8.2: Oscilador armónico amortiguado

Figura\(\PageIndex{1}\): Posición en función del tiempo para cuatro tipos de oscilación: sin amortiguar (\(\zeta = 0\), azul), amortiguado bajo (\(0 < \zeta < 1\), naranja), amortiguado críticamente (\(\zeta = 1\), verde) y sobreamortiguado (\(\zeta > 1\), rojo). En todos los casos las condiciones iniciales son\(x(0) = 1\) y\(v(0) = 0\).

Hasta ahora no hemos tenido en cuenta la amortiguación de nuestros osciladores armónicos, lo que por supuesto no es muy realista. La principal fuente de amortiguación para una masa en un resorte se debe al arrastre de la masa cuando se mueve a través del aire (o cualquier fluido, ya sea gas o líquido). Para velocidades relativamente bajas, las fuerzas de arrastre en un objeto escalan linealmente con la velocidad del objeto, como lo ilustra la ley de Stokes (Ecuación 2.2.5). Para un objeto de forma arbitraria que se mueve a través de un fluido arbitrario escribiremos\(F_{\mathrm{drag}}=-\gamma \dot{x}\), con\(\gamma\) el coeficiente de arrastre, y por supuesto opuesto a la dirección del movimiento. Añadiendo esto a la fuerza del resorte da para la ecuación de movimiento del oscilador armónico amortiguado:

\[m \ddot{x}=-\gamma \dot{x}-k x \label{dampedharmosc}\]

Ahora tenemos dos números que determinan el movimiento: la frecuencia no amortiguada\(\omega_{0}=\sqrt{k / m}\) y la relación de amortiguación\(\zeta=\gamma / 2 \sqrt{m k}\). En términos de estos parámetros, podemos reescribir la ecuación\ ref {dampedharmosc} como:

\[\ddot{x}+2 \zeta \omega_{0} \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=0 \label{rewritten}\]

La solución de la Ecuación\ ref {reescrito} depende fuertemente del valor de\(\zeta\), ver Figura 8.2.1. Podemos encontrarlo ² sustituyendo el Ansatz\(x(t)=e^{\lambda t}\), que da una ecuación característica para\(\lambda\):

\[\lambda^{2}+2 \zeta \omega_{0} \lambda+\omega_{0}^{2}=0\]

por lo

\[\lambda=-\zeta \omega_{0} \pm \omega_{0} \sqrt{\zeta^{2}-1} \label{lambda}\]

Para\(\zeta < 1\), existen dos soluciones complejas para\(\lambda\), y encontramos que\(x(t)\) sufre una oscilación con una amplitud exponencialmente decreciente:

\[x(t)=e^{-\zeta \omega_{0} t}\left[A \cos \left(\omega_{d} t\right)+B \sin \left(\omega_{d} t\right)\right]\]

donde\(\omega_{d}=\omega_{0} \sqrt{1-\zeta^{2}}\) y A y B se derivan de las condiciones iniciales. Debido a que todavía hay una oscilación, este tipo de movimiento se llama subamortiguado. En contraste, si\(\zeta > 1\), las raíces\(\lambda_{ \pm}\) en la Ecuación\ ref {lambda} son reales, y obtenemos un comportamiento cualitativamente diferente, sobreamortiguado, en el que x vuelve a 0 con una decadencia exponencial sin oscilaciones:

\[x(t)=A e^{\lambda_{+} t}+B e^{\lambda_{-} t}=e^{-\zeta \omega_{0} t}\left[A e^{\Omega t}+B e^{-\Omega t}\right]\]

donde\(\Omega=\omega_{0} \sqrt{\zeta^{2}-1}\). Naturalmente, el caso límite es cuando\(\zeta = 1\), que es un oscilador amortiguado críticamente, el retorno más rápido a 0 sin oscilaciones. Porque en este caso la Ecuación\ ref {lambda} solo tiene una raíz, nuevamente obtenemos una solución cualitativamente diferente:

\[x(t)=(A+B t) e^{-\omega_{0} t}\]

Los tres casos diferentes y la oscilación no amortiguada se muestran en la Figura 8.2.1.

² Véase el apéndice A.3.2 para conocer los detalles matemáticos sobre cómo resolver ecuaciones generales de este tipo.