8.E: Oscilaciones (Ejercicios)

8.1

Un objeto experimenta un simple movimiento armónico de amplitud\(A\) y frecuencia angular\(\omega\) alrededor del punto de equilibrio\(x = 0\). Encuentra la velocidad\(v\) del objeto en términos de\(A, \omega\), y\(x\). Pista: utilizar la conservación de la energía.

8.2

Un disco de radio\(R\) y masa\(M\) se suspende de un pivote en algún lugar entre su centro y su borde, ver figura abajo. ¿Para qué punto de pivote (es decir, qué distancia\(d\)) será el periodo de este péndulo físico un mínimo (o equivalentemente la frecuencia un máximo)? Puede que uno de los teoremas que probamos en el Capítulo 5 sea útil para responder a esta pregunta.

8.3

La Figura 8.4 muestra un diseño común de balancín actual, también presentado en el Problema 2.10. Además de una viga con dos asientos, este balancín también contiene dos muelles idénticos (con constante de resorte\(10 kN/m\)) que conectan la viga con el suelo. La distancia entre el pivote y cada uno de los muelles es\(30.0 cm\), la distancia entre el pivote y cada uno de los asientos es\(1.50 m\). Dos niños se sientan en los dos asientos. Ambos niños patean contra el suelo un par de veces, poniendo el balancín en un movimiento oscilante con una amplitud de\(50.0 cm\). En\(t = 0\) los niños dejan de patear. La gráfica de la figura c muestra la altura de uno de los asientos en función del tiempo posterior.

Figura\(\PageIndex{1}\): Balancín con dos muelles.

1. ¿En qué tipo de movimiento está el balancín después de que los niños dejan de patear?
2. Se podría modelar el balancín con los dos niños como una simple masa sobre un resorte, con una constante de resorte dos veces la del resorte individual en el balancín. Utilizando la gráfica de la figura c, estimar la masa efectiva de este sistema.
3. Después de un rato, los niños retoman las patadas, volviendo a subir lentamente su amplitud hasta\(50.0 cm\). Utilizando el sistema masa-resorte de (b), estimar la cantidad de energía que los niños tienen que poner por periodo para lograrlo.

8.4

Un bloque con\(m_1 = 1.5 kg\) bloque de masa es soportado por una superficie sin fricción y unido a un resorte horizontal de constante\(k = 22 N/m\), como se muestra en la figura. El bloque oscila con una amplitud de\(10.0 cm\), ejecutando un simple movimiento armónico.

1. Encuentra la frecuencia\(\omega\) de la oscilación del bloque.
2. Anote la ecuación para la posición del bloque en función del tiempo,\(x(t)\), de tal forma que esté en su posición más a la derecha en\(t = 0\).

Un segundo bloque de masa\(0.80 kg\) se mueve desde la derecha en\(2.5 m/s\) y golpea el primer bloque en\(t = 0\), es decir, cuando está en su posición más a la derecha. Los dos bloques luego se pegan juntos y continúan moviéndose como uno solo.

1. ¿Qué cantidad/cantidades se conservan durante la colisión?
2. Determinar la frecuencia del movimiento de los dos bloques después de la colisión.
3. Determinar la amplitud del movimiento de los dos bloques después de la colisión.

8.5

Supongamos que estás varado en un planeta desconocido sin nada más que un péndulo físico y un cronómetro. Determinaste las propiedades del péndulo en la Tierra, y encontraste\(m = 2.0 kg, h = 0.50 m\) y\(I = 3.0 kg \cdot m^2\). Al no tener nada mejor que hacer, mides el tiempo que tarda tu péndulo en completar 50 ciclos, y encuentras que este tiempo es igual\(170 s\). Usa esta información para calcular el valor de la aceleración gravitacional\(g\) en tu nuevo mundo de origen.

8.6

Para un oscilador armónico amortiguado impulsado por una fuerza sinusoidal (como en la Ecuación 8.3.1), encuentre la potencia promedio disipada por período (de conducción). Pista: usar\(P = F \cdot v\).

8.7

Considera un sistema de dos osciladores armónicos acoplados, donde uno (con masa\(2m\) y constante de resorte\(2k\)) se suspende del techo, y el otro (con masa\(m\) y constante de resorte\(k\)) se suspende del primero, como se muestra en la figura.

1. Encuentra la ecuación de movimiento de este sistema de osciladores acoplados, y escríbala en forma de matriz. Para cada masa, use coordenadas en las que el cero esté en la posición de equilibrio.
2. Encuentra las frecuencias de los modos normales de este sistema acoplado.