3.1: Trabajo

¿Cuánto trabajo necesitas hacer para mover una caja? Bueno, eso depende de dos cosas: qué tan pesada es la caja y qué tan lejos hay que moverla. Multiplica los dos, y tienes una buena medida de cuánto trabajo se requerirá. Por supuesto, el trabajo también se puede hacer en otros contextos: sacar un resorte del equilibrio o andar en bicicleta contra el viento. En cada caso, hay una fuerza y un desplazamiento. Para ser justos, solo contaremos la parte de la fuerza que está en la dirección del desplazamiento (al andar en bicicleta, no haces trabajo debido a que hay una fuerza gravitacional que te tira hacia abajo, ya que no te mueves verticalmente; haces trabajo porque hay una fuerza de arrastre debido a que te mueves por el aire). Definimos el trabajo como el producto del componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento, multiplicado por el propio desplazamiento. Calculamos este componente proyectando el vector de fuerza sobre el vector de desplazamiento, utilizando el producto punto (ver Apéndice A.1 para una introducción en la matemática vectorial):

\[W=\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{x} \label{work}\]

Tenga en cuenta que el trabajo es una cantidad escalar - tiene una magnitud pero no dirección. El trabajo se mide en Julios (J), siendo un Joule igual a un Newton por un metro.

Por supuesto, la fuerza que actúa sobre nuestro objeto no necesita ser constante en todas partes. Tomemos por ejemplo la extensión de un resorte: cuanto más se tira, más grande se vuelve la fuerza, como lo da la ley de Hooke (2.2.1). Para calcular el trabajo realizado al extender el muelle, cortamos el camino (aquí una línea recta) en muchos trozos pequeños. Para cada pieza, aproximamos la fuerza por el valor promedio sobre esa pieza, luego multiplicamos por la longitud de la pieza y la suma. En el límite de que tenemos infinitamente muchas piezas, esta aproximación se vuelve exacta, y la suma se convierte en una integral: para una dimensión, tenemos así:

\[W=\int_{x_{1}}^{x_{2}} F(x) \mathrm{d} x \label{fxdx}\]

De igual manera, el camino por el que nos movemos no necesita ser una línea recta. Si el camino consiste en múltiples segmentos rectos, en cada uno de los cuales la fuerza es constante, podemos calcular el trabajo total sumando el trabajo realizado en los diferentes segmentos. Tomando el límite a infinitamente muchos segmentos infinitesimalmente pequeños dr, en cada uno de los cuales la fuerza viene dada por el valor F (r), la suma vuelve a ser una integral:

\[W=\int_{r_{1}}^{r_{2}} F(r) \cdot \mathrm{d} r \label{frdr}\]

La ecuación (\ ref {frdr}) es la versión más general de la definición de trabajo; simplifica a (\ ref {fxdx}) para el movimiento a lo largo de una línea recta, y a (\ ref {work}) si tanto el camino es recto como la constante de fuerza ¹.

En general, el trabajo realizado depende del camino que se tome -por ejemplo, es más trabajo tomar un desvío al andar en bicicleta de casa al trabajo, asumiendo que el arrastre de aire es el mismo en todas partes. Sin embargo, en muchos casos importantes el trabajo realizado para llegar de un punto a otro depende únicamente de los puntos finales. Las fuerzas para las que esto es cierto se llaman fuerzas conservadoras. Como veremos a continuación, la fuerza ejercida por un resorte y la ejercida por la gravedad son ambas conservadoras.

A veces no nos va a interesar cuánto trabajo se hace para generar un cierto desplazamiento, sino a lo largo de una cierta cantidad de tiempo -por ejemplo, un generador genera trabajo al conseguir que algo se mueva, como una rueda o una válvula, pero normalmente no nos importan esos detalles, queremos saber cuánto trabajo puede esperar salir del generador, es decir, cuánta energía tiene. La potencia se define como la cantidad de trabajo por unidad de tiempo, o

\[P=\frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{d} t}\]

La potencia se mide en Julios por segundo, o Watts (W). Para saber cuánto trabajo realiza un motor que tiene una determinada potencia de salida, necesitamos integrar esa salida a lo largo del tiempo:

\[W=\int P \mathrm{d} t\]

¹ Si te sientes intimidado por la forma vectorial de la Ecuación (\ ref {frdr}), puede ayudar a reescribirla en términos de las magnitudes de la fuerza F (r) y el desplazamiento (infinitesimal) dr, y el ángulo\(\theta\) entre ellas. En términos de\(F= \vert F \vert\),\(dr= \vert dr \vert\) y\(\theta\), tenemos\(F \cdot dr=F \cos \theta dr\), una expresión que quizás hayas visto antes para una fuerza que no apunte en la misma dirección que el desplazamiento. Si ahora hacemos las funciones de fuerza y desplazamientos de la posición r, entonces así se convierten en la magnitud de la fuerza y el ángulo, así también podemos escribir Ecuación (\ ref {frdr}) como

\[W=\int_{\boldsymbol{r}_{1}}^{\boldsymbol{r}_{2}} F(\boldsymbol{r}) \cos \theta(\boldsymbol{r}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}\]