4.6: Cinemática unidimensional e integración

Cuando la aceleración a (t) de un objeto es una función no constante del tiempo, nos gustaría determinar la dependencia temporal de la función de posición x (t) y el componente x de la velocidad v (t). Debido a que la aceleración no es constante ya no podemos usar las Ecuaciones (4.4.2) y (4.4.9). En cambio, utilizaremos técnicas de integración para determinar estas funciones.

Cambio de Velocidad como Integral Indefinida de Aceleración

Considera un intervalo de tiempo$t_{1}<t<t_{2}$. Recordemos que por definición la derivada de la velocidad$v(t)$ es igual a la aceleración$a(t)$,

$$\frac{d v(t)}{d t}=a(t) \nonumber$$

La integración se define como la operación inversa de diferenciación o el 'anti-derivativo'. Para nuestro ejemplo, la función v (t) se llama la integral indefinida de a (t) con respecto a t, y es única hasta una constante aditiva C. Denotamos esto escribiendo

$$v(t)+C=\int a(t) d t \label{4.6.2}$$

El símbolo$\int \ldots d t$ significa la 'integral, con respecto a t, de...”, y se piensa como la d inversa del símbolo$\frac{d}{d t}$... Equivalentemente podemos escribir el diferencial$d v(t)=a(t) d t$, dt llamado integrando, y luego la ecuación\ ref {4.6.2} puede escribirse como

$$v(t)+C=\int d v(t) \nonumber$$

que interpretamos diciendo que la integral del diferencial de función es igual a la función más una constante.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Non-constant Acceleration

Supongamos que un objeto en el tiempo t = 0 tiene velocidad$v_{0}$ y aceleración iniciales distintas de cero$a(t)=b t^{2}$, donde$b$ es una constante. Entonces

$$d v(t)=b t^{2} d t=d\left(b t^{3} / 3\right). \nonumber$$

La velocidad es entonces

$$v(t)+C=\int d\left(b t^{3} / 3\right)=b t^{3} / 3.\nonumber$$

En$t = 0$, tenemos eso$v_{0}+C=0$. Por lo tanto$C=-v_{0}$ y la velocidad en función del tiempo es entonces

$$v(t)=v_{0}+\left(b t^{3} / 3\right).\nonumber$$

Área como la Integral Indefinida de Aceleración

Considere la gráfica de una función de aceleración de valor positivo$a(t)$ vs. t para el intervalo$t_{1} \leq t \leq t_{2}$, que se muestra en la Figura$\PageIndex{1a}$. Denote el área debajo de la gráfica de$a(t)$ sobre el intervalo$t_{1} \leq t \leq t_{2}$ por$A_{t_{1}}^{t_{2}}$.

Figura$\PageIndex{1}$: (a; izquierda) Área bajo la gráfica de aceleración en un intervalo$t_{1} \leq t \leq t_{2}$. (b; derecha) Valor intermedio Teorema. Las regiones sombreadas por encima y por debajo de la curva tienen áreas iguales. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

El Teorema del Valor Intermedio establece que hay al menos una sola vez$t_{c}$ tal que el área$A_{t_{1}}^{t_{2}}$ es igual a

$$A_{t_{1}}^{t_{2}}=a\left(t_{c}\right)\left(t_{2}-t_{1}\right) \nonumber$$

En la Figura$\PageIndex{1b}$, las regiones sombreadas por encima y por debajo de la curva tienen áreas iguales, y por lo tanto el área$A_{t_{1}}^{t_{2}}$ debajo de la curva es igual al área del rectángulo dada por$a\left(t_{c}\right)\left(t_{2}-t_{1}\right)$

Figura$\PageIndex{2}$: La función de área es aditiva. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Ahora mostraremos que la derivada de la función de área es igual a la aceleración y por lo tanto podemos escribir la función de área como una integral indefinida. De la Figura$\PageIndex{2}$, la función de área satisface la condición de que

$$A_{t_{1}}^{t}+A_{t}^{t+\Delta t}=A_{t_{1}}^{t+\Delta t} \nonumber$$

Que el pequeño incremento de área sea denotado por$\Delta A_{t_{1}}^{t}=A_{t_{1}}^{t+\Delta t}-A_{t_{1}}^{t}=A_{t}^{t+\Delta t}$. Por el Teorema del Valor Intermedio $$\Delta A_{t_{1}}^{t}=a\left(t_{c}\right) \Delta t \nonumber$$

donde$t \leq t_{c} \leq t+\Delta t$. En el límite como$\Delta t \rightarrow 0$

$$\frac{d A_{t_{1}}^{t}}{d t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta A_{t_{1}}^{t}}{\Delta t}=\lim _{t_{c} \rightarrow t} a\left(t_{c}\right)=a(t) \nonumber$$

con la condición inicial de que cuando$t=t_{1}$, el área$A_{t_{1}}^{t_{1}}=0$ es cero. Debido a que v (t) es también una integral de a (t), tenemos que

$$A_{t_{1}}^{t}=\int a(t) d t=v(t)+C \nonumber$$

Cuando$t=t_{1}$, el área$A_{t_{1}}^{t_{1}}=0$ es cero, por lo tanto$v\left(t_{1}\right)+C=0$, y así$C=-v\left(t_{1}\right)$. Por tanto, la ecuación (4.6.8) se convierte

$$A_{t_{1}}^{t}=v(t)-v\left(t_{1}\right)=\int a(t) d t \nonumber$$

Cuando establecemos$t=t_{2}$, la ecuación (4.6.9) se convierte en

$$A_{t_{1}}^{t_{2}}=v\left(t_{2}\right)-v\left(t_{1}\right)=\int a(t) d t \nonumber$$

El área bajo la gráfica de la función de aceleración de valor positivo para el intervalo se$t_{1} \leq t \leq t_{2}$ puede encontrar integrando a (t)

Cambio de Velocidad como Integral Definitiva de Aceleración

Sea a (t) la función de aceleración en el intervalo$t_{i} \leq t \leq t_{f}$. Recordemos que la velocidad v (t) es una integral de a (t) porque$d v(t) / d t=a(t)$. Divida el intervalo de tiempo$\left[t_{i}, t_{f}\right]$ en subintervalos de tiempo$n$ iguales$\Delta t=\left(t_{f}-t_{i}\right) / n$. Para cada subintervalo$\left[t_{j}, t_{j+1}\right]$, donde el índice$j=1,2, \ldots, n, t_{1}=t_{i} \text { and } t_{n+1}=t_{f}$, deje$t_{c_{j}}$ ser un tiempo tal que$t_{j} \leq t_{c_{j}} \leq t_{j+1}$. Let

$$S_{n}=\sum_{c}^{j=n} a\left(t_{c_{j}}\right) \Delta t \nonumber$$

$S_{n}$es la suma del rectángulo azul mostrado en la Figura 4.16a para el caso n = 4. El Teorema Fundamental del Cálculo establece que en el límite como n → ∞, la suma es igual al cambio en la velocidad durante el intervalo$\left[t_{i}, t_{f}\right]$

$$\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{j=1}^{j=n} a\left(t_{c_{j}}\right) \Delta t=v\left(t_{f}\right)-v\left(t_{i}\right) \nonumber$$

Figura$\PageIndex{3}$: (a; izquierda) Gráfica de$a(t)$ vs$t$. (b; derecha) Gráfica de$a(t)$ vs$t$. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

El límite de la suma en la Ecuación (4.5.12) es un número, que denotamos con el símbolo

$$\int_{t_{i}}^{t_{f}} a(t) d t \equiv \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{j=1}^{j=n} a\left(t_{c_{j}}\right) \Delta t=v\left(t_{f}\right)-v\left(t_{i}\right) \nonumber$$

y se llama la integral definitiva de a (t) de$t_{i} to t_{f}$. A los tiempos$t_{i} and t_{f}$ se les llama los límites de integración,$t_{i}$ el límite inferior y$t_{f}$ el límite superior. La integral definida es un mapa lineal que toma una función a (t) definida a lo largo del intervalo$\left[t_{i}, t_{f}\right]$ y da un número. El mapa es lineal porque

$$\int_{0}^{t_{f}}\left(a_{1}(t)+a_{2}(t)\right) d t=\int_{0}^{t_{f}} a_{1}(t) d t+\int_{a_{2}}^{t_{f}}(t) d t \nonumber$$

Supongamos que los tiempos$t_{c_{j}}, j=1, \ldots, n$ son seleccionados de tal manera que cada uno$\boldsymbol{t}_{c_{j}}$ satisface el Teorema del Valor Intermedio

$$\Delta v_{j} \equiv v\left(t_{j+1}\right)-v\left(t_{j}\right)=\frac{d v\left(t_{c_{j}}\right)}{d t} \Delta t=a\left(t_{c_{j}}\right) \Delta t \nonumber$$

donde a (t) es la aceleración instantánea a$a\left(t_{c_{j}}\right)$, (Figura 4.16b). Entonces la suma de los cambios cj cj en la velocidad para el intervalo$\left[t_{i}, t_{f}\right]$ es

\ [\ begin {array} {l}
\ suma_ {j=1} ^ {j=n}\ Delta v_ {j} =\ izquierda (v\ izquierda (t_ {2}\ derecha) -v\ izquierda (t_ {1}\ derecha)\ derecha) +\ izquierda (v\ izquierda (t_ {3}\ derecha) -v\ izquierda (t_ {2}\ derecha)\ derecha) +\ cdots+\ izquierda (v\ izquierda (t_ {n+1}\ derecha) -v\ izquierda (t_ {n}\ derecha)\ derecha) =v\ izquierda (t_ {n+1}\ derecha) -v\ izquierda (t_ {1}\ derecha) =v\ izquierda (t_ {f}\ derecha) -v\ izquierda (t_ {i}\ derecha)
\ end {array}\ nonumber\]

donde$v\left(t_{f}\right)=v\left(t_{n+1}\right) \text { and } v\left(t_{i}\right)=v\left(t_{1}\right)$ Sustituir la ecuación (4.5.15) en la ecuación (4.5.16) produce el resultado exacto de que el cambio en el componente x de la velocidad es dado por esta suma finita.

$$v\left(t_{f}\right)-v\left(t_{i}\right)=\sum_{j=1}^{j=n} \Delta v_{j}=\sum_{j=1}^{j=n} a\left(t_{c_{j}}\right) \Delta t \nonumber$$

No conocemos específicamente los valores intermedios$a\left(t_{c_{j}}\right)$ y por lo tanto la Ecuación (4.5.17) no es útil como herramienta de cálculo. El enunciado del Teorema Fundamental del Cálculo es que el límite como n → ∞ de la suma en la Ecuación (4.5.12) es independiente de la elección del conjunto de$t_{c_{j}}$. Por lo tanto, el resultado exacto en la Ecuación (4.5.17) es el límite de la suma.

Así podemos evaluar la integral definida si conocemos alguna integral indefinida de la integral integrada$a(t) d t=d v(t)$,$\left[t_{i}, t_{f}\right]:$

$$A_{t_{i}}^{t_{f}}=\int_{t_{i}}^{t_{f}} a(t) d t \nonumber$$

En la Figura$\PageIndex{3b}$, las áreas rojas son una sobreestimación y las áreas azules son una subestimación. Como$N → ∞$, la suma de las áreas rojas y la suma de las áreas azules ambas se acercan a cero. Si hay intervalos en los que a (t) tiene valores negativos, entonces la suma es una suma de áreas con signo, área positiva por encima del eje t y área negativa por debajo del eje t.

Podemos determinar tanto el cambio de velocidad para el intervalo$\left[t_{i}, t_{f}\right]$ de tiempo como el área bajo la gráfica de a (t) vs. t para$\left[t_{i}, t_{f}\right]$ mediante técnicas de integración en lugar de argumentos limitantes. Podemos convertir el mapa lineal en una función del tiempo, en lugar de simplemente dar un número, configurando$t_{f}=t$. En ese caso, la Ecuación (4.5.13) se convierte

$$v(t)-v\left(t_{i}\right)=\int_{t^{\prime}=t_{i}}^{t^{\prime}=t} a\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime} \nonumber$$

Debido a que el límite superior de la integral$t_{f}=t$,, ahora se trata como una variable, usaremos el símbolo t′ como la variable de integración en lugar de t

El desplazamiento como la integral definitiva de la velocidad

Podemos repetir el mismo argumento para la integral definida del componente x de la velocidad v (t) vs tiempo t. Debido a que x (t) es una integral de v (t) la integral definida de v (t) para el intervalo de tiempo$\left[t_{i}, t_{f}\right]$ es el desplazamiento $$x\left(t_{f}\right)-x\left(t_{i}\right)=\int_{t^{\prime}=t_{i}}^{t^{\prime}=t_{f}} v\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime} \nonumber$$ Si establecemos$t_{f}=t$, entonces la integral definida nos da la posición en función del tiempo $$x(t)=x\left(t_{i}\right)+\int_{t^{\prime}=t_{i}}^{t^{\prime}=t} v\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime} \nonumber$$ Resumiendo los resultados de estas dos últimas secciones, para una aceleración dada a (t), podemos utilizar técnicas de integración, para determinar el cambio de velocidad y cambio de posición para un intervalo$\left[t_{i}, t\right]$, y dadas las condiciones iniciales$\left(x_{i}, v_{i}\right)$, podemos determinar la posición x (t) y el componente x de la velocidad v (t) como funciones del tiempo.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Non-constant Acceleration

Consideremos un caso en el que la aceleración,$a(t)$, no es constante en el tiempo,

$$a(t)=b_{0}+b_{1} t+b_{2} t^{2} \nonumber$$

La gráfica del componente x de la aceleración vs. tiempo se muestra en la Figura$\PageIndex{4}$.

Figura$\PageIndex{4}$: Gráfico de aceleración no constante vs. tiempo. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Denote la velocidad inicial a t = 0 por$v_{0}$. Entonces, el cambio en el componente x de la velocidad en función del tiempo se puede encontrar por integración:

$$v(t)-v_{0}=\int_{t^{\prime}=0}^{t^{\prime}=t} a\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}=\int_{t^{\prime}=0}^{t^{\prime}=t}\left(b_{0}+b_{1} t^{\prime}+b_{2} t^{\prime 2}\right) d t^{\prime}=b_{0} t+\frac{b_{1} t^{2}}{2}+\frac{b_{2} t^{3}}{3} \nonumber$$

El componente x de la velocidad como una función en el tiempo es entonces

$$v(t)=v_{0}+b_{0} t+\frac{b_{1} t^{2}}{2}+\frac{b_{2} t^{3}}{3} \nonumber$$ Denote la posición inicial en t = 0 por$x_{0}$. El desplazamiento en función del tiempo es $$x(t)-x_{0}=\int_{t^{\prime}=0}^{t^{\prime}=t} v\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime} \nonumber$$

Use la Ecuación (4.5.27) para el componente x de la velocidad en la Ecuación (4.5.24) y luego integre para determinar el desplazamiento en función del tiempo:

$$x(t)-x_{0}=\int_{t^{\prime}=0}^{t^{\prime}=t} v\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime} =\int_{t^{\prime}=0}^{t^{\prime}=t}\left(v_{0}+b_{0} t^{\prime}+\frac{b_{1} t^{\prime 2}}{2}+\frac{b_{2} t^{\prime 3}}{3}\right) d t^{\prime}=v_{0} t+\frac{b_{0} t^{2}}{2}+\frac{b_{1} t^{3}}{6}+\frac{b_{2} t^{4}}{12} \nonumber$$

Finalmente la posición en función del tiempo es entonces $$x(t)=x_{0}+v_{x, 0} t+\frac{b_{0} t^{2}}{2}+\frac{b_{1} t^{3}}{6}+\frac{b_{2} t^{4}}{12} \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Bicycle and Car

Un automóvil está circulando a través de una luz verde a t = 0 ubicada en x = 0 con una velocidad inicial$v_{c, 0}=12 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}$. En su momento$t_{1}=1 \mathrm{s}$, el auto comienza a frenar hasta que llega a descansar a la hora$t_{2}$. La aceleración del automóvil en función del tiempo viene dada por la función por tramos

\ [a_ {c} (t) =\ left\ {\ begin {array} {l}
0;\ quad 0<t<t_ {1} =1\ mathrm {s}\\
b\ left (t-t_ {1}\ right); 1\ mathrm {s} <t<t_ {2}
\ end {array}\ right. \ nonumber\] donde b = − (6 m s).

1. Encuentre el componente x de la velocidad y la posición del automóvil en función del tiempo.
2. Un ciclista está circulando a una velocidad constante de$\mathcal{V}_{b, 0}$ y a t = 0 está 17 m detrás del automóvil. El ciclista llega al auto cuando el auto solo viene a descansar. Encuentra la velocidad de la bicicleta.

Solución

a) Para aplicar la Ecuación (4.5.19), trataremos cada etapa por separado. Para el intervalo de tiempo$0<t<t_{1}$, la aceleración es cero por lo que el componente x de la velocidad es constante. Para el segundo intervalo de tiempo$\mathrm{t}_{1}<t<t_{2}$, la integral definida se convierte

$$v_{c}(t)-v_{c}\left(t_{1}\right)=\int_{t^{\prime}=t_{1}}^{t^{\prime}=t} b\left(t^{\prime}-t_{1}\right) d t^{\prime} \nonumber$$ Porque$v_{c}\left(t_{1}\right)=v_{c 0}$, el componente x de la velocidad es entonces\ [v_ {c} (t) =\ left\ {\ begin {array} {l}
v_ {c 0};\ quad 0<t\ leq t_ {1}\\
v_ {c 0} +\ int_ {t^ {\ prime} =t_ {1}} ^ {t^ {\ prime} =t} b left\ (t^ {\ prime} -t_ {1}\ derecha) d t^ {\ prime}; t_ {1}\ leq t<t_ {2}
\ end { array}\ derecho. \ nonumber\] Integrar y sustituir los dos extremos de la integral definida, produce\ [v_ {c} (t) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
v_ {c 0}; & 0<t\ leq t_ {1}\\
v_ {c 0} +\ frac {1} {2} b\ left (t-t_ {1}\ right) ^ ^ 2}; t_ {1}\ leq t<t_ {2}
\ end {array}\ right. \ nonumber\]

Para utilizar la Ecuación (4.5.25), necesitamos separar la integral definida en dos integrales correspondientes a las dos etapas de movimiento, utilizando la expresión correcta para la velocidad para cada integral. La función de posición es entonces

\ [x_ {c} (t) =\ left\ {\ begin {array} {l}
x_ {c 0} +\ int_ {t=0} ^ {t^ {\ prime} t_ {1}} v_ {c 0} d t^ {\ prime};\ quad 0<t\ leq t_ {1}\\
x_ {c}\ izquierda (t_ {1}\ derecha) +\ int_ {t^ {\ prime} =t_ {1}} ^ {\ prime}\ izquierda (v_ {c 0} +\ frac {1} {2} b\ izquierda (t^ {\ prime} -t_ {1}\ derecha) ^ {2}\ derecha) d t; t_ {1}\ leq t<t_ {2}
\ end {array}\ derecho. \ nonumber\]

Tras la integración tenemos

\ [x_ {c} (t) =\ izquierda. \ left\ {\ begin {array} {ll}
x_ {c} (0) +v_ {c 0} t; & 0<t\ leq t_ {1}\\ x_ {c}\ izquierda (t_ {1}\ derecha) +\ izquierda (v_ {c 0}\ izquierda (t^ {\ prime} -t_ {1}\ derecha) +\ frac {1} {6} b\ izquierda (t^ {\ prime} -t_ {1}\ derecha) ^ {3}\ derecha.
\ end {array}\ right)\ derecha|_ {t=t_ {1}} ^ {t^ {\ prime} =t}; t_ {1}\ leq t<t_ {2}\ nonumber\]

Elegimos nuestro sistema de coordenadas de tal manera que la posición inicial del carro estaba en el origen,$x_{c 0}=0, \text { therefore } x_{c}\left(t_{1}\right)=v_{c 0} t_{1}$ así que después de sustituir en los puntos finales del intervalo de integración tenemos que

\ [x_ {c} (t) =\ izquierda\ {\ begin {array} {ll}
v_ {c 0} t; & 0<t\ leq t_ {1}\ v_ {c 0} t_ {1} +v_ {c 0}\ izquierda (t-t_ {1}\ derecha) +\ frac {1} {6} b\ izquierda (t-t_ {1}}\ derecha) ^ {3}; t_ {1}\ leq t<t_ {2}
\ end {array}\ right. \ nonumber\]

(b) Buscamos el instante en$t_{2}$ que el auto haya venido a descansar. Entonces usamos nuestra expresión para el componente x de la velocidad el intervalo$t_{1} \leq t<t_{2}$, donde establecemos$t=t_{2}$ y$v_{c}\left(t_{2}\right)=0$.

$$0=v_{c}\left(t_{2}\right)=v_{c 0}+\frac{1}{2} b\left(t_{2}-t_{1}\right)^{2} \nonumber$$

Resolviendo$t_{2}$ rendimientos

$$t_{2}=t_{1}+\sqrt{-\frac{2 v_{c 0}}{b}} \nonumber$$

donde hemos tomado la raíz cuadrada positiva. Sustituir los valores dados y luego rendimientos

$$t_{2}=1 \mathrm{s}+\sqrt{-\frac{2\left(12 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)}{\left(-6 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-3}\right)}}=3 \mathrm{s} \nonumber$$

La posición del automóvil en$t_{2}$ es dada entonces por

\ [\ begin {array} {l}
x_ {c}\ izquierda (t_ {2}\ derecha) =v_ {c 0} t_ {1} +v_ {c 0}\ izquierda (t_ {2} -t_ {1}\ derecha) +\ frac {1} {6} b\ izquierda (t_ {2} -t_ {1}\ derecha) ^ {3}\\
x_ {c}\ izquierda (t_ {2}\ derecha) =v_ {c 0} t_ {1} +v_ {c 0}\ sqrt {-2 v_ {c 0}/b} +\ frac {1} {6} b\ izquierda (-2 v_ {c 0}/b\ derecha) ^ {3/2}\\ x_ {c}\ izquierda (t_ {2}/b\ derecha) ^ {3/2}\
x_ {c}\ izquierda (t_ {2}\ _ {2 }\ derecha) =v_ {c 0} t_ {1} +\ frac {2\ sqrt {2}\ izquierda (v_ {c 0} ^ {3/2}\ derecha)} {3 (-b) ^ {1/2}}
\ end {array}\ nonumber\]

donde usamos la condición que$t_{2}-t_{1}=\sqrt{-2 v_{c 0} / b}$. Sustituir los valores dados y luego rendimientos

$$x_{c}\left(t_{2}\right)=v_{c 0} t_{1}+2 \frac{4 \sqrt{2}\left(v_{c 0}\right)^{3 / 2}}{3(-b)^{1 / 2}}=\left(12 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)(1 \mathrm{s})+\frac{4 \sqrt{2}\left(\left(12 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)^{3 / 2}\right.}{3\left(\left(6 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-3}\right)\right)^{1 / 2}}=28 \mathrm{m} \nonumber$$

b) Debido a que la bicicleta se está desplazando a una velocidad constante con una posición inicial = −17 m, la posición de la bicicleta viene dada por$x_{b}(t)=-17 \mathrm{m}+v_{b} t$. La bicicleta y el$b_{0}$ automóvil se cruzan en el tiempo$t_{2}$ = 3 s, donde$x_{b}\left(t_{2}\right)=x_{c}\left(t_{2}\right)$. Por lo tanto$-17 \mathrm{m}+v_{b}(3 \mathrm{s})=28 \mathrm{m}$. Entonces la velocidad de la bicicleta es$v_{b}=15 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}$.