3.E: Energía (Ejercicios)

3.1

1. Demuestre que, si ignora el arrastre, un proyectil disparado a una velocidad\(v_0\) y ángulo iniciales\(\theta\) tiene un rango R dado por
2. Un objetivo está situado a 1.5 km de un cañón a través de un campo plano. ¿Se alcanzará el objetivo si el ángulo de disparo es\(42^{\circ}\) y la bala de cañón se dispara a una velocidad inicial de 121 m/s? (Balones de cañón, como saben, no rebotan).
3. Para aumentar el alcance del cañón, lo pones en una torre de altura\(h_0\). Encuentra el rango máximo en este caso, en función del ángulo de disparo y la velocidad, asumiendo que la tierra alrededor sigue siendo plana.

3.2 Empuja una caja de masa m hacia arriba una pendiente con ángulo\(\theta\) y coeficiente de fricción cinética\(\mu\). Encuentra la velocidad inicial mínima v debes darle la caja para que alcance una altura h.

3.3 Un tablero uniforme de longitud L y masa M se encuentra cerca de un límite que separa dos regiones. En la región 1, el coeficiente de fricción cinética entre el tablero y la superficie es\(\mu _1\), y en la región 2, el coeficiente es\(\mu _2\). Nuestro objetivo es encontrar el trabajo neto W realizado por fricción al tirar del tablero directamente de la región 1 a la región 2, bajo el supuesto de que el tablero se mueve a velocidad constante.

1. Supongamos que en algún momento durante el proceso, el borde derecho del tablero está a una distancia x del límite, como se muestra. Cuando el tablero está en esta posición, ¿cuál es la magnitud de la fuerza de fricción que actúa sobre el tablero, asumiendo que se mueve hacia la derecha? Exprese su respuesta en términos de todas las variables relevantes (L, M, g, x\(\mu _1\), y\(\mu _2\)).
2. Como hemos visto en la Sección 3.1, cuando la fuerza no es constante, se puede determinar el trabajo integrando la fuerza sobre el desplazamiento,\(W= \int F(x) dx\). Integra tu respuesta de (a) para obtener el trabajo neto que necesitas hacer para sacar el tablero de la región 1 a la región 2.

3.4 El gobierno desea asegurar votos de los propietarios de automóviles aumentando el límite de velocidad en la carretera de 120 a 140 km/h La oposición señala que esto es a la vez más peligroso y provocará más contaminación. Cabilderos de la industria automovilística le dicen al gobierno que no se preocupe: los coeficientes de arrastre de los autos han bajado significativamente y su construcción es mucho más sólida que en el tiempo en que se fijó el límite de velocidad de 120 km/h.

1. Supongamos que el límite de 120 km/h se fijó con un Volkswagen Beetle (\({c_d}=0.48\)) en mente, y la cicatriz del lobbista tiene un coeficiente de arrastre de 0.19. ¿El nuevo auto necesitará hacer más o menos trabajo para mantener una velocidad constante de 140 km/h que el Beetle a 120 km/h?
2. ¿Cuál es la relación de la energía cinética total liberada en una colisión frontal completa (que resulta en una parada inmediata) entre dos autos ambos a 140 km/h y dos autos ambos a 120 km/h?
3. El gobierno desestima las objeciones de la oposición sobre la seguridad al afirmar que en la carretera, todos los automóviles se mueven en la misma dirección (los carriles de sentido opuesto están bien separados), por lo que si todos se mueven a 140 km/h, sería igual de seguro que todos a 120 km/h La oposición señala entonces que correr un Beetle ( esos todavía están alrededor) a 120 km/h ya es un reto, por lo que habría diferencias de velocidad entre los autos nuevos y los más antiguos. El gobierno afirma que la diferencia de 20 km/h no importará, ya que claramente incluso un Beetle puede sobrevivir a una colisión de 20 km/h. Explique por qué su argumento no es válido.

3.5 La fusión nuclear, el proceso que alimenta al Sol, ocurre cuando dos núcleos atómicos de baja masa se fusionan para formar un núcleo más grande, liberando energía sustancial. La fusión es difícil de lograr porque los núcleos atómicos llevan carga eléctrica positiva, y su repulsión eléctrica hace que sea difícil acercarlos lo suficiente como para que la fuerza nuclear de corto alcance los vincule en un solo núcleo. La siguiente figura muestra la curva potencial-energía para la fusión de dos deuterones (núcleos pesados de hidrógeno, consistentes en un protón y un neutrón) .La energía se mide en millones de electrón voltios (\(MeV, 1 eV=1.6 \cdot 10^{-19} J\)), una unidad comúnmente utilizada en física nuclear, y la separación es en femtómetros (\(1 fm=10^{-15} m\)).

1. Encuentra la (s) posición (es) (si la hay) en la que la fuerza entre dos deuterones es cero.
2. Encuentra la energía cinética que dos deuterones inicialmente ampliamente separados necesitan tener para acercarse lo suficiente como para fusionarse.
3. La energía disponible en fusión es la diferencia de energía entre la de los deuterones ampliamente separados y los deutrones unidos después de haber “caído” en el potencial profundo bien mostrado en la figura. ¿Qué tan grande es esa energía?
4. Determina si la fuerza entre dos deuterones separados a 4 fm es repulsiva, atractiva o cero.

3.6 Una paloma en vuelo experimenta una fuerza de arrastre debido a la resistencia del aire dada aproximadamente por\(F=bv^2\), donde v es la velocidad de vuelo y b es una constante.

1. ¿Cuáles son las unidades de b?
2. ¿Cuál es la mayor velocidad posible de la paloma si su potencia máxima de salida es P?
3. ¿En qué factor aumenta la velocidad más grande posible si se duplica la salida de potencia máxima?

3.7

1. ¿Para qué valor (s) de los parámetros\(\alpha, \beta, \text { and } \gamma\) es la fuerza dada por\[\boldsymbol{F}=\left(x^{3} y^{3}+\alpha z^{2}, \beta x^{4} y^{2}, \gamma x z\right)\] conservador?
2. Encuentra la fuerza para la energía potencial dada por\(U(x,y,z)=\frac{xy}{z}-\frac{xz}{y}\).

3.8 Una masa puntual está conectada a dos paredes opuestas por dos resortes, como se muestra en la figura. La distancia entre las paredes es de 2L. El resorte izquierdo tiene longitud de reposo\(l_1=\frac{L}{2}\) y constante de resorte\(k_1=k\), el resorte derecho tiene longitud de reposo\(l_2=\frac{3L}{4}\) y constante de resorte\(k_2=3k\).

1. Determinar la magnitud de la fuerza que actúa sobre la masa puntual si está en x=0.
2. Determinar la posición de equilibrio de la masa puntual.
3. Encuentra la energía potencial de la masa puntual en función de x. Usa el punto de equilibrio de (b) como tu punto de referencia.
4. Si la masa puntual se desplaza una pequeña distancia de su posición de equilibrio y luego se libera, oscilará. Al comparar la ecuación de la fuerza neta sobre la masa en este sistema con un simple oscilador armónico, determinar la frecuencia de esa oscilación. (Volveremos a los sistemas que oscilan alrededor del mínimo de una energía potencial en la Sección 8.1.4, siéntase libre de echar un adelanto por delante).

3.9 Un bloque de masa m=3.50 kg se desliza del reposo a una distancia d por una inclinación sin fricción en ángulo\(\theta=30.0^\circ\), donde corre hacia un resorte de constante de resorte 450 N/m. Cuando el bloque se detiene momentáneamente, ha com-presionado el resorte 25.0 cm.

1. Encuentra d.
2. ¿Cuál es la distancia entre el primer contacto bloque-resorte y el punto en el que la velocidad del bloque es mayor?

3.10 Los toboganes de juegos suelen tener secciones de pendiente variable: las más empinadas para recoger velocidad, las menos empinadas para perder velocidad, por lo que los niños (y los estudiantes) llegan al fondo de manera segura. Consideramos un tobogán con dos secciones empinadas (ángulo\(\alpha\)) y dos menos empinadas (ángulo\(\beta\)). Cada una de las secciones tiene un ancho L. La diapositiva tiene un coeficiente de fricción cinética\(\mu\).

1. Los niños comienzan en la parte superior del tobogán con velocidad cero. Calcular la velocidad de un cabrito de masa m al final de la primera sección empinada.
2. Ahora calcula la velocidad del niño en la parte inferior de toda la diapositiva.
3. Si L=1.0 m,\(\alpha=30^\circ\) y\(\mu=0.5\), encuentra el valor mínimo que\(\beta\) debe tener para que los niños de hasta 30 kg puedan disfrutar del tobogán (Pista: ¿cuál es el requisito mínimo para que la diapositiva sea funcional)?
4. Una diapositiva dada tiene\(\alpha=30^\circ\),\(\beta=20^\circ\), y\(\mu=0.5\). Un niño pequeño de 10 kg se desliza hacia abajo, mientras que su primo de 20 kg se sienta en el fondo. Cuando el niño deslizante llega al final, los dos niños chocan y juntos se deslizan más sobre el suelo. El coeficiente de fricción cinética con el suelo es de 0.70. ¿Hasta dónde se deslizan los dos niños antes de que lleguen a una parada completa?

3.11 En este problema, consideramos el potencial anarmónico dado b

\[U(x)=\frac{a}{2}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\frac{b}{3}\left(x-x_{0}\right)^{3} \label{anharmonic}\]

donde a, b, y\(x_0\) son constantes positivas.

1. Encuentra las dimensiones de a, b, y\(x_0\).
2. Determina si la fuerza sobre una partícula en una posición\(x \gt \gt x_0\) es atractiva o repulsiva (tomando el origen como tu punto de referencia).
3. Encontrar el (los) punto (s) de equilibrio (si los hay) de este potencial, y determinar su estabilidad.
4. Para b=0, el potencial dado en la Ecuación (3.24) se vuelve armónico (es decir, el potencial de un oscilador armónico), en cuyo caso oscilará una partícula que inicialmente se ubica en un punto de no equilibrio. ¿Hay valores iniciales para x para los que oscilará una partícula en este potencial anarmónico? Si es así, encuéntralos, y encuentra la frecuencia aproximada de oscilación; si no, explica por qué no. (NB: Como el problema involucra una función polinómica de tercer orden, es posible que tenga que resolver un problema de tercer orden. Cuando eso sucede, para tu respuesta puedes simplemente decir: la solución x al problema X).

3.12 Después de haber terminado con éxito su curso de mecánica, decide lanzar el libro a una órbita alrededor de la Tierra. No obstante, el maestro no está convencido de que ya no lo necesitas y hace la siguiente pregunta: ¿Cuál es la relación entre la energía cinética y la energía potencial del libro en su órbita?

Sea m la masa del libro,\(M_{\oplus} \text { and } R_{\oplus}\) la masa y el radio de la Tierra respectivamente. La atracción gravitacional a la distancia r del centro viene dada por la ley de la gravitación de Newton (Ecuación 2.2.3):

\[F_{\mathrm{g}}(r)=-G \frac{m M_{\oplus}}{r^{2}} \hat{\boldsymbol{r}}\]

1. Encuentra la velocidad orbital v de un objeto a la altura h sobre la superficie de la Tierra.
2. Expresar el trabajo requerido para obtener el libro a la altura h.
3. Calcular la relación entre la cinética y la energía potencial del libro en su órbita.
4. ¿Qué requiere más trabajo, llevar el libro a la Estación Espacial Internacional (orbitando a h=400 km) o darle la misma velocidad que la ISS?

3.13 Usando argumentos dimensionales, en el Problema 1.4 encontramos la relación de escalado de la velocidad de escape (la velocidad inicial mínima que un objeto debe tener para escapar de la atracción gravitacional del planeta/luna/otro objeto en el que está completamente) con la masa del radio del planeta. Aquí, volveremos a derivar el resultado, incluyendo el factor numérico que los argumentos dimensionales no nos pueden dar.

1. Derivar la expresión de la energía potencial gravitacional, Ug, de un objeto de masa m debido a una fuerza gravitacional\(F_g\) dada por la ley de gravitación de Newton (Ecuación 2.2.3)\[F_{\mathrm{g}}=-\frac{G m M}{r^{2}} \hat{r}\] Establecer el valor de la constante de integración por\({U_g} \rightarrow 0 \text { as } r \rightarrow \infty\)
2. Encuentra la velocidad de escape en la superficie de un planeta de masa M y radio R equiparando la energía cinética inicial de tu objeto (cuando se lanza desde la superficie del planeta) con la energía potencial gravitacional total que tiene allí.

3.14 Una bala de cañón se dispara hacia arriba desde la superficie de la Tierra con la velocidad justa suficiente para que llegue a la Luna. Encuentra la velocidad de la bala de cañón ya que choca en la superficie de la Luna, teniendo en cuenta la gravedad tanto de la Tierra como de la Luna. El Cuadro B.3 contiene los datos astronómicos necesarios.

3.15 La fuerza de tracción F (x) de un arco turco en función del desplazamiento de la cuerda del arco x (para x\ gt 0) viene dada aproximadamente por un cuadrante de la elipse\[\left(\frac{F(x)}{F_{\max }}\right)^{2}+\left(\frac{x+d}{x}\right)^{2}=1\] En reposo, la cuerda del arco está en x=0; cuando se tira hacia atrás, está en x=-d.

1. Calcular el trabajo realizado por la proa al acelerar una flecha de masa m=37 g, para d=0.85 m, y F _max =360 N.
2. Asumiendo que toda la obra se convierte en energía cinética de la flecha, encuentra la distancia máxima que puede volar la flecha.Sugerencia: ¿qué variable puedes controlar al disparar? Maximizar la distancia con respecto a esa variable.
3. Compara el resultado de (b) con el alcance de un arco que actúa como un resorte simple (Hookean) con los mismos valores de F _max y d. ¿Cuánto más lejos vuela la flecha disparada desde el arco turco que la del simple arco primaveral?

3.16 Un cilindro masivo con masa M y radio R está conectado a una pared por un resorte en su centro (ver figura) .El cilindro puede rodar de un lado a otro sin deslizarse.

1. Determinar la energía total del sistema que consiste en el cilindro y el resorte.
2. Diferenciar la energía del problema (16a) para obtener la ecuación de movimiento del sistema de cilindro y resorte.
3. Encuentre la frecuencia de oscilación del cilindro comparando la ecuación de movimiento en (16b) con la de un oscilador armónico simple (un sistema masa-resorte).

3.17 Se coloca una pequeña partícula (punto azul) sobre el centro de un monte hemisférico de hielo de radio R (ver figura). Se desliza por el costado de la montura con una velocidad inicial insignificante. Suponiendo que no haya fricción entre el hielo y la partícula, encuentre la altura a la que la partícula pierde contacto con el hielo.

Sugerencia: Para resolver este problema, primero dibuje un diagrama de cuerpo libre, y combine lo que sabe de energía y fuerzas.

3.18 Tirando de tubos de membrana

La energía (potencial) de un tubo de membrana cilíndrica de longitud L y radio R viene dada por

\[\mathscr{E}_{\text { tube }}(R, L)=2 \pi R L\left(\frac{\kappa}{2} \frac{1}{R^{2}}+\sigma\right)\]

Aquí\(\kappa\) está el módulo de flexión de la membrana y\(\sigma\) su tensión superficial.

1. Encuentre las dimensiones del módulo de flexión y la tensión superficial.
2. Encuentra las fuerzas que actúan sobre el tubo a lo largo de su dirección radial y axial.
3. Los tubos de membrana suelen ser arrastrados por motores de membrana que tiran a lo largo de la dirección axial, como se esboza en la Figura Para ese caso, sumamos el trabajo realizado por los motores a la energía total del tubo, por lo que obtenemos:\[\mathscr{E}_{\text { tube }}(R, L)=2 \pi R L\left(\frac{\kappa}{2} \frac{1}{R^{2}}+\sigma\right)-F L\] Demostrar que para un tubo estable, los motores necesitan ejercer una fuerza de magnitud\(F=2 \pi \sqrt{2 \kappa \sigma}\)
4. ¿Se puede considerar que la fuerza de (c) es una fuerza efectiva de resorte? Si es así, encuentra su constante de resorte asociada. Si no, explica por qué no.

Figura\(\PageIndex{1}\): Caricatura de motores moleculares juntos tirando de un tubo de membrana.