6.4: Leyes de Kepler

El hecho de que los planetas se mueven en órbitas elípticas fue descubierto por primera vez por Kepler, basándose únicamente en datos de observación (no tuvo el beneficio, como nosotros, de vivir después de Newton y así conocer la ley de la gravedad de Newton). Kepler resumió sus hechos observacionales en tres leyes, que podemos, con el beneficio de la retrospectiva, demostrar ser corolarios de las leyes de Newton.

Teorema\(\PageIndex{1}\):Kepler’s first law

Los planetas se mueven en órbitas elípticas, con el sol en uno de los focos.

Prueba

Este es el caso dos del resultado general dado por las Ecuaciones 6.3.10 y 6.3.11.

Teorema\(\PageIndex{2}\): Kepler’s second law

Un segmento de línea que une un planeta y el sol barre áreas iguales durante intervalos de tiempo iguales.

Prueba

Esta ley no es más que un caso especial de conservación del momento angular. Considera una pequeña pieza de la órbita, en la que el planeta se mueve una distancia\(\mathrm{d}x\). Las líneas que conectan los puntos inicial y final de esta pieza de órbita con el sol forman un ángulo\(\mathrm{d} \theta\). Si la distancia inicial del planeta al sol era\(r\), y la distancia final\(r + \mathrm{d} r\), tenemos, a primer orden,\(\mathrm{d}x = r \mathrm{d} \theta\). El área infinitesimal que el planeta ha deslizado está dada entonces por (área de un triángulo): dA = 1 2 r dx = 1 2 r 2 dθ. Si queremos saber cuánta área fue barrida a lo largo de una cantidad de tiempo, necesitamos conocer la derivada temporal de A, que así viene dada por\(\mathrm{d} A=\frac{1}{2} r \mathrm{d} x=\frac{1}{2} r^{2} \mathrm{d} \theta\). Ahora usando que el momento angular del planeta viene dado por\(L=m r^{2} \dot{\theta}\), encontramos

\[\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}=\frac{r^{2}}{2} \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}=\frac{L}{2 m} \label{dAdt}\]

que es constante si\(L\) se conserva.

Teorema\(\PageIndex{3}\): Kepler’s third law

El cuadrado del periodo T de una órbita es proporcional al cubo de su semieje mayor longitud a:

\[T^{2}=\frac{4 \pi^{2}}{G M_{\odot}} a^{3} \label{thrm6.4}\]

donde\(M_{\odot}\) esta la masa del sol.

prueba

Integramos la Ecuación\ ref {DAdT} durante el periodo de toda una órbita, lo que da\(A = \frac{LT}{2m}\). Según la primera ley de Kepler, la órbita es una elipse, por lo que su área es igual\(A = \pi ab\), con a y b los ejes semi-mayor y semi-menor de la elipse. Los dos ejes están relacionados por\(b=a \sqrt{1-\varepsilon^{2}}\), con\(\varepsilon\) nuevamente la excentricidad de la elipse. Haciendo estas sustituciones y cuadrando la relación resultante, obtenemos:

\[\pi^{2} a^{4}=\frac{L^{2}}{m\left(1-\varepsilon^{2}\right)} \frac{T^{2}}{4 m}\]

Usando\(k = \frac{L^2}{mα}\), como en la Ecuación 6.3.11, y la observación que para una órbita elíptica\(\frac{k}{(1−ε^2 )} = a\), obtenemos\(\frac{L^2}{m(1−ε 2 )} = \alpha a\). Ahora para las órbitas en el sistema solar\(\alpha = GM_{\odot}m\),, así llegamos a la Ecuación\ ref {thrm6.4}.

Johannes Kepler

Johannes Kepler (1571-1630) fue un astrónomo y matemático alemán que hizo importantes contribuciones para comprender el movimiento de los planetas. Copérnico había publicado su visión heliocéntrica (en lugar de geocéntrica) del universo póstumamente en 1543, pero los dos sistemas todavía estaban muy debatidos en la época de Kepler. Convencido de que Copérnico tenía razón, Kepler se propuso construir una descripción geométrica del sistema solar. Inicialmente intentó hacerlo utilizando poliedros y sólidos platónicos, pero encontró que estos no podían describir con precisión los datos. En 1600, Kepler se reunió con el astrónomo Tycho Brahe, quien había hecho minuciosas observaciones de los planetas conocidos, y, habiendo estado convencido de las habilidades de Kepler en matemáticas, compartió sus datos con él. Después de la muerte de Tycho en 1601, Kepler lo sucedió como matemático imperial en Praga, donde desarrolló sus leyes a lo largo de la siguiente década. Desafortunadamente, las opiniones calvinistas de Kepler lo metieron en problemas frecuentemente tanto con la iglesia católica como con la luterana, lo que llevó a su excummunicación, pero logró evitar nuevas persecuciones moviéndose con frecuencia, y siempre pudo continuar con su trabajo científico. La nave espacial y misión Kepler, lanzada en 2009 para cazar planetas terresciales extrasolares, recibe su nombre en su honor.

Figura\(\PageIndex{1}\): Retrato de Johannes Kepler (1610) [21].