3.3: Energía Potencial
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Ya nos encontramos con fuerzas conservadoras en la Sección 3.1. El trabajo realizado por una fuerza conservadora es (por definición) independiente de la trayectoria; eso significa que en particular el trabajo realizado al moverse a lo largo de cualquier camino cerrado 2 debe ser cero:
\[\oint{F \cdot \mathrm{d} r}=0 \label{fdr}\]
Para una fuerza conservadora, podemos definir así una diferencia de energía potencial entre los puntos 1 y 2 como el trabajo necesario para mover un objeto del punto 1 al punto 2:
\[\Delta U_{12}=-\int_{r_{1}}^{r_{2}} F \cdot \mathrm{d} r\]
Anote el signo menos en la definición; esta es una elección, por supuesto, y verá a continuación por qué hicimos esta elección. Obsérvese también que la energía potencial se define sólo entre dos puntos. A menudo elegiremos un punto de referencia conveniente y calcularemos la energía potencial en cualquier otro punto con respecto a ese punto. El punto de referencia suele ser el origen o el infinito, si la fuerza pasa a ser cero en cualquiera de estos. Supongamos que hemos establecido tal punto, y conocemos la diferencia de energía potencial con ese punto en cualquier otro punto del espacio- esto define una función (escalar)\(U(r)\). Si ahora queremos saber la fuerza que actúa sobre una partícula en\(r\), todo lo que tenemos que hacer es tomar la derivada de\(U(r)\) - es decir, el gradiente en tres dimensiones (lo que simplifica a la derivada ordinaria en una dimensión):
\[F(r)=-\nabla U(r) \label{nablaur}\]
La ecuación\ ref {nablaur} es extremadamente útil, ya que nos da un medio para calcular la fuerza, que es una cantidad vectorial, a partir de la función de energía potencial, que es una cantidad escalar -y por lo tanto mucho más simple de trabajar. Por ejemplo, dado que las energías son escalares, simplemente se pueden agregar, como lo haremos en la siguiente sección, mientras que para las fuerzas hay que hacer adición vectorial. La ecuación\ ref {nablaur} también refleja que somos libres de elegir un punto de referencia para la energía potencial, ya que la fuerza no cambia si agregamos una constante a la energía potencial.
Energía Potencial Gravitacional
Vimos en la Sección 2.2.2 que para altitudes bajas, la fuerza gravitacional viene dada por\(F_g=mg\), donde g es un vector de magnitud constante\(g \approx 9.81 \frac{m}{s^2}\) y siempre apunta hacia abajo. Por lo tanto, la fuerza gravitacional no funciona cuando te mueves horizontalmente, y si primero te mueves hacia arriba y luego la misma cantidad hacia abajo otra vez, tampoco hace ningún trabajo neto, ya que las dos contribuciones cancelan exactamente. \(F_g\)es por lo tanto un ejemplo de una fuerza conservadora, y podemos definir y calcular la energía potencial gravitacional\(U_g\) entre un punto a la altura 0 (nuestro punto de referencia) y uno a la altura h:
\[U_{\mathrm{g}}(h)=-\int_{z=0}^{z=h} m(-g) \mathrm{d} z=m g h\]
Tenga en cuenta que al elegir un signo menos en la definición de la energía potencial, terminamos con un valor positivo de la energía aquí.
¿Qué pasa con las distancias más grandes, es decir, la ley de gravedad de Newton, Ecuación 2.2.3? Bueno, ahí las distancias se miden radialmente, por lo que cualquier movimiento perpendicular a la dirección radial no importa, y si te mueves fuera y vuelves a entrar, el trabajo neto realizado es cero, así que por el mismo razonamiento que antes volvemos a tener una fuerza conservadora. Esta fuerza se desvanece en el infinito, por lo que tiene sentido establecer eso como punto de referencia, aunque note que eso hará que nuestra energía potencial siempre sea negativa en este caso:
\[U_{\mathrm{G}}(r)=-\frac{G M m}{r}\]
donde r es la distancia entre\(m\) y\(M\), y\(M\) se sienta en el origen. Por supuesto, también podemos calcular las diferencias de potencial gravitacional entre dos distancias\(r_1\) y\(r_2\) desde\(M\):
\[\Delta U_{\mathrm{G}}\left(r_{1}, r_{2}\right)=G M m\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right)\]
Emmy Noether (1882-1935) fue un matemático alemán, quien hizo una contribución clave tanto al desarrollo del álgebra abstracta como a las ideas en la física teórica. En física, descubrió una profunda conexión entre la simetría y las leyes de conservación (ahora conocido como el teorema de Noether, considerado por muchos como el teorema más importante para el desarrollo de la física moderna): por cada simetría continua de un sistema, existe una cantidad conservada. Una simetría continua es aquella que deja un sistema invariante para una transformación dada arbitrariamente grande; por ejemplo, la rotación de un círculo bajo cualquier ángulo. Las aplicaciones del teorema de Noether incluyen la conservación de la energía (correspondiente a la invarianza bajo la traducción del tiempo, es decir, no importa dónde se establezca t=0, Sección 3.4), la conservación del impulso (invarianza bajo la traducción espacial, es decir, no importa dónde se ponga el origen, Sección 4.2) y conservación del momento angular (invarianza bajo rotación espacial, es decir, no importa en qué dirección elija su eje x, Sección 5.7). Leyes de conservación similares se encuentran en la relatividad especial y general, la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos. Desafortunadamente, incluso a principios del siglo XX, las mujeres seguían excluidas de la mayoría de los cargos académicos. Noether por lo tanto inicialmente trabajó de forma gratuita en la universidad de Erlangen, obteniendo un puesto remunerado en Göttingen en 1915 por invitación de Hilbert y Klein, quienes ambos habían sido convencidos por la calidad de su trabajo. Su fama creció a través de los años 1910 y 1920, ganando reconocimiento mundial. Debido a su ascendencia judía, fue destituida de su cargo académico por el gobierno nazi en 1933, y se mudó a Estados Unidos, donde falleció dos años después a los 53 años. Diversos institutos y programas de becas, la mayoría en Alemania, ahora se nombran en su honor.
Energía Potencial de Primavera
Al igual que la fuerza gravitacional, la fuerza de resorte Hookean (Ecuación 2.2.1) también depende solo del desplazamiento, y por el mismo razonamiento es conservadora (¿nota el patrón?). El cálculo de su energía potencial asociada es sencillo, y tomando la posición de equilibrio del resorte como punto de referencia, encontramos:
\[U_{\mathrm{s}}(x)=\frac{1}{2} k x^{2}\]
El signo menos en la Ley de Hooke nos da una energía potencial de primavera positiva. Tenga en cuenta que x significa desplazamiento aquí; ya que solo consideramos resortes unidimensionales, la versión 1D es suficiente.
Fuerzas Conservadoras Generales
En el caso de la fuerza gravitacional y de resorte era fácil razonar que tenían que ser conservadoras. También es fácil ver que la fuerza de fricción no es conservadora: si tomas un camino más largo, necesitas hacer más trabajo neto contra la fricción, que además nunca podrás recuperar como energía mecánica. Para sistemas más complicados, especialmente en tres dimensiones, puede que no sea tan fácil ver si una fuerza es conservadora. Afortunadamente, hay una prueba fácil que puedes realizar: si el rizo de una fuerza es cero en todas partes, será una fuerza conservadora, o expresada matemáticamente:
\[\nabla \times F=0 \quad \Leftrightarrow \oint F \cdot \mathrm{d} r=0 \quad \Leftrightarrow \quad F=-\nabla U\]
Es sencillo demostrar que si una fuerza es conservadora, su rizo debe desaparecer: una fuerza conservadora puede escribirse como el gradiente de alguna función escalar U (x), y\(\nabla \times \nabla U(x) = 0\) para cualquier función\(U(x)\), como puedes comprobar fácilmente por ti mismo. La prueba al revés es más complicada, y se puede encontrar en los libros de texto de mecánica avanzada.
2 El signo integral con el círculo en la Ecuación (\ ref {fdr}) representa una integral sobre un camino cerrado.