10.4: Sistema de Partículas
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Supongamos que tenemos un sistema de N partículas etiquetadas por el índice\(i=1,2,3, \cdots, N\). La fuerza sobre la\(i^{\mathrm{th}}\) partícula es
\[\overrightarrow{\mathbf{F}}_{i}=\overrightarrow{\mathbf{F}}_{i}^{\mathrm{ext}}+\sum_{j=1, j \neq i}^{j=N} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{i, j} \nonumber \]
En esta expresión\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{j, i}\) se encuentra la fuerza sobre la\(i^{\mathrm{th}}\) partícula debido a la interacción entre las\(j^{\mathrm{th}}\) partículas\(i^{\mathrm{th}}\) y. Sumamos sobre todas las j partículas con\(j \neq i\) ya que una partícula no puede ejercer una fuerza sobre sí misma (equivalentemente, podríamos definir\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{i, i}=\overrightarrow{\mathbf{0}}\)), dando la fuerza interna que actúa sobre la\(i^{\mathrm{th}}\) partícula,
\[\overrightarrow{\mathbf{F}}_{i}^{\mathrm{int}}=\sum_{j=1, j \neq i}^{j=N} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{j, i} \nonumber \]
La fuerza que actúa sobre el sistema es la suma sobre todas las i partículas de la fuerza que actúa sobre cada partícula,
\[\overrightarrow{\mathbf{F}}=\sum_{i=1}^{i=N} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{i}=\sum_{i=1}^{i=N} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{i}^{\mathrm{ext}}+\sum_{i=1}^{i=N} \sum_{j=1, j \neq i}^{j=N} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{j, i}=\overrightarrow{\mathbf{F}}^{\mathrm{ext}} \nonumber \]
Obsérvese que la suma doble se desvanece,
\[\sum_{i=1}^{i=N} \sum_{j=1, j \neq i}^{j=N} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{j, i}=\overrightarrow{\mathbf{0}} \nonumber \]
porque todas las fuerzas internas se cancelan en pares,
\[\overrightarrow{\mathbf{F}}_{j, i}+\overrightarrow{\mathbf{F}}_{i, j}=\overrightarrow{\mathbf{0}} \nonumber \]
La fuerza sobre la\(i^{\mathrm{th}}\) partícula es igual a la tasa de cambio en el momento de la\(i^{\mathrm{th}}\) partícula,
\[\overrightarrow{\mathbf{F}}_{i}=\frac{d \overrightarrow{\mathbf{p}}_{i}}{d t} \nonumber \]
Cuando ahora puede sustituir la Ecuación (10.4.6) en la Ecuación (10.4.3) y determinar que la fuerza externa es igual a la suma sobre todas las partículas del cambio de momento de cada partícula,
\[\overrightarrow{\mathbf{F}}^{\mathrm{ext}}=\sum_{i=1}^{i=N} \frac{d \overrightarrow{\mathbf{p}}_{i}}{d t} \nonumber \]
El impulso del sistema viene dado por la suma
\[\overrightarrow{\mathbf{p}}_{\mathrm{sys}}=\sum_{i=1}^{i=N} \overrightarrow{\mathbf{p}}_{i} \nonumber \]
momenta agregar como vectores. Concluimos que la fuerza externa hace que el impulso del sistema cambie, y así reformulamos y generalizamos la Segunda Ley de Newton para un sistema de objetos como
\[\overrightarrow{\mathbf{F}}^{\mathrm{ext}}=\frac{d \overrightarrow{\mathbf{p}}_{\mathrm{sys}}}{d t} \nonumber \]
En términos de impulso, esto se convierte en la declaración
\[\Delta \overrightarrow{\mathbf{p}}_{\mathrm{sys}}=\int_{t_{0}}^{t_{f}} \overrightarrow{\mathbf{F}}^{\mathrm{ext}} d t \equiv \overrightarrow{\mathbf{I}} \nonumber \]