánea de un objeto en algún instante cuando la velocidad instantánea cambia continuamente? Consideremos un caso en el que la velocidad aumenta continuamente. Aquí mostramos algunos datos ficticios idealizados (consistentes con la forma en que un objeto realmente se mueve) para tal caso.

Número de lectura de datos	Tiempo desde que el objeto estaba en la hora de inicio [s]	Posición (distancia por delante de la línea de inicio) [m]	Velocidad (Esto es lo que estamos tratando de calcular. Aquí hay respuestas correctas.) [m/s]
0	0	0	10
1	1	14	18
2	1.01	14.1804	18.08
3	1.1	15.84	18.8
4	2	36	26
5	5	150	50

Lo que quiero hacer con estos datos ficticios es calcular una velocidad promedio durante un intervalo de tiempo que comienza con t = 1s y comparar el resultado con la velocidad real en el tiempo t = 1s. El plan es hacer esto repetidamente, siendo cada intervalo de tiempo utilizado menor que el anterior.

Velocidad promedio de t = 1s a t = 5s:

$$\bar{v}=\dfrac{\triangle x}{\triangle t}$$

$$\bar{v}=\dfrac{x_5-x_1}{t_5-t_1}$$

$$\bar{v}=\dfrac{150m-14m}{5s-1s}$$

$$\bar{v}=34.0\dfrac{m}{s}$$

Tenga en cuenta que este valor es bastante mayor que el valor correcto de la velocidad instantánea a t = 1s (es decir, 18 m/s). Cae entre la velocidad instantánea de 18 m/s a t = 1s y la velocidad instantánea de 50 m/s a t = 5 segundos. Eso tiene sentido ya que, durante el intervalo de tiempo, la velocidad toma varios valores que para 1s < t < 5s son todos mayores de 18 m/s pero menores de 50 m/s.

Para los siguientes dos intervalos de tiempo en orden decreciente de intervalo de tiempo (cálculos no mostrados):

• Velocidad promedio de t=1 a t =2s: 22 m/s
• Velocidad promedio de t=1 a t = 1.1s: 18.4 m/s

Y para el último intervalo de tiempo, sí mostramos el cálculo

$$\bar{v}=\dfrac{\triangle x}{\triangle t}$$

$$\bar{v}=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1}$$

$$\bar{v}=\dfrac{14.1804m-14m}{1.01s-1s}$$

$$\bar{v}=18.04\dfrac{m}{s}$$

Aquí copio todos los resultados para que veas la tendencia:

• Velocidad promedio de t = 1 a t = 5 s: 34 m/s
• Velocidad promedio de t = 1 a t = 2 s: 22 m/s
• Velocidad promedio de t = 1 a t = 1.1 s: 18.4 m/s
• Velocidad promedio de t = 1 a t = 1.01 s: 18.04 m/s

Cada respuesta es mayor que la velocidad instantánea a t = 1s (es decir, 18 m/s). ¿Por qué? Porque la distancia recorrida en el intervalo de tiempo considerado es mayor de lo que hubiera sido si el objeto se moviera con una velocidad constante de 18 m/s. ¿por qué? Debido a que el objeto se está acelerando, por lo tanto, durante la mayor parte del intervalo de tiempo el objeto se mueve más rápido que 18 m/s, por lo que el valor promedio durante el intervalo de tiempo debe ser mayor de 18 m/s, pero observe que a medida que el intervalo de tiempo (que comienza en t = 1s) se hace cada vez más pequeño, la velocidad promedio a lo largo del tiempo intervalo se acerca cada vez más a la velocidad instantánea real a t = 1s. Por inducción, concluimos que si tuviéramos que usar intervalos de tiempo aún más pequeños, ya que el intervalo de tiempo que elegimos usar se hacía cada vez más pequeño, la velocidad promedio sobre ese pequeño intervalo de tiempo se acercaría cada vez más a la velocidad instantánea, de modo que cuando el intervalo de tiempo llegara ser tan pequeño como para ser prácticamente indistinguible de cero, el valor de la velocidad promedio llegaría a ser indistinguible del valor de la velocidad instantánea. Escribimos que:

$$v=\lim_{\triangle x\to 0} \dfrac{\triangle x}{\triangle t}$$

(Obsérvese la ausencia de la barra sobre la v. Esta v es la velocidad instantánea.) Esta expresión para v es, por definición, la derivada de x con respecto a t. La derivada de x con respecto a t se$\dfrac{dx}{dt}$ escribe como lo que significa que

$$v=\dfrac{dx}{dt}$$

Tenga en cuenta que, como se mencionó,$\dfrac{dx}{dt}$ es la derivada de x con respecto a t. No es alguna variable d veces x todo dividido por d por t. Se debe leer “dee ex por dee tee” o, mejor aún, “la derivada de x con respecto a t”. Conceptualmente lo que significa es, a partir de ese valor de tiempo t en el que se desea encontrar la velocidad, dejar que t cambie en una cantidad muy pequeña. Encuentra la (también muy pequeña) cantidad por la cual x cambia como resultado del cambio en t y divide el pequeño cambio en x por el pequeño cambio en t Afortunadamente, dada una función que proporciona la posición x para cualquier momento t, no tenemos que pasar por todo eso para obtener v, porque la rama de las matemáticas conocida como el cálculo diferencial nos da una manera mucho más fácil de determinar la derivada de una función que puede expresarse en forma de ecuación. Una función, en este contexto, es una ecuación que involucra dos variables, una de las cuales está completamente sola en el lado izquierdo de la ecuación, la otra de las cuales, está en una expresión matemática a la derecha. Se dice que la variable de la izquierda es una función de la variable de la derecha. Dado que actualmente estamos tratando de cómo la posición de una partícula depende del tiempo, usamos x y t como las variables en las funciones discutidas en el resto de este capítulo. En el ejemplo de una función que sigue, usamos los símbolos x _o, v _o y a para representar constantes:

x=x _o + v _o t +$\dfrac{1}{2}$ a ²

El símbolo t representa la lectura de un cronómetro en funcionamiento. Esa lectura cambia por lo que t es una variable. Para cada valor diferente de t, tenemos un valor diferente de x, por lo que x también es una variable. Algunas personas piensan que cualquier símbolo cuyo valor no esté especificado es una variable. No es así. Si sabes que el valor de un símbolo es fijo, entonces ese símbolo es una constante. No es necesario conocer el valor del símbolo para que sea una constante; solo hay que saber que está fijo. Este es el caso de x _o, v _o y a en la ecuación anterior.

Aceleración

En este punto ya sabes calcular la tasa de cambio de algo. Apliquemos ese conocimiento a la aceleración. La aceleración es la tasa de cambio de velocidad. Si estás acelerando, entonces tu aceleración es lo rápido que estás acelerando. Para obtener un valor promedio de aceleración en un intervalo de tiempo$\triangle t$, determinamos cuánto cambia la velocidad durante ese intervalo de tiempo y dividimos el cambio de velocidad por el cambio en la lectura del cronómetro. Llamando al cambio de velocidad$\triangle v$, tenemos

$$\bar{a}=\dfrac{\triangle v}{\triangle t}$$

Para obtener la aceleración en un tiempo determinado t iniciamos el intervalo de tiempo en ese tiempo t y lo convertimos en un intervalo de tiempo infinitesimal. Es decir:

$$a=\lim_{\triangle t\to 0} \dfrac{\triangle v}{\triangle t}$$

El lado derecho es, por supuesto, solo la derivada ofv con respecto a$t$:

$$a=\dfrac{dv}{dt}$$