4.E: Momentum (Ejercicios)

4.1 Centros de masa celestes Decimos que la Luna orbita a la Tierra, porque la gravedad de la Tierra tira sobre la Luna, provocando que orbita. No obstante, por la tercera ley de Newton, la Luna ejerce una fuerza de regreso sobre la Tierra.Por lo tanto, la Tierra debería moverse en respuesta a la Luna. Así, una afirmación más precisa sería que la Luna y la Tierra orbitan ambos el centro de masa del sistema Tierra-Luna. Valores útiles:\(M_E =5.97 \cdot 10^{24} kg, R_E =6.37 \cdot 10^6 m, R_{E, orbit} = 1.50 \cdot 10^{11} m, M_M = 7.35 \cdot 10^{22} kg, R_M = 1.74 \cdot 10^6 m, R_{M, orbit} = 3.84 \cdot 10^{8} m, M_S=1.99 \cdot 10^{30} kg, R_S =6.96 \cdot 10^8 m\)

1. Encuentra el centro de masa del sistema Tierra-Luna (en un sistema de coordenadas apropiadamente elegido y claramente definido). ¿Este centro de masa se encuentra dentro de la Tierra?
2. Encuentra la ubicación del centro de masa del sistema Tierra-Luna-Sol durante una Luna Llena.
3. Encuentra la ubicación del centro de masa del sistema Tierra-Luna-Sol cuando la Luna está en su primer cuarto.

4.2 Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 20 m/s, en ángulo\(60^\circ\) con la horizontal. En la parte superior de la trayectoria, el proyectil explota en dos fragmentos de igual masa. Un fragmento, cuya velocidad inmediatamente después de la explosión es cero, cae al suelo verticalmente. ¿A qué distancia del arma aterriza el otro fragmento (suponiendo que no hay arrastre de aire y terreno nivelado)?

4.3 Dos balas de cañón con masas\(m_1\) y\(m_2\) se disparan simultáneamente desde dos cañones situados a una distancia L de distancia.

1. Encuentra las ecuaciones de movimiento para los componentes horizontal y vertical del vector que describe el centro de masa de las balas de cañón.
2. Demostrar que el movimiento del centro de masa es una parábola a través del espacio.

4.4 Centro de masa de algunos objetos sólidos

1. Encuentra el centro de masa de un triángulo isósceles con un ancho de base w y alto h (ver figura a).
2. Encuentra el centro de masa de un pentágono con cinco lados iguales de longitud a, pero con un triángulo faltante (ver figura b). Sugerencia: usa tu resultado de (a).
3. Encuentra la posición del centro de masa de un semicilinder (la mitad de un cilindro sólido, es decir, un cilindro sólido cortado en dos a lo largo de un plano que contiene su eje de simetría). Sugerencia: primero calcula el centro de masa de medio disco sólido.

4.5 Un perro (punto negro en el boceto a continuación) de masa m se encuentra al final de una embarcación de masa M y longitud L a una distancia inicial D de la orilla. El perro luego camina hacia el otro extremo del bote y se detiene ahí. Asumiendo que no hay fricción entre el bote y el agua, ¿a qué distancia está el perro entonces de la orilla? (HINT: ¿Qué se conserva?).

4.6 [Para opcional Sección 4.4] Cada punto en un partido de tenis protagoniza con uno de los jugadores sirviendo. El servicio más utilizado consiste en que el jugador arroje la pelota al aire y la golpee con su raqueta. Para que la pelota se mueva lo más rápido posible, los jugadores suelen balancear la raqueta para darle un gran impulso, y entregar un impulso máximo a la pelota.

La Figura 4.E.1 muestra a Serena Williams sirviendo durante los campeonatos de Wimbledon 2008. Williams es ampliamente considerado como una de las mejores tenistas femeninas y tiene el récord de más ases (anotando un punto de un saque sin que el oponente toque la pelota) por una jugadora en un torneo de Grand Slam.

Williams mide 175 cm de altura. Como se puede apreciar en la figura, en la parte superior de su trayectoria, la pelota tiene aproximadamente el doble de altura de Williams sobre el suelo. Además, como la extensión de los brazos de las personas es aproximadamente la misma que su altura, y los hombros de un adulto están a aproximadamente 5/6 de su altura, podemos estimar que los brazos de Williams miden unos 75 cm de largo y sus hombros a 145 cm sobre el suelo. La distancia entre el punto donde un jugador sostiene la raqueta y donde golpea la pelota suele ser de unos 40 cm.

Figura\(\PageIndex{1}\): Serena Williams sirviendo en los campeonatos de Wimbledon 2008 [18]

1. Encuentra la velocidad de la pelota bajando en el momento en que Williams la golpea, asumiendo que la golpea con un brazo completamente estirado hacia arriba.
2. El récord personal de Williams por velocidad de saque (velocidad de la pelota después de que fue golpeada por la raqueta) es de 207 km/h Determina el impulso que entregó con su raqueta en la pelota de tenis de 58.0 g al golpearla.
3. Asumiendo un peso típico de la raqueta de 360 g, calcula el cambio en la velocidad de la raqueta desde justo antes hasta justo después de que Williams golpeara la pelota.
4. Calcula la magnitud de la fuerza en la mano de Williams en el momento en que golpea la pelota con su raqueta.

4.7 Una bala de 2.75 g se incrusta en un bloque de 1.50 kg, el cual está unido a un resorte de fuerza constante 850 N/m. La compresión máxima del resorte es de 4.30 cm.

1. Determinar la velocidad inicial de la bala.
2. Encuentra el tiempo que tarda el sistema de bloqueo de balas en descansar.

4.8 Colisión frontal entre dos bolas Una bola de masa m tiene velocidad v cuando hace una colisión frontal con otra bola de masa M que originalmente está en reposo. Después de la colisión la bola de masa m rebota recta hacia atrás a lo largo de su trayectoria con 2/3 de su energía cinética inicial. Suponemos que la colisión es totalmente elástica.

1. Esboce la situación antes y después de la colisión, indicando las direcciones de velocidad y los valores (si se conocen, dé símbolos de otra manera).
2. Anote todas las leyes de conservación aplicables para este caso.
3. A partir de las leyes de conservación, resuelva para la masa M de la pelota que inicialmente está en reposo.
4. También resuelve por la velocidad de esa bola después de la colisión.

4.9 Una pequeña bola de masa m se alinea por encima de una bola mayor de masa M con una ligera separación, y las dos se dejan caer simultáneamente desde una altura h. Supongamos que los radios de las dos bolas y la separación inicial son insignificantes en comparación con h.

1. Si la pelota más grande rebota elásticamente desde el piso y luego la pelota pequeña rebota elásticamente de la bola más grande, ¿qué valor de m (como fracción de M) hace que la pelota más grande se detenga cuando choca con la pelota pequeña?
2. ¿Qué altura alcanza entonces la bola pequeña?