4.5: Aceleración constante

Cuando el componente x de la velocidad es una función lineal (Figura\(\PageIndex{1a}\)), la aceleración promedio, Δ v/Δ t, es una constante y por lo tanto es igual a la aceleración instantánea (Figura\(\PageIndex{1b}\)).

Figura\(\PageIndex{1}\): Aceleración constante: (a) velocidad, (b) aceleración. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Consideremos un cuerpo sometido a una aceleración constante por un intervalo de tiempo\([0,t]\), donde\(Δt =t\). Denote el componente x de la velocidad en el tiempo t =0 por (b) t. Por lo tanto, el componente x de la aceleración viene dado por

\[a(t)=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v(t)-v_{0}}{t} \nonumber \]

Así, el componente x de la velocidad es una función lineal del tiempo dada por\[v(t)=v_{0}+a t \nonumber \]

Velocidad: Área bajo la Gráfica de Aceleración vs Tiempo

En la Figura 4.8 (b), el área bajo la gráfica de aceleración vs. tiempo, para el intervalo de tiempo\(Δt = t − 0 = t\), es

\[\operatorname{Area}(a(t), t)=a t \nonumber \]De la Ecuación (4.5.2), el área es el cambio en el componente x de la velocidad para el intervalo [0, t]:

\[\operatorname{Area}(a(t), t)=a t=v(t)-v_{0}=\Delta v \nonumber \]

Desplazamiento: Área Bajo la Velocidad vs. Gráfico de Tiempo

En la Figura se\(\PageIndex{2}\) muestra una gráfica del componente x de la velocidad vs. tiempo para el caso de aceleración constante (Ecuación (4.5.2)).

Figura\(\PageIndex{2}\): Gráfico de velocidad en función del tiempo para\(a\) constante. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

La región bajo la curva de velocidad vs. tiempo es un trapecio, formado a partir de un rectángulo con área\(A_{1}=v_{0} t\), y un triángulo con área\(A_{2}=(1 / 2)\left(v(t)-v_{0}\right)\) El área total del trapecio viene dada por

\[ Area (v(t), t)=A_{1}+A_{2}=v_{0} t+\frac{1}{2}\left(v(t)-v_{0}\right) \nonumber \]

Sustituyendo por la velocidad (Ecuación (4.5.2)) rendimientos

\[\ Area (v(t), t)=v_{0} t+\frac{1}{2} a t^{2} \nonumber \]

Recordemos que del Ejemplo 4.2 (ajuste b = a y Δ t = t),

\[v_{a v e}=v_{0}+\frac{1}{2} a t=\Delta x / t \nonumber \]

por lo tanto, la Ecuación (4.5.6) puede ser reescrita como

\[Area (v(t), t)=\left(v_{0}+\frac{1}{2} a t\right) t=v_{a v e} t=\Delta x \nonumber \]

El desplazamiento es igual al área bajo la gráfica del componente x de la velocidad vs. tiempo. La posición en función del tiempo ahora se puede encontrar reescribiendo la Ecuación (4.5.8) como

\[x(t)=x_{0}+v_{0} t+\frac{1}{2} a t^{2} \nonumber \]

La figura\(\PageIndex{3}\) muestra una gráfica de esta ecuación. Observe que en\(t = 0\) la pendiente no es cero, correspondiente al componente de velocidad inicial\(v_{0}\)

Figura\(\PageIndex{3}\): Gráfico de posición vs. tiempo para aceleración constante. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Ejemplo 4.4 Acelerar el coche

Un automóvil, comenzando en reposo en\(t = 0\), acelera en línea recta durante 100 m con una aceleración constante desconocida. Alcanza una velocidad de 20\(m ⋅s ^−1\) y luego continúa a esta velocidad por otros 10 s.

1. Anote las ecuaciones para la posición y velocidad del automóvil en función del tiempo.
2. ¿Cuánto tiempo estuvo acelerando el auto?
3. ¿Cuál fue la magnitud de la aceleración?
4. Trazar velocidad vs. tiempo, aceleración vs. tiempo y posición vs. tiempo para todo el movimiento.
5. ¿Cuál fue la velocidad promedio para todo el viaje?

Solución

(a) Para la aceleración\(a\), la posición\(x(t)\) y velocidad\(v(t)\) en función del tiempo\(t\) para un automóvil a partir del descanso son

\[\begin{array}{l}x(t)=(1 / 2) a t^{2} \\v_{x}(t)=a t \end{array} \nonumber \]

b) Denotar el intervalo de tiempo durante el cual el automóvil aceleró por\(t_{1}\). Sabemos que la posición\(x\left(t_{1}\right)=100 \mathrm{m} \text { and } v\left(t_{1}\right)=20 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1} \). Tenga en cuenta que podemos eliminar la aceleración a entre las Ecuaciones (4.4.10) para obtener

\[x(t)=(1 / 2) v(t) t \nonumber \]

Podemos resolver esta ecuación para el tiempo en función de la distancia y la velocidad final dando

\[t=2 \frac{x(t)}{v(t)} \nonumber \]

Ahora podemos sustituir nuestros valores conocidos por la posición\(x\left(t_{1}\right)=100 \mathrm{m} \text { and } v\left(t_{1}\right)=20 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1} \) y resolver por el intervalo de tiempo que el automóvil ha acelerado

\[t_{1}=2 \frac{x\left(t_{1}\right)}{v\left(t_{1}\right)}=2 \frac{100 \mathrm{m}}{20 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}}=10 \mathrm{s} \nonumber \]

c) Podemos sustituir en cualquiera de las expresiones de la Ecuación (4.4.10); la segunda es un poco más fácil de usar,

\[a=\frac{v\left(t_{1}\right)}{t_{1}}=\frac{20 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}}{10 \mathrm{s}}=2.0 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2} \nonumber \]

d) El componente x de aceleración vs. tiempo, x -componente de la velocidad vs. tiempo, y la posición vs. tiempo son funciones por partes dadas por

\ [a (t) =\ left\ {\ begin {array} {lc}
2\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}; & 0<t\ leq 10\ mathrm {s}\\
0; & 10\ mathrm {s} <t<t<20\ mathrm {s}
\ end {array}\ derecho. \ nonumber\]\ [v (t) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
\ left (2\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}\ derecha) t; & 0<t\ leq 10\ mathrm {s}\\
20\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-1}; & 10\ mathrm rm {s}\ leq t\ leq 20\ mathrm {s}
\ end {array}\ derecho. \ nonumber\]\ [x (t) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
(1/2)\ left (2\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}\ derecha) t^ {2}; & 0<t\ leq 10\ mathrm {s}\\
100\ mathrm {m} +\ izquierda (20\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}\ derecha) (t-10\ mathrm {s}); & 10\ mathrm {s}\ leq t\ leq 20\ mathrm {s}
\ end {array}\ right. \ nonumber\]

En la Figura 4.11 se muestran las gráficas del componente x de aceleración vs tiempo, componente x de la velocidad vs tiempo y la posición vs tiempo.

e) Después de acelerar, el automóvil recorre diez segundos adicionales a velocidad constante y durante este intervalo el automóvil recorre una distancia adicional\(\Delta x=v\left(t_{1}\right) \times 10 \mathrm{s}=200 \mathrm{m}\) (tenga en cuenta que esta es el doble de la distancia recorrida durante los 10 s de aceleración), por lo que la distancia total recorrida es de 300 m y el tiempo total es de 20 s, para una velocidad promedio de

\[v_{\text {ave }}=\frac{300 \mathrm{m}}{20 \mathrm{s}}=15 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1} \nonumber \]

Figura\(\PageIndex{4}\): Gráficas de los componentes x de aceleración, velocidad y posición como funciones por tramos. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Catching a Bus

En el instante en que un semáforo se vuelve verde, un automóvil arranca del descanso con una aceleración constante dada, 3.0\(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}\). Así como la luz se vuelve verde, un autobús, viajando con una velocidad constante dada,\(1.6 × 10^1 \,\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}\), pasa por el auto. El auto acelera y pasa el autobús algún tiempo después. ¿A qué distancia por la carretera ha recorrido el auto, cuando el auto pasa por el autobús?

Solución

Hay dos objetos en movimiento, autobús y el auto. Cada objeto se somete a una etapa de movimiento unidimensional. Se nos da la aceleración del carro, la velocidad del autobús, e inferimos que la posición del carro y el autobús son iguales cuando el autobús apenas pasa por el auto. La figura\(\PageIndex{5}\) muestra un boceto cualitativo de la posición del automóvil y autobús en función del tiempo.

Figura\(\PageIndex{5}\): Posición vs. tiempo del auto y autobús. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Elija un sistema de coordenadas con el origen en el semáforo y la dirección x positiva de manera que el automóvil y el autobús viajen en la dirección x positiva. Establezca la hora\(t = 0\) como el instante en que el automóvil y el autobús pasan entre sí en el origen cuando la luz se vuelve verde. La figura\(\PageIndex{6}\) muestra la posición del automóvil y autobús en el momento\(t\).

Figura\(\PageIndex{6}\): Sistema de coordenadas para automóvil y autobús. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Dejar\(x_{1}(t)\) denotar la función de posición del coche, y\(x_{2}(t)\) la función de posición para el autobús. La posición inicial y la velocidad inicial del automóvil son ambas cero,\(x_{1,0}\) = 0 y\(v_{1,0}\) = 0, y la aceleración del automóvil es distinta de cero\(a_{1} \neq 0\). Por lo tanto, las funciones de posición y velocidad del automóvil están dadas por

\ [\ begin {array} {c}
x_ {1} (t) =\ frac {1} {2} a_ {1} t^ {2}\\
v_ {1} (t) =a_ {1} t
\ end {array}\ nonumber\]

La posición inicial del bus es cero,\((x_{2,0}(t) = 0\), la velocidad inicial del bus es distinta de cero,\(v_{2,0} \neq 0\), y la aceleración del bus es cero, (a_ {2}\) = 0. Por lo tanto la velocidad es constante\(v_{2}(t)=v_{2,0}\), y la función de posición para el bus viene dada por\(x_{2}(t)=v_{2,0} t\).

Dejar\(t=t_{a}\) corresponder a la hora en que el carro pasa por el autobús. Entonces en ese instante, las funciones de posición del autobús y del automóvil son iguales,\(x_{1}\left(t_{a}\right)=x_{2}\left(t_{a}\right)\). Podemos usar esta condición para resolver\(t_{a}\):

\[(1 / 2) a_{1} t_{a}^{2}=v_{2,0} t_{a} \Rightarrow t_{a}=\frac{2 v_{2,0}}{a_{1}}=\frac{(2)\left(1.6 \times 10^{1} \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)}{\left(3.0 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}\right)}=1.1 \times 10^{1} \mathrm{s} \nonumber \]

Por lo tanto, la posición del automóvil en\(t_{a}\) es

\[x_{1}\left(t_{a}\right)=\frac{1}{2} a_{1} t_{a}^{2}=\frac{2 v_{2,0}^{2}}{a_{1}}=\frac{(2)\left(1.6 \times 10^{1} \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)^{2}}{\left(3.0 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}\right)}=1.7 \times 10^{2} \mathrm{m} \nonumber \]