19A: Variables de movimiento rotacional, aceleración tangencial, aceleración angular constante

Porque gran parte del esfuerzo que dedicamos a lidiar con los ángulos implica ángulos agudos, cuando vamos al extremo opuesto, por ejemplo, a ángulos de miles de grados, como solemos hacer en el caso de objetos que giran con una aceleración angular constante, uno de los errores más comunes que los humanos tendemos a make es simplemente no reconocer que cuando alguien nos pregunta; a partir del tiempo cero, cuántas revoluciones, o equivalentemente cuántas vueltas o rotaciones hace un objeto; que alguien está pidiendo el valor del desplazamiento angular$\Delta\theta$. Sin duda, normalmente calculamos$\Delta\theta$ en radianes, por lo que tenemos que convertir el resultado a revoluciones antes de informar la respuesta final, pero el número de revoluciones es simplemente el valor de$\Delta\theta$

En el último capítulo encontramos que una partícula en movimiento circular uniforme tiene aceleración centrípeta dada por ecuaciones$\ref{18-5}$ y$\ref{18-6}$:

$$a_c=\frac{v^2}{r} \quad a_c=r\omega^2$$

Es importante señalar que cualquier partícula que experimenta movimiento circular tiene aceleración centrípeta, no solo aquellas en movimiento circular uniforme (velocidad constante). Si la velocidad de la partícula (el valor de v in$a_c=\frac{v^2}{r}$) está cambiando, entonces el valor de la aceleración centrípeta está cambiando claramente. Todavía se puede calcularlo en cualquier instante en el que se conozca la velocidad de la partícula.

Si, además de la aceleración que tiene la partícula justamente porque se está moviendo en círculo, la velocidad de la partícula está cambiando, entonces la partícula también tiene alguna aceleración dirigida a lo largo (o en la dirección exacta opuesta a) la velocidad de la partícula. Dado que la velocidad es siempre tangente al círculo sobre el que se mueve la partícula, este componente de la aceleración se conoce como la aceleración tangencial de la partícula. La magnitud de la aceleración tangencial de una partícula en movimiento circular es simplemente el valor absoluto de la velocidad de cambio de la velocidad de la partícula$a_t=\left| \frac{dv}{dt} \right|$. La dirección de la aceleración tangencial es la misma que la de la velocidad si la partícula se está acelerando, y en la dirección opuesta a la de la velocidad si la partícula se está desacelerando. Recordemos que, comenzando con nuestra ecuación relacionando la posición$s$ de la partícula a lo largo del círculo con la posición angular$\theta$ de una partícula$s=r\theta$,, tomamos la derivada con respecto al tiempo para obtener la relación$v=r\omega$. Si tomamos una segunda derivada con respecto al tiempo obtenemos

$$\frac{dv}{dt}=r\frac{d\omega}{dt}$$

A la izquierda tenemos la aceleración tangencial$a_t$ de la partícula. El$\frac{d\omega}{dt}$ de la derecha es la tasa de cambio en el tiempo de la velocidad angular del objeto. La velocidad angular es la velocidad de giro, por lo que un valor distinto de cero$\frac{d\omega}{dt}$ significa que el segmento de línea imaginario que se extiende desde el centro del círculo hasta la partícula está girando más rápido o más lento a medida que pasa el tiempo. De hecho,$\frac{d\omega}{dt}$ es la velocidad a la que está cambiando la tasa de giro. La llamamos aceleración angular y usamos el símbolo$\propto$ (la letra griega alfa) para representarla. Así, la relación se$\frac{dv}{dt}=r\frac{d\omega}{dt}$ puede expresar como

$$a_t=r \propto \label{19-1}$$

Un cuerpo rígido giratorio

La caracterización del movimiento de un cuerpo rígido giratorio tiene mucho en común con el de una partícula que viaja en círculo. De hecho, cada partícula que forma un cuerpo rígido giratorio está
experimentando un movimiento circular. Pero diferentes partículas que componen el cuerpo rígido se mueven sobre círculos de diferentes radios y por lo tanto tienen velocidades y aceleraciones que difieren entre sí. Por ejemplo, cada vez que el objeto da la vuelta una vez, cada partícula del objeto va alrededor de su círculo una vez, pero una partícula alejada del eje de rotación recorre todo el círculo que es más grande que el que rodea una partícula que está cerca del eje de rotación. Para ello, la partícula alejada del eje de rotación debe estar moviéndose más rápido. Pero en una rotación del objeto, la línea desde el centro del círculo en la que se encuentra cualquier partícula del objeto, hasta la partícula, gira a través de exactamente una rotación. De hecho, las variables de movimiento angular que hemos estado utilizando para caracterizar el movimiento de una línea que se extiende desde el centro de un círculo hasta una partícula que se mueve sobre ese círculo pueden usarse para caracterizar el movimiento de un cuerpo rígido giratorio como un todo. Solo hay una velocidad de giro para todo el objeto, la velocidad angular$\omega$, y si esa tasa de giro está cambiando, solo hay una tasa de cambio de la velocidad de giro, la aceleración angular$\propto$. Para especificar la posición angular de un cuerpo rígido giratorio, necesitamos establecer una línea de referencia en el cuerpo rígido, extendiéndose alejándose de un punto en el eje de rotación en una dirección perpendicular al eje de rotación. Esta línea de referencia gira con el objeto. Su movimiento es el movimiento angular del objeto. También necesitamos un segmento de línea de referencia que se fije en el espacio, que se extienda desde el mismo punto en el eje, y lejos del eje en una dirección perpendicular al eje. Éste no gira con el objeto. Imaginando que las dos líneas hayan sido al mismo tiempo colineales, el ángulo neto a través del cual la primera línea del cuerpo rígido ha girado con relación a la línea fija es la posición angular$\theta$ del objeto.

Las ecuaciones de aceleración angular constante

Si bien físicamente, hay una gran diferencia, matemáticamente, el movimiento rotacional de un cuerpo rígido es idéntico al movimiento de una partícula que solo se mueve a lo largo de una línea recta. Como en el caso del movimiento lineal, tenemos que definir una dirección positiva. Somos libres de definir la dirección positiva de la manera que queramos para un problema dado, pero tenemos que apegarnos a esa definición a lo largo del problema. Aquí, establecemos un punto de vista a cierta distancia del cuerpo rígido giratorio, pero sobre el eje de rotación, y establecemos que, desde ese punto de vista, en sentido antihorario es el sentido positivo de rotación, o alternativamente, que en sentido horario es el sentido positivo de rotación. Cualquiera que sea la forma que escojamos como positiva, será el sentido positivo de rotación para el desplazamiento angular (cambio en la posición angular), la velocidad angular, la aceleración angular y la posición angular en relación con la línea de referencia que se fija en el espacio. A continuación, establecemos un cero para la variable tiempo; imaginamos que un cronómetro se ha iniciado en algún instante que definimos como tiempo cero. Llamamos valores de posición angular y velocidad angular, en ese instante, los valores iniciales de esas cantidades.

Dados estos criterios, tenemos la siguiente tabla de cantidades correspondientes. Tenga en cuenta que una cantidad de movimiento rotacional no es de ninguna manera igual a su contraparte de movimiento lineal, simplemente juega un papel en el movimiento rotacional que es matemáticamente similar al papel desempeñado por su contraparte en el movimiento lineal.

Cantidad de movimiento lineal	Cantidad de movimiento angular correspondiente
$x$	$\theta$
$v$	$\omega$
$a$	$\propto$

La única variable que los dos tipos diferentes de movimiento sí tienen en común es la lectura del cronómetro$t$.

Recordemos que, por definición,

$$\omega=\frac{d\theta}{dt}$$

$$\mbox{and} \quad \propto= \frac{d\omega}{dt}$$

Si bien ciertamente es posible$\propto$ que sea una variable, surgen muchos casos en los que$\propto$ es una constante. Tal caso es un caso especial. El siguiente conjunto de ecuaciones de aceleración angular constante se aplica en el caso especial de aceleración angular constante: (La derivación de estas ecuaciones es matemáticamente equivalente a la derivación de las ecuaciones de aceleración lineal constante. En lugar de derivarlos de nuevo, simplemente presentamos los resultados.)

$$\theta=\theta_0+\omega_0t+\frac{1}{2} \propto t^2 \label{19-2}$$

$$\theta=\theta_0+\frac{\omega_0+\omega}{2} t \label{19-3}$$

$$\omega=\omega_0+\propto t \label{19-4}$$

$$\omega^2=\omega_0^2 +2\propto \Delta\theta \label{19-5}$$

La velocidad a la que un cabezal de aspersor gira alrededor de un eje vertical aumenta de manera constante durante los primeros 2.00 segundos de su funcionamiento de tal manera que, comenzando desde el reposo, el aspersor completa 15.0 revoluciones en sentido horario (visto desde arriba) durante esos primeros 2.00 segundos de operación. Una boquilla, en la cabeza del aspersor, a una distancia de 11.0 cm del eje de rotación del cabezal del aspersor, se debe inicialmente al oeste del eje de rotación. Encuentre la dirección y magnitud de la aceleración de la boquilla en el instante en que el cabezal del aspersor completa su segunda rotación (buena a tres cifras significativas).

Solución

Nos dicen que la velocidad de giro de la cabeza del aspersor aumenta de manera constante, lo que significa que estamos lidiando con un problema de aceleración angular constante, así, podemos usar las ecuaciones de aceleración angular constante. El hecho de que haya una aceleración angular distinta de cero significa que la boquilla tendrá alguna aceleración tangencial$\vec{a_t}$. Also, the sprinkler head is spinning at the instant in question so the nozzle will have some centripetal acceleration $\vec{a_c}$. We’ll have to find both $\vec{a_t}$ and $\vec{a_c}$ and add them like vectors to get the total acceleration of the nozzle. Let’s get started by finding the angular acceleration $\propto$. We start with the first constant angular acceleration equation (equation $\ref{19-2}$):

$$\theta= 0+ 0\cdot t+\frac{1}{2} \propto t^2$$

The initial angular velocity $\omega_0$ is given as zero. We have defined the initial angular position to be zero. This means that, at time $t = 2.00 s$, the angular position $\theta$ is $15.0 \, \mbox{rev}=15.0\space \mbox{rev}\frac{2\pi \space\mbox{rad}}{\mbox{rev}}=94.25 \mbox{rad}$.

Solving equation $\ref{19-2}$ above for $\propto$ yields:

$$\propto=\frac{2\theta}{t^2}$$

$$\propto=\frac{2(94.25 \mbox{rad})}{(2.00s)^2}$$

$$\propto=47.12 \frac{\mbox{rad}}{s^2}$$

Substituting this result into equation $\ref{19-1}$:

$$a_t= r \propto$$

gives us

$$a_t=(.110m)47.12\mbox{rad}/s^2$$

which evaluates to

$$a_t=5.18 \frac{m}{s^2}$$

Now we need to find the angular velocity of the sprinkler head at the instant it completes 2.00 revolutions. The angular acceleration $\propto$ that we found is constant for the first fifteen revolutions, so the value we found is certainly good for the first two turns. We can use it in the fourth constant angular acceleration equation (equation $\ref{19-5}$):

$$\omega^2= 0+2\propto \Delta\theta$$

where $\Delta\theta=2\space \mbox{rev}=2.00\space\mbox{rev}\frac{2\pi\space\mbox{rad}}{\mbox{rev}}=4.00\pi \space\mbox{rad}$

$$\omega=\sqrt{2\propto\Delta\theta}$$

$$\omega=\sqrt{2(94.25 \mbox{rad}/s^2)4.00\pi \mbox{rad}}$$

$$\omega=48.67 \mbox{rad}/s\label{19-6}$$

(at that instant when the sprinkler head completes its 2^nd turn)

Now that we have the angular velocity, to get the centripetal acceleration we can use equation $\ref{18-6}$:

$$a_c=r\omega^2$$

$$a_c=.110m(48.67 \mbox{rad}/s)^2$$

$$a_c=260.6 \frac{m}{s^2}$$

Given that the nozzle is initially at a point due west of the axis of rotation, at the end of 2.00 revolutions it will again be at that same point.

Now we just have to add the tangential acceleration and the centripetal acceleration vectorially to get the total acceleration. This is one of the easier kinds of vector addition problems since the vectors to be added are at right angles to each other.

From Pythagorean’s theorem we have

$$a=\sqrt{a_c^2+a_t^2}$$

$$a=\sqrt{(260.6m/s^2)^2+(5.18m/s^2)^2}$$

$$a=261m/s^2$$

From the definition of the tangent of an angle as the opposite over the adjacent:

$$tan\theta=\frac{a_t}{a_c}$$

$$\theta=tan^{-1} \frac{5.18 m/s^2}{260.6m/s^2}$$

$$\theta=1.14^{\circ}$$

Thus,

\[a=261m/s^2 \quad \mbox{at $1.14^{\circ}$ North of East}\]

Cuando la aceleración angular no es constante

La posición angular de un cuerpo giratorio que experimenta una aceleración angular constante viene dada, en función del tiempo, por nuestra primera ecuación de aceleración angular constante, ecuación$\ref{19-2}$:

$$\theta=\theta_0+\omega_0t+\frac{1}{2}\propto t^2$$

Si tomamos la ^2ª derivada de esto con respecto al tiempo, obtenemos la constante$\propto$. (Recordemos que la primera derivada produce la velocidad angular$\omega$ y eso$\propto=\frac{d\omega}{dt}$.) La expresión en el lado derecho de$\theta=\theta_0+\omega_0t+\frac{1}{2}\propto t^2$ contiene tres términos: una constante, un término con$t$ a la primera potencia, y un término con$t$ a la ^2ª potencia. Si te dan$\theta$ en términos de$t$, y no se puede reorganizar para que aparezca como uno de estos términos o como una suma de dos o los tres términos; entonces; no$\propto$ es una constante y no puedes usar las ecuaciones de aceleración angular constante. En efecto, si se le pide que encuentre la velocidad angular en un instante determinado en el tiempo, entonces querrá tomar la derivada$\frac{d\theta}{dt}$ y evaluar el resultado en la lectura del cronómetro dada. Alternativamente, si
se le pide que encuentre la aceleración angular en un instante determinado en el tiempo, entonces querrá tomar la segunda derivada$\frac{d^2\theta}{dt^2}$ y evaluar el resultado en la lectura del cronómetro dada. Se pueden hacer los argumentos correspondientes para el caso de$\omega$. Si se le da$\omega$ como una función de$t$ y no se puede hacer que la expresión “se vea como” la ecuación de aceleración angular constante$\omega=\omega_0+\propto t$ entonces no se está tratando con una situación de aceleración angular constante y no
debe usar la aceleración angular constante ecuaciones.