14.3: Colisión totalmente inelástica

En una colisión totalmente inelástica, las partículas se pegan entre sí. Un posible ejemplo es la absorción de un fotón por una partícula masiva, resultando en un aumento de su masa, así como posiblemente un cambio en su impulso. Consideremos, como ejemplo, una partícula de masa\(m \) que inicialmente está en reposo, y absorbe un fotón entrante con energía\(E_{\gamma} \). Ahora hay tres formas de calcular la energía y el impulso de la partícula después de esta colisión.

Método 1

Tenemos conservación tanto de energía (total) como de impulso. Antes de la colisión, la partícula masiva tiene energía\(E_{\mathrm{i}}=m c^{2} \) (ya que se encuentra quieta), y la energía total del sistema\(E_{\gamma}+m c^{2}\), que debe conservarse. La energía total de la partícula después de la colisión es\(E_{\mathrm{f}}=\gamma(v) m_{\mathrm{f}} c^{2} \), donde se\(m_{\mathrm{f}} \) desconocen\(v\) tanto la velocidad como la masa. El impulso total antes de la colisión es\(E_{\gamma} / c \), ya que la partícula está inicialmente quieta (y por lo tanto tiene impulso cero), mientras que después de la colisión lo es\(\gamma(v) m_{\mathrm{f}}v \). Por lo tanto, tenemos:

\[\begin{align} E_{\gamma}+m c^{2} &=\gamma(v) m_{\mathrm{f}} c^{2} \label{14.4} \\[4pt] E_{\gamma} &=\gamma(v) m_{\mathrm{f}} vc \label{14.5} \end{align}\]

Tenemos así dos ecuaciones con dos incógnitas (\(v\)y\(m_{\mathrm{f}} \)). Si dividimos la Ecuación\ ref {14.5} por\ ref {14.4}, obtenemos una expresión para la velocidad final\(v\), que podemos sustituir de nuevo en cualquiera de las ecuaciones para resolver\(m_{\mathrm{f}} \) (y potencialmente usar para calcular el impulso después de la colisión). Esto no es bonito aunque, ya que tendremos factores complicados debido a la presencia de\(\gamma(v)\).

Método 2

El cuatro-momento del sistema se conserva durante la colisión. Tenemos\(\overline{\boldsymbol{p}}_{\gamma}\) para el fotón,\(\overline{\boldsymbol{p}}_{1}\) para la partícula masiva antes de la colisión, y\(\overline{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{f}}\) para esa partícula después de la colisión, dada por las siguientes ecuaciones:

\[\begin{align} \overline{\boldsymbol{p}}_{\gamma} &=\left(\frac{E_{\gamma}}{c}, \frac{E_{\gamma}}{c}, 0,0\right) \\[4pt] \overline{\boldsymbol{p}}_{1} &=(m c, 0,0,0) \\[4pt] \overline{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{f}} &=\left(\frac{E_{\mathrm{f}}}{c}, p_{\mathrm{f}}, 0,0\right) \end{align}\]

De\(\overline{\boldsymbol{p}}_{\gamma}+\overline{\boldsymbol{p}}_{1}=\overline{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{f}}\) podemos leer dos ecuaciones:

\[E_{\gamma}+m c^{2}=E_{\mathrm{f}}\]

\[E_{\gamma} / c=p_{\mathrm{f}}\]

que de inmediato nos dan la energía final y el impulso en términos de los iniciales. Ahora podemos encontrar la masa final a través de la ecuación de Einstein (13.16):

\[ \begin{align} m_{\mathrm{f}}^{2} c^{4}=E_{\mathrm{f}}^{2}-p_{\mathrm{f}}^{2} c^{2}&=\left(E_{\gamma}+m c^{2}\right)^{2}-E_{\gamma}^{2} \\[4pt] &=\left(E_{\gamma}+m c^{2}\right) m c^{2} \end{align}\]

Este enfoque elude el uso del\(\gamma(v)\) factor porque solo usamos energía e impulso, no velocidad (clásica). Si ahora queremos la velocidad, aún podríamos calcularla a partir de la combinación de\(m_{\mathrm{f}} \) y cualquiera\(E_{\mathrm{f}}\) o\(p_{\mathrm{f}} \), pero como era la masa y el impulso que buscábamos, no hay necesidad de hacerlo.

Método 3

Dado que el total de energía-impulso de cuatro vectores se conserva en la colisión, así debe ser su longitud (o el cuadrado de la longitud), lo cual es trivial de calcular (recuerda eso\(\overline{\boldsymbol{p}} \cdot \overline{\boldsymbol{p}}=m^{2} c^{2} \)). A menudo podemos explotar este hecho para hacer las matemáticas mucho más simples. Para ver cómo funciona esto, consideremos la ecuación completa de cuatro vectores para nuestro ejemplo:\(\overline{\boldsymbol{p}}_{\gamma}+\overline{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{i}}=\overline{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{f}} \), entonces

\[ \begin{align} \left(\overline{\boldsymbol{p}}_{\gamma}+\overline{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{i}}\right) \cdot\left(\overline{\boldsymbol{p}}_{\gamma}+\overline{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{i}}\right) &= \overline{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{f}} \cdot \overline{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{f}} \label{14.9} \\[4pt] \overline{\boldsymbol{p}}_{\gamma} \cdot \overline{\boldsymbol{p}}_{\gamma}+\overline{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{i}} \cdot \overline{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{i}}+2 \overline{\boldsymbol{p}}_{\gamma} \cdot \overline{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{i}} &=\overline{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{f}} \cdot \overline{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{f}} \label{14.10} \end{align}\]

\[0+m^{2} c^{2}+2 E_{\gamma} m=m_{\mathrm{f}}^{2} c^{2}\]

lo que inmediatamente nos da\(m_{\mathrm{f}} \). Si también queremos\(E_{\mathrm{f}} \) o\(p_{\mathrm{f}} \), podemos volver a usar Ecuaciones\ ref {14.9} y\ ref {14.10} para los componentes, pero si solo quisiéramos la masa final, ya terminamos en un paso.

Tenga en cuenta que aunque el método 3 suele ser la ruta más fácil a su respuesta, no siempre lo es, y es una buena idea al menos estar al tanto de las otras opciones.