4.6: Colisiones totalmente inelásticas

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 129479

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Para el caso de dos partículas colisionando totalmente inelásticamente, la conservación del momento da:

\[m_{1} v_{1}+m_{2} v_{2}=\left(m_{1}+m_{2}\right) v_{\mathrm{f}}\]

Si se conocen las masas y velocidades iniciales de las partículas, calcular la velocidad final de la partícula compuesta es así sencillo.

4.6.1. Ejemplo Trabajado: Accidente de Bicicleta

Lanzas tarde a clase y está lloviendo para arrancar, así que pedaleas lo más rápido que puedas, sin prestar atención en qué dirección vas. Un compañero de clase, igualmente tarde, viene hacia ti desde una calle lateral que hace un ángulo\(\phi\) con la tuya. Cuando tus calles se cruzan, chocan entre sí, moviéndose juntos en un gran grupo de personas y bicicletas, ver Figura 4.6.1. Supongamos que eres igual de pesado, pero eres el ciclista más rápido, con inicialmente el doble de velocidad que tu compañero de clase. Encuentra la velocidad (es decir, magnitud y dirección) que tú y tu compañero tienen inmediatamente después de la colisión.

Figura\(\PageIndex{1}\): Dos ciclistas colisionantes.

Solución

Llamemos a tu masa (y a la de tu compañero) m, tu velocidad inicial 2v (así que la velocidad de tu compañero de clase es v), y tu velocidad final combinada v _f, con un ángulo\(\theta\) con tu dirección inicial. Después de la colisión te mueves como un solo objeto, por lo que la colisión es completamente inelástica. Durante la colisión tenemos conservación del impulso tanto en la dirección x como en y, lo que da:

\[0+v \sin \phi=v_{\mathrm{f}} \sin \theta \label{px}\]

\[2 v-v \cos \phi=v_{\mathrm{f}} \cos \theta \label{py}\]

Tenemos que resolver tanto para v _f como\(\theta\). Para eliminar\(\theta\), cuadramos tanto (\ ref {px}) como (\ ref {py}) y los agregamos, lo que da

\[v_{\mathrm{f}}^{2}=v^{2} \sin ^{2} \phi+v^{2}(2-\cos \phi)^{2}=v^{2}(5-4 \cos \phi)\]

o\(v_{\mathrm{f}}=v \sqrt{5-4 \cos \phi}\). Para obtener\(\theta\), dividimos (\ ref {px}) por (\ ref {py}), lo que da

Podemos comprobar fácilmente que estas respuestas tengan sentido cuando\(\phi=0\), que da\(v_f=v\) y\(\theta=0\), como debiera.