19.1: Introducción
- Page ID
- 125287
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)La situación, en resumen, es que la física newtoniana es incapaz de predecir la conservación del momento angular, pero aún no se ha encontrado experimentalmente ningún sistema aislado para el que no se conserve el momento angular. Concluimos que la conservación del momento angular es una ley física independiente, y hasta que no se observe una contradicción, nuestra comprensión física debe guiarse por ella
Dan Kleppner
Al considerar un sistema de objetos, hemos demostrado que la fuerza externa, actuando en el centro de masa del sistema, es igual a la derivada temporal del momento total del sistema,
\[\overrightarrow{\mathbf{F}}^{\mathrm{ext}}=\frac{d \overrightarrow{\mathbf{p}}_{\mathrm{sys}}}{d t} \nonumber \]
Ahora introducimos el análogo rotacional de la Ecuación (19.1.1). Primero introduciremos el concepto de momento angular para una partícula puntual de masa m con impulso lineal\(\overrightarrow{\mathbf{p}}\) alrededor de un punto\(S\), definido por la ecuación
\[\overrightarrow{\mathbf{L}}_{S}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{S} \times \overrightarrow{\mathbf{p}} \nonumber \]
donde\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{S}\) está el vector desde el punto\(S\) hasta la partícula. Mostraremos en este capítulo que el par sobre el punto que\(S\) actúa sobre la partícula es igual a la velocidad de cambio del momento angular alrededor del punto\(S\) de la partícula,
\[\vec{\tau}_{S}=\frac{d \overrightarrow{\mathbf{L}}_{S}}{d t} \nonumber \]
La ecuación (19.1.3) generaliza a cualquier cuerpo sometido a rotación.
Nos ocuparemos primero del caso especial de cuerpo rígido sometido a rotación de eje fijo alrededor del eje z con velocidad angular\(\overrightarrow{\boldsymbol{\omega}}=\omega_{z} \hat{\mathbf{k}}\) Dividimos el cuerpo rígido en N elementos etiquetados por el índice\(i, i=1,2, \ldots N\), teniendo el\(i^{t h}\) elemento masa\(m_{i}\) i y vector de posición\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{S, i}\). El cuerpo rígido tiene un momento de inercia\(I_{S}\) alrededor de algún punto\(S\) del eje fijo, (a menudo tomado como el eje z, pero no siempre) el cual gira con velocidad angular\(\overrightarrow{\boldsymbol{\omega}}\) alrededor de este eje. El momento angular es entonces la suma vectorial del momento angular individual,
\[\overrightarrow{\mathbf{L}}_{S}=\sum_{i=1}^{i=N} \overrightarrow{\mathbf{L}}_{S, i}=\sum_{i=1}^{i=N} \overrightarrow{\mathbf{r}}_{S, i} \times \overrightarrow{\mathbf{p}}_{i} \nonumber \]
Cuando el eje de rotación es el eje z, el componente z del momento angular\(L_{S, z}\), alrededor del punto\(S\) viene dado por
\[L_{S, z}=I_{S} \omega_{z} \nonumber \]
Mostraremos que el componente z del par alrededor del punto\(S, \tau_{S, z}\) es entonces la derivada de tiempo del componente z del momento angular alrededor del punto S,
\[\tau_{S, z}=\frac{d L_{S, z}}{d t}=I_{S} \frac{d \omega_{z}}{d t}=I_{S} \alpha_{z} \nonumber \]