15.3: Ondas relativistas

Hemos visto que en la relatividad especial, el espacio y el tiempo están íntimamente acoplados. Existe un fenómeno clásico para el que también es así: las olas que discutimos en el Capítulo 9. En la Sección 9.1 se introdujo la onda sinusoidal, descrita por la Ecuación 9.1.1:

\[u(x, t)=A \cos (k \cdot x-\omega t) \label{15.3.1}\]

En la Ecuación\ ref {15.3.1} hicimos de la onda una función de las tres coordenadas espaciales, introduciendo un vector de onda\(\boldsymbol{k}\) en lugar de solo el número\(k\) de onda de la ecuación (9.1.1). La magnitud del vector de onda es simplemente la del número de onda\(|\boldsymbol{k}|=k=2 \pi / \lambda\), mientras que su dirección representa la dirección en la que se mueve la onda (viajera). Cuando se escribe como Ecuación\ ref {15.3.1}, puedes adivinar que existe una onda de cuatro vectores que combina las propiedades temporales y espaciales de la onda, y estarías en lo correcto. Si definimos

\[\overline{\boldsymbol{k}}=(\omega / c, \boldsymbol{k})\label{15.3.2}\]

entonces el argumento del coseno en la ecuación (15.11), es decir, la fase\(\phi(\boldsymbol{x}, t)\) de la onda en el punto dado en el espacio y el tiempo, viene dado por

\[\phi(\boldsymbol{x}, t) \equiv \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}-\omega t=-(\overline{\boldsymbol{k}} \cdot \overline{\boldsymbol{x}}) \label{15.3.3}\]

Ya hemos demostrado que los productos de punto de dos cuatro vectores son invariantes bajo las transformaciones de Lorentz; como\(\phi\) es un escalar (y por lo tanto invariante) y\(\overline{\boldsymbol{x}}\) uno de cuatro vectores, se deduce que de hecho también\(\overline{\boldsymbol{k}}\) es un cuatro vector.

La principal aplicación de las ondas relativistas es la luz misma, en su aparición como una onda. La onda de cuatro vectores de un haz de luz que viaja en la\(x\) dirección positiva viene dada por

\[\overline{\boldsymbol{k}}=(k, k, 0,0) \label{15.3.4}\]

donde usamos eso para la luz,\(\omega=c k\) (Ecuación 9.1.2). Como era de esperar, esto se ve exactamente como la Ecuación 14.1.3 para los cuatro momentos de un fotón, especialmente porque la energía de un fotón es\(E=h c / \lambda=h c k / 2 \pi\) E. Hasta una constante física, los cuatro vectores de luz de onda e impulso son, por lo tanto, idénticos:

\[\overline{\boldsymbol{p}}_{\text { photon }}=\frac{h}{2 \pi} \overline{\boldsymbol{k}}_{\text { photon }}=\hbar \overline{\boldsymbol{k}}_{\text { photon }} \label{15.3.5}\]

La combinación\(h / 2 \pi\) ocurre tan a menudo que obtuvo su propio símbolo,\(\hbar\) ('h-bar'). Tenga en cuenta que la Ecuación\ ref {15.3.5} se mantiene solo para la luz.

Se podría esperar que haya poco más que decir sobre la luz. Después de todo, el postulado de la luz asegura que la velocidad de la luz será la misma para todos los observadores. Sin embargo, diferentes observadores pueden observar el mismo rayo de luz (o el mismo fotón) de manera diferente: aunque su velocidad es invariante, ¡su frecuencia (y por lo tanto su color, así como su impulso) no lo es! Para ver qué sucede, comencemos con una fuente de luz estacionaria que emite rayos en la\(x\) dirección positiva en algún sistema\(S\), así que la onda de cuatro vectores viene dada por la Ecuación\ ref {15.3.4}. Ahora Lorentz transformamos en un sistema que\(S^{\prime}\) se mueve con velocidad\(u\) en la\(x\) dirección -dirección. La onda de cuatro vectores medida por un observador en\(S^{\prime}\) es simplemente la transformada de Lorentz de la Ecuación\ ref {15.3.4}:

\[\overline{\boldsymbol{k}}^{\prime}=\left( \begin{array}{cccc}{\gamma(u)} & {-\gamma(u) \frac{u}{c}} & {0} & {0} \\ {-\gamma(u) \frac{u}{c}} & {\gamma(u)} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1}\end{array}\right) \left( \begin{array}{c}{k} \\ {k} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{c}{\gamma(u) k\left(1-\frac{u}{c}\right)} \\ {\gamma(u) k\left(1-\frac{\underline{u}}{c}\right)} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{c}{k^{\prime}} \\ {k^{\prime}} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right) \label{15.3.6}\]

Encontramos que el observador en movimiento sigue viendo la luz moviéndose en la\(x\) dirección positiva con la velocidad\(c\), pero con un número de onda diferente\(k^{\prime}\), y por lo tanto una frecuencia diferente\(\omega^{\prime}=c k^{\prime}\), dada por

\[\omega^{\prime}=\gamma(u)\left(1-\frac{u}{c}\right) \omega=\sqrt{\frac{1-u / c}{1+u / c}} \omega \label{15.3.7}\]

La ecuación\ ref {15.3.7} da el efecto Doppler relativista: un desplazamiento en la frecuencia observada debido al movimiento del observador, tal como encontramos para el sonido en la Sección 9.7. De hecho, la Ecuación\ ref {15.3.7} se reduce a la ecuación (9.7.2) para velocidades pequeñas\(u << c\). Además del 'efecto sonido' donde se da cuenta del estiramiento o compresión de las ondas debido al movimiento del observador, el efecto Doppler relativista también da cuenta de la dilatación del tiempo entre los dos observadores (también se puede derivar combinando estos dos efectos, como se hace en muchos libros de texto, ver Problema 15.2.b). A diferencia del sonido, también existe un efecto Doppler relativista transversal (enteramente debido a la dilatación del tiempo), para lo cual podemos encontrar la expresión reemplazando el rayo que viaja en la\(x\) dirección positiva en la Ecuación\ ref {15.3.6} por uno viajando en la\(y\) dirección positiva.