9.2: Ley Universal de Gravitación y Órbita Circular de la Luna

Un ejemplo importante de movimiento circular (aproximado) es la órbita de la Luna alrededor de la Tierra. Podemos calcular aproximadamente el tiempo T que tarda la Luna en completar un círculo alrededor de la tierra (un cálculo de gran importancia para los sistemas del calendario lunar temprano, que se convirtió en la base de nuestro modelo actual). Denotar la distancia desde la luna hasta el centro de la tierra por\(R_{\mathrm{e}, \mathrm{m}}\).

Debido a que la Luna se mueve casi en órbita circular con velocidad angular\(\omega=2 \pi / T\) está acelerando hacia la Tierra. El componente radial de la aceleración (aceleración centrípeta) es

\[a_{r}=-\frac{4 \pi^{2} R_{\mathrm{e}, \mathrm{m}}}{T^{2}} \nonumber \]

Según la Segunda Ley de Newton, debe haber una fuerza centrípeta que actúe sobre la Luna dirigida hacia el centro de la Tierra que da cuenta de esta aceleración hacia adentro.

Ley Universal de Gravitación

La Ley Universal de Gravitación de Newton describe la fuerza gravitacional entre dos cuerpos 1 y 2 con masas\(m_{1}\) y\(m_{2}\) respectivamente. Esta fuerza es una fuerza radial (siempre apuntando a lo largo de la línea radial que conecta las masas) y la magnitud es proporcional al cuadrado inverso de la distancia que separa los cuerpos. Entonces la fuerza sobre el objeto 2 debida a la interacción gravitacional entre los cuerpos viene dada por,

\[\overrightarrow{\mathbf{F}}_{1,2}=-G \frac{m_{1} m_{2}}{r_{1,2}^{2}} \hat{\mathbf{r}}_{1,2} \nonumber \]

donde\(r_{1,2}\) está la distancia entre los dos cuerpos y\(\hat{\mathbf{r}}_{1,2}\) es el vector unitario ubicado en la posición del objeto 2 y apuntando desde el objeto 1 hacia el objeto 2. La Constante de Gravitación Universal es\(G=6.67 \times 10^{-11} \mathrm{N} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{kg}^{-2}\). La Figura 9.1 muestra la dirección de las fuerzas sobre los cuerpos 1 y 2 junto con el vector unitario\(\hat{\mathbf{r}}_{1,2}\).

Figura 9.1 Fuerza gravitacional de interacción entre dos cuerpos

Newton se dio cuenta de que todavía había algunas sutilezas involucradas. Primero, ¿por qué debería actuar la masa de la Tierra como si toda estuviera colocada en el centro? Newton demostró que para una esfera perfecta con distribución de masa uniforme, se puede suponer que toda la masa está ubicada en el centro. (Este cálculo es difícil y se puede encontrar en el Apéndice 9A de este capítulo.) Asumimos para el presente cálculo que la Tierra y la Luna son esferas perfectas con distribución masiva uniforme.

Segundo, ¿esta fuerza gravitacional entre la Tierra y la Luna forma un par de acción y reacción de la Tercera Ley? Cuando Newton explicó por primera vez la moción de la Luna en 1666, todavía no había formulado la Tercera Ley, lo que dio cuenta del largo retraso en la publicación de los Principia. El vínculo entre el concepto de fuerza y el concepto de un par de fuerzas acción-reacción fue la última pieza necesaria para resolver el rompecabezas del efecto de la gravedad en las órbitas planetarias. Una vez que Newton se dio cuenta de que la fuerza gravitacional entre dos cuerpos cualesquiera forma un par de acción-reacción, y satisface tanto la Ley Universal de la Gravitación como su recién formulada Tercera Ley, pudo resolver el problema físico más antiguo e importante de su tiempo, el movimiento de los planetas.

La prueba para la Ley Universal de la Gravitación se realizó a través de la observación experimental del movimiento de los planetas, lo que resultó ser un éxito rotundo. Durante casi 200 años, la Ley Universal de Newton estuvo en excelente acuerdo con la observación. Signo de una física más complicada por delante, la primera discrepancia solo ocurrió cuando se confirmó experimentalmente una ligera desviación del movimiento de Mercurio en 1882. La predicción de esta desviación fue el primer éxito de la Teoría de la Relatividad General de Einstein (formulada en 1915).

Podemos aplicar esta Ley Universal de Gravitación para calcular el periodo de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra. La masa de la Luna es\(m_{1}=7.36 \times 10^{22}\) kg y la masa de la Tierra es\(m_{2}=5.98 \times 10^{24} \mathrm{kg}\). La distancia de la Tierra a la Luna es\(R_{\mathrm{e}, \mathrm{m}}=3.82 \times 10^{8} \mathrm{m}\). Se muestra el diagrama de fuerza en la Figura 9.2.

Figura 9.2 Fuerza gravitacional de la luna

La segunda ley de movimiento de Newton para la dirección radial se convierte en

\[-G \frac{m_{1} m_{2}}{R_{\mathrm{e}, \mathrm{m}}^{2}}=-m_{1} \frac{4 \pi^{2} R_{\mathrm{e}, \mathrm{m}}}{T^{2}} \nonumber \]

Podemos resolver esta ecuación para el período de la órbita,

\[T=\sqrt{\frac{4 \pi^{2} R_{\mathrm{e}, \mathrm{m}}^{3}}{G m_{2}}} \nonumber \]

Sustituir los valores dados por el radio de la órbita, la masa de la tierra y la constante gravitacional universal. El periodo de la órbita es

\[T=\sqrt{\frac{4 \pi^{2}\left(3.82 \times 10^{8} \mathrm{m}\right)^{3}}{\left(6.67 \times 10^{-11} \mathrm{N} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{kg}^{-2}\right)\left(5.98 \times 10^{24} \mathrm{kg}\right)}}=2.35 \times 10^{6} \mathrm{s} \nonumber \]

Este periodo es dado en días por

\[T=\left(2.35 \times 10^{6} \mathrm{s}\right)\left(\frac{1 \text { day }}{8.64 \times 10^{4} \mathrm{s}}\right)=27.2 \text { days } \nonumber \]

A este periodo se le llama el mes sideral porque es el tiempo que tarda la Luna en regresar a una posición determinada con respecto a las estrellas.

El tiempo real\(T_{1}\) entre lunas llenas, denominado mes sinódico (el periodo promedio de la revolución de la Luna con respecto a la tierra y es de 29.53 días, puede oscilar entre 29.27 días y 29.83 días), es más largo que el mes sideral porque la Tierra viaja alrededor del Sol. Entonces, para la próxima luna llena, la Luna debe viajar un poco más lejos que un círculo completo alrededor de la Tierra para estar al otro lado de la Tierra desde el Sol (Figura 9.3).

Figura 9.3: Movimiento orbital entre lunas llenas

Por lo tanto, el tiempo\(T_{1}\) entre lunas llenas consecutivas es aproximadamente\(T_{1} \simeq T+\Delta T\) donde\ begin {ecuación}\ Delta T\ simeq T/12=2.3\ end {ecuación} días. Entonces\(T_{1} \simeq 29.5\) días.

Tercera Ley de Kepler y Movimiento Circular

Lo primero que notamos de la solución anterior es que el periodo no depende de la masa de la Luna. También notamos que el cuadrado del periodo es proporcional al cubo de la distancia entre la Tierra y la Luna,

\[T^{2}=\frac{4 \pi^{2} R_{\mathrm{e}, \mathrm{m}}^{3}}{G m_{2}} \nonumber \]

Este es un ejemplo de la Tercera Ley de Kepler, de la que Newton estaba al tanto. Esta confirmación fue prueba convincente para Newton de que su Ley Universal de Gravitación era la correcta descripción matemática de la ley de fuerza gravitacional, a pesar de que todavía no podía explicar qué “causó” la gravedad.