4.3: Velocidad

Al describir el movimiento de los objetos, palabras como “velocidad” y “velocidad” se utilizan en el lenguaje natural; sin embargo, al introducir una descripción matemática del movimiento, necesitamos definir estos términos con precisión. Nuestro procedimiento será definir cantidades promedio para intervalos finitos de tiempo y luego examinar lo que sucede en el límite a medida que el intervalo de tiempo se vuelve infinitesimalmente pequeño. Esto nos llevará al concepto matemático de que la velocidad en un instante en el tiempo es la derivada de la posición con respecto al tiempo.

Velocidad Media

El componente x de la velocidad promedio, V _{x, ave,} para un intervalo de tiempo Δ t se define como el desplazamiento Δ x dividido por el intervalo de tiempo Δ t,

$$v_{x, a v e} \equiv \frac{\Delta x}{\Delta t} \nonumber$$

Debido a que estamos describiendo el movimiento unidimensional bajaremos el subíndice x y denotaremos $$v_{a v e}=v_{x, a v e} \nonumber$$ Cuando introduzcamos el movimiento bidimensional distinguiremos los componentes de la velocidad por subíndices. La velocidad promedio es entonces

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}_{a v e} \equiv \frac{\Delta x}{\Delta t} \hat{\mathbf{i}}=v_{a v e} \hat{\mathbf{i}} \nonumber$$

Las unidades SI para velocidad promedio son metros por segundo [m⋅ s ^-1]. La velocidad promedio no es necesariamente igual a la distancia en el intervalo de tiempo Δ t recorrida dividida por el intervalo de tiempo Δ t. Por ejemplo, durante un intervalo de tiempo, un objeto se mueve en la dirección x positiva y luego vuelve a su posición inicial, el desplazamiento del objeto es cero, pero la distancia recorrida no es cero.

Velocidad instantánea

Considera que un cuerpo se mueve en una dirección. Durante el intervalo de tiempo [t, t + Δ t], la velocidad promedio corresponde a la pendiente de la línea que conecta los puntos (t, x (t)) y (t +Δ t, x (t + Δ t)). La pendiente, la subida sobre la carrera, es el cambio de posición dividido por el cambio en el tiempo, y viene dada por

$$v_{a v e} \equiv \frac{\operatorname{rise}}{\operatorname{run}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} \nonumber$$

Como Δ t → 0, la pendiente de las líneas que conectan los puntos (t, x (t)) y (t + Δ t, x (t + Δ t)), se aproxima a la pendiente de la línea tangente a la gráfica de la función x (t ) en el tiempo t (Figura$\PageIndex{1}$).

Figura$\PageIndex{1}$: Gráfica de posición vs. tiempo que muestra la línea tangente en el tiempo t. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

El valor limitante de esta secuencia se define como el componente x de la velocidad instantánea en ese momento$t$.

El componente x de la velocidad instantánea en el tiempo t viene dado por la pendiente de la línea tangente a la gráfica de la función de posición en el tiempo t:

$$v(t) \equiv \lim _{\Delta t \rightarrow 0} v_{a v e}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} \equiv \frac{d x}{d t} \nonumber$$

El vector de velocidad instantánea es entonces $$\overrightarrow{\mathbf{v}}(t)=v(t) \hat{\mathbf{i}} \nonumber$$ El componente de la velocidad, v (t), puede ser positivo, cero o negativo, dependiendo de si el objeto está viajando en la dirección x positiva, instantáneamente en reposo, o la dirección x negativa.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Determining Velocity from Position

Considere un objeto que se mueve a lo largo del eje de coordenadas x con la función de posición dada por $$x(t)=x_{0}+\frac{1}{2} b t^{2} \nonumber$$ donde x ₀ es la posición inicial del objeto en t = 0. Podemos calcular explícitamente el componente x - de la velocidad instantánea a partir de la Ecuación (4.3.5) calculando primero el desplazamiento en la dirección x, Δ x = x (t + Δ t) − x (t). Necesitamos calcular la posición en el tiempo t + Δ t,

$$x(t+\Delta t)=x_{0}+\frac{1}{2} b(t+\Delta t)^{2}=x_{0}+\frac{1}{2} b\left(t^{2}+2 t \Delta t+\Delta t^{2}\right) \nonumber$$

Entonces el componente x de la velocidad instantánea es

$$v(t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\left(x_{0}+\frac{1}{2} b\left(t^{2}+2 t \Delta t+\Delta t^{2}\right)\right)-\left(x_{0}+\frac{1}{2} b t^{2}\right)}{\Delta t} \nonumber$$

Esta expresión se reduce a

$$v(t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\left(b t+\frac{1}{2} b \Delta t\right) \nonumber$$

El primer término es independiente del intervalo Δ t y el segundo término desaparece porque en el límite como Δ t → 0, el término (1/ 2) b Δ t → 0 es cero. Por lo tanto el componente x de la velocidad instantánea en el tiempo t es $$v(t)=b t \nonumber$$ En la Figura$\PageIndex{2}$ trazamos la velocidad instantánea$v(t)$,, en función del tiempo$t$.

Figura$\PageIndex{2}$: Gráfica de la velocidad instantánea en función del tiempo. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Mean Value Theorem

Considere un objeto que se mueve a lo largo del eje de coordenadas x con la función de posición dada por

$$x(t)=x_{0}+v_{0} t+\frac{1}{2} b t^{2}. \nonumber$$

La gráfica de$x(t)$ vs.$t$ se muestra en la Figura$\PageIndex{2}$.

Figura$\PageIndex{2}$: Teorema del Valor Intermedio. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

El componente x de la velocidad instantánea es

$$v(t)=\frac{d x(t)}{d t}=v_{0}+b t \nonumber$$

Para el intervalo de tiempo$[t_i ,t_f]$, el desplazamiento del objeto es

$$x\left(t_{f}\right)-x\left(t_{i}\right)=\Delta x=v_{0}\left(t_{f}-t_{i}\right)+\frac{1}{2} b\left(t_{f}^{2}-t_{i}^{2}\right)=v_{0}\left(t_{f}-t_{i}\right)+\frac{1}{2} b\left(t_{f}-t_{i}\right)\left(t_{f}+t_{i}\right) \nonumber$$

Recordemos que el componente x de la velocidad promedio se define por la condición de que $$\Delta x=v_{a v e}\left(t_{f}-t_{i}\right) \nonumber$$ Podemos determinar la velocidad promedio sustituyendo la Ecuación (4.3.15) en la Ecuación (4.3.14) rindiendo

$$v_{a v e}=v_{0}+\frac{1}{2} b\left(t_{f}+t_{i}\right) \nonumber$$

_{El Teorema del Valor Medio del cálculo establece que existe un instante en el tiempo t1, con t i < t 1 < t f, tal que el componente x de la velocidad instantánea,} v (t ₁), satisface

$$\Delta x=v\left(t_{1}\right)\left(t_{f}-t_{i}\right) \nonumber$$

Geométricamente esto significa que la pendiente de la línea recta (línea azul en la Figura$\PageIndex{2}$) que conecta los puntos (t _i, x (t _i)) a (t _f, x (t _f)) es igual a la pendiente de la línea tangente (línea roja en la Figura 4.6) a la gráfica de x (t) vs t en el punto (t ₁, x (t ₁)) (Figura 4.6),

$$v\left(t_{1}\right)=v_{a v e} \nonumber$$

Sabemos por la Ecuación (4.3.13) que

$$v\left(t_{1}\right)=v_{0}+b t_{1} \nonumber$$

Podemos resolver por el tiempo _t1 sustituyendo las Ecuaciones (4.3.19) y (4.3.16) en la Ecuación (4.3.18) rindiendo

$$t_{1}=\left(t_{f}+t_{i}\right) / 2 \nonumber$$

Este valor intermedio v (_t1) también es igual a la mitad de la suma de la velocidad inicial y la velocidad final

$$v\left(t_{1}\right)=\frac{v\left(t_{i}\right)+v\left(t_{f}\right)}{2}=\frac{\left(v_{0}+b t_{i}\right)+\left(v_{0}+b t_{f}\right)}{2}=v_{0}+\frac{1}{2} b\left(t_{f}+t_{i}\right)=v_{0}+b t_{1} \nonumber$$

Para cualquier intervalo de tiempo, la cantidad$\left(v\left(t_{i}\right)+v\left(t_{f}\right)\right) / 2$, es la media aritmética de la velocidad inicial y la velocidad final (pero desafortunadamente también a veces se conoce como la velocidad promedio). La velocidad promedio, que definimos como$v_{a v e}=\left(x_{f}-x_{i}\right) / \Delta t$, y la media aritmética$\left(v\left(t_{i}\right)+v\left(t_{f}\right)\right) / 2$, solo son iguales en el caso especial cuando la velocidad es una función lineal en la variable t como en este ejemplo, (Ecuación (4.3.13)). Solo usaremos el término velocidad promedio para significar desplazamiento dividido por el intervalo de tiempo.