8.3: Oscilador armónico impulsado

Una masa en un resorte, desplazada fuera de su posición de equilibrio, oscilará alrededor de ese equilibrio para siempre si no está amortiguada, o se relajará hacia ese equilibrio cuando esté amortiguada. Su amplitud se mantendrá constante en el primer caso, y disminuirá monótonamente en el segundo. Sin embargo, si le damos a la masa un pequeño empujón periódico en el momento adecuado de su ciclo de oscilación, su amplitud puede aumentar, e incluso divergir. Para ver cómo funciona esto estudiamos el oscilador impulsado, donde aplicamos una fuerza impulsora periódica

\[F_{\mathrm{D}}(t)=F_{\mathrm{D}} \cos \left(\omega_{\mathrm{D}} t\right)=\frac{1}{2} F_{\mathrm{D}}\left(e^{i \omega_{\mathrm{D}} t}+e^{-i \omega_{\mathrm{D}} t}\right).\]

Añadiendo esta fuerza impulsora a la ecuación de movimiento 8.2.1 de un oscilador armónico amortiguado, obtenemos:

\[\ddot{x}+2 \omega_{0} \zeta \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=\frac{F_{\mathrm{D}}}{2 m}\left(e^{i \omega_{\mathrm{D}} t}+e^{-i \omega_{\mathrm{D}} t}\right) \label{drivenharmosc}\]

Ya conocemos la solución homogénea a la Ecuación\ ref {drivenharmosc} - eso es solo el oscilador amortiguado nuevamente, así que dependiendo del valor de\(\zeta\), obtenemos una de las tres posibles soluciones de la sección anterior. Para encontrar una solución particular, primero notamos que podemos dividir el término conductor en dos; si tenemos una solución particular para cada uno de los exponenciales oscilantes, simplemente podemos agregarlos. Además, estos exponenciales en sí mismos se ven muy similares a las soluciones poco amortiguadas, por lo que pueden hacer una buena conjetura para una solución en particular. Por un lado derecho de lo tanto\(\left(F_{\mathrm{D}} / 2 m\right) e^{ \pm i \omega_{\mathrm{D}} t}\) intentamos\(x_{\mathrm{p}}=A e^{ \pm i \omega_{\mathrm{D}} t}\). Sustituyendo esto en la Ecuación\ ref {drivenharmosc} con el lado derecho apropiado, obtenemos:

\[A\left(-\omega_{\mathrm{D}}^{2} \pm 2 i \omega_{0} \zeta \omega_{\mathrm{D}}+\omega_{0}^{2}\right) e^{ \pm i \omega_{\mathrm{D}} t}=\frac{F_{\mathrm{D}}}{2 m} e^{ \pm i \omega_{\mathrm{D}} t}\]

por lo que encontramos que efectivamente tenemos una solución si la amplitud viene dada por

\[A\left(\omega_{\mathrm{D}}\right)=\frac{F_{\mathrm{D}}}{2 m\left(\omega_{0}^{2} \pm 2 i \omega_{0} \zeta \omega_{\mathrm{D}}-\omega_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\]

La solución particular completa de la Ecuación\ ref {drivenharmosc} es dada entonces por

\[\begin{aligned} x_{\mathrm{p}}(t) &=\frac{F_{\mathrm{D}}}{2 m}\left[\frac{e^{i \omega_{\mathrm{D}} t}}{\omega_{0}^{2}+2 i \omega_{0} \zeta \omega_{\mathrm{D}}-\omega_{\mathrm{D}}^{2}}+\frac{e^{-i \omega_{\mathrm{D}} t}}{\omega_{0}^{2}-2 i \omega_{0} \zeta \omega_{\mathrm{D}}-\omega_{\mathrm{D}}^{2}}\right] \\ &=\frac{F_{\mathrm{D}}}{m}\left[\frac{\left(\omega_{0}^{2}-\omega_{\mathrm{D}}^{2}\right) \cos \left(\omega_{\mathrm{D}} t\right)+2 \omega_{0} \zeta \omega_{\mathrm{D}} \sin \left(\omega_{\mathrm{D}} t\right)}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega_{\mathrm{D}}^{2}\right)^{2}+4 \omega_{0}^{2} \zeta^{2} \omega_{\mathrm{D}}^{2}}\right] \\ &=\frac{F_{\mathrm{D}}}{m R\left(\omega_{\mathrm{D}}\right)} \cos \left(\omega_{\mathrm{D}} t-\phi\left(\omega_{\mathrm{D}}\right)\right) \end{aligned}\]

donde el factor\(R(\omega_{\mathrm{D}})\) en la amplitud está definido por

\[R^{2}\left(\omega_{\mathrm{D}}\right)=\left(\omega_{0}^{2}-\omega_{\mathrm{D}}^{2}\right)^{2}+4 \omega_{0}^{2} \zeta^{2} \omega_{\mathrm{D}}^{2}\]

y la fase\(\phi\left(\omega_{\mathrm{D}}\right)\) por\(\cos \phi=\left(\omega_{0}^{2}-\omega_{\mathrm{D}}^{2}\right) / R\left(\omega_{\mathrm{D}}\right), \sin \phi=2 \omega_{0} \zeta \omega_{\mathrm{D}} / R\left(\omega_{\mathrm{D}}\right)\), entonces

\[\tan \left(\phi\left(\omega_{\mathrm{D}}\right)\right)=\frac{2 \omega_{0} \zeta \omega_{\mathrm{D}}}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\]

La resonancia, una gran respuesta del oscilador armónico a una pequeña fuerza impulsora, se produce cuando\(x_{\mathrm{p}}(t)\) sopla, o\(R\left(\omega_{\mathrm{D}}\right)\) va a cero. Eso no siempre sucede, pero\(R\left(\omega_{\mathrm{D}}\right)\) puede llegar a un mínimo en el que la amplitud se vuelve grande:

\[0=\frac{\mathrm{d} R^{2}}{\mathrm{d} \omega_{\mathrm{D}}}=-4\left(\omega_{0}^{2}-\omega_{\mathrm{D}}^{2}\right) \omega_{\mathrm{D}}+8 \omega_{0}^{2} \zeta^{2} \omega_{\mathrm{D}}\]

que se encuentra en

\[\omega_{\mathrm{D}}^{2}=\omega_{0}^{2}-2 \omega_{0}^{2} \zeta^{2}\]

o\(\omega_{\mathrm{D}} \simeq \omega_{0}\) si el factor de amortiguación\(\zeta\) es pequeño. Tenga en cuenta que en este mismo límite (pequeño\(\zeta\)), nos encontramos con que cuando\(\omega_{\mathrm{D}} \simeq \omega_{0}\),\(\tan \phi \rightarrow \infty\), así\(\phi \rightarrow \pi / 2\). Por lo tanto, en este caso la conducción pasa desfasada con la respuesta, es decir, empujas más fuerte cuando la masa está en su punto de máxima velocidad, incrementando esa velocidad aún más, y dando lugar a un incremento en la amplitud. En la práctica, esto es lo que hacen los niños cuando se sientan en un columpio: arrojan hacia atrás las piernas cuando pasan por el punto más bajo (velocidad máxima) yendo hacia atrás, y arrojan las piernas hacia adelante en el mismo punto al ir hacia adelante, aumentando su velocidad y así su amplitud.