14.E: Colisiones Relativistas (Ejercicios)

14.1 Un fotón con frecuencia\(f\) choca con un átomo estacionario con masa de reposo\(m\). En la colisión, el fotón es absorbido por el átomo. Determinar la masa y velocidad del átomo después de la colisión.

14.2 Una partícula con masa\(m\) y energía cinética\(2mc^{2}\) choca con una partícula estacionaria con masa\(2m\). Después de la colisión, las dos partículas se funden en una sola partícula. Encuentra tanto la masa como la velocidad de esta nueva partícula.

14.3 Un núcleo atómico estacionario sufre un proceso radiactivo conocido como\(\beta\) -decaimiento, en el que uno de sus neutrones (con masa de reposo\(m_{\mathrm{n}} = 939.6 \mathrm{MeV}\)) se descompone en un protón (que permanece en el núcleo, masa de reposo\(m_{\mathrm{p}} = 938.3 \mathrm{MeV}\)), un electrón (masa de reposo\(m_{\mathrm{e}} = 0.5 \mathrm{MeV}\)) y un antineutrino. Los neutrinos son partículas muy ligeras; tomaremos el neutrino emitido para que sea efectivamente sin masa y así viajaremos a la velocidad de la luz con impulso\(p_{\nu}\). El núcleo permanece estacionario. Encuentra el momento\(p_{\nu}\) y\(p_{e}\) del neutrino y electrón emitidos, así como la velocidad del electrón emitido.

14.4 Un protón con masa de reposo mp e impulso\(p_{p}\) se mueve en la\(x\) dirección positiva. Un fotón con frecuencia\(f\) viaja en\(x\) dirección negativa y choca de frente con el protón. Después de la colisión, tanto el protón como el fotón están viajando en la\(x\) dirección positiva. Mostrar que la frecuencia\(f^{\prime}\) del fotón después de la colisión viene dada por

\[f^{\prime}=\frac{E_{\mathrm{p}}+c p_{\mathrm{p}}}{E_{\mathrm{p}}-c p_{\mathrm{p}}+2 h f} f \label{14.E.1}\]

donde\(E_{p}\) está la energía del protón antes de la colisión.

14.5 Las partículas como los electrones en los orbitales atómicos pueden estar en un estado básico de baja energía (con energía\(E_{0}\)), o, al absorber un fotón, ponerse en un estado excitado de mayor energía (con energía\(E_{1}\)). La partícula puede regresar al estado básico emitiendo otro fotón. La mecánica cuántica nos dice que sólo se permiten estados muy específicos con energías muy específicas, discretas (o 'cuantificadas').

1. Si la partícula está inicialmente en reposo, la energía de un fotón entrante con frecuencia\(\nu\) (y energía\(E = h\nu\)) tiene que ser ligeramente mayor que la diferencia de energía\(\Delta E=E_{1}-E_{0}\) entre los estados molido y excitado de la partícula si la partícula va a absorber el fotón. Explique por qué.
2. Demostrar que para un fotón entrante que es absorbido por una partícula inicialmente estacionaria, tenemos\[h v_{\mathrm{a}}=\Delta E\left(1+\frac{\Delta E}{2 E_{0}}\right) \label{14.E.2}\]
3. Asimismo, muestran que para una partícula inicialmente estacionaria en el estado excitado con energía E1, la energía del fotón emitido viene dada por\[h v_{\mathrm{e}}=\Delta E\left(1-\frac{\Delta E}{2 E_{0}}\right) \label{14.E.3} \]
4. Supongamos que tenemos dos átomos idénticos, uno de los cuales contiene un electrón en el estado excitado, y el otro solo electrones en el estado básico. El átomo con el electrón en estado excitado emite un fotón. ¿Existe un escenario posible en el que el otro átomo absorba el fotón (absorción resonante)?

14.6 Aniquilación y creación materia-antimateria. Como habrás escuchado, por cada partícula elemental de materia 'ordinaria', existe una antipartícula de 'antimateria', que comparte muchas características con su contraparte ordinaria (como la masa), mientras que otras son opuestas (como la carga). Cuando una partícula y su antipartícula se encuentran, se aniquilan por completo, convirtiendo toda su masa combinada en energía pura, en forma de radiación (es decir, fotones). La antipartícula más común es la del
electrón, que se conoce como el positrón. Primero, consideramos un experimento en el que un electrón ordinario de masa\(m_{e}\) con impulso\(p_{e}\) golpea un positrón (masa\(m_{e}\)) en reposo, momento en el que los dos aniquilan, produciendo dos fotones.

1. Argumentan por qué tal aniquilación debe producir al menos dos fotones.
2. Uno de los dos fotones producidos emerge en un ángulo de\(60^{o}\) la dirección del electrón incidente. ¿Cuál es su energía?
3. Encuentra el ángulo (con la dirección del electrón incidente) en el que emerge el otro fotón.

También puede ocurrir lo contrario de la aniquilación, la creación espontánea de la materia: entonces un fotón se convierte espontáneamente en un par partícula-antipartícula.

4. ¿Por qué el fotón debe convertirse en un par partícula-antipartícula, en lugar de simplemente convertirse en una sola partícula?
5. Encuentre la longitud de onda mínima que un fotón debe tener para crear un par electrón-positrón. ¿Dónde está este fotón en el espectro electromagnético?

14.7 Un kaon neutro (o\(K\) mesón) con una masa de\(498 \mathrm{MeV}/c^{2}\) y una velocidad inicial de\(c/2\) decae en dos piones (uno con una carga positiva y otro con una carga negativa), cada uno de los cuales tiene una masa de\(135 \mathrm{MeV}/c^{2}\).

1. Encuentra las velocidades y los ángulos de los piones en el marco de laboratorio si, en el resto del cuadro del kaon, se emiten en direcciones opuestas, cuya línea forma un ángulo de\(90^{o}\) con la dirección de propagación del kaon?
2. Responda la misma pregunta que en (a), para el caso de que los piones se emitan uno en el mismo y otro en sentido opuesto al kaon.
3. A veces un kaon se descompone en más de dos piones (también hay piones neutros; las cargas, por supuesto, necesitan sumar a la carga kaon). Determinar el número máximo de piones en los que nuestro kaon puede descomponerse.
4. Demostrar que en cualquier situación, las trayectorias de los piones creados están en un plano. Pista: haz esto primero en el marco de descanso del kaon.