3.4: Conservación de la Energía
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\[E=K+U\]
Si todas las fuerzas en un sistema son conservadoras, se conserva la energía total en ese sistema.
Prueba. Para simplificar, veremos el caso 1D (3D va de manera similar). Conservado significa no cambiar en el tiempo, por lo que para acreditar el enunciado, solo necesitamos calcular la derivada de tiempo de E y verificar que siempre sea cero.
\[\begin{align*} \frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} t} &=\frac{\mathrm{d} K}{\mathrm{d} t}+\frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} t} \\[4pt] &=\frac{\mathrm{d}\left(\frac{1}{2} m v^{2}\right)}{\mathrm{d} t}+\frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \\[4pt] &=m v \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}-F v \\[4pt] &=-\left(F-m \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}\right) v \\ &=0 \text { by Newton's second law. } \end{align*}\]
La conservación de la energía significa que la energía total de un sistema no puede cambiar, pero por supuesto la energía potencial y cinética sí, y por la conservación de la energía total sabemos que se convierten directamente entre sí. Aprovechar este hecho nos permitirá analizar y resolver fácilmente muchos problemas en la mecánica clásica; esta ley de conservación es una herramienta inmensamente útil.
Obsérvese que la conservación de la energía no es lo mismo que el teorema trabajo-energía de la Sección 3.2. Para que se conserve la energía total, todas las fuerzas necesitan ser conservadoras. En el teorema trabajo-energía, este no es el caso.Por lo tanto, se pueden calcular los cambios en la energía cinética debido al trabajo realizado por fuerzas no conservadoras utilizando esta última.