19.4: Conservación del Momentum Angular alrededor de un Punto

Hasta el momento hemos introducido dos principios de conservación, demostrando que la energía es constante para los sistemas cerrados (no hay cambios en la energía en los alrededores) y el impulso lineal es un sistema aislado constante. El cambio en la energía mecánica de un sistema cerrado es

\[W_{n c}=\Delta E_{m}=\Delta K+\Delta U, \quad(\text { closed system }) \nonumber \]

Si el trabajo no conservador realizado en el sistema es cero, entonces la energía mecánica es constante,

\[0=W_{\mathrm{nc}}=\Delta E_{\mathrm{mechanical}}=\Delta K+\Delta U, \quad(\text { closed system }) \nonumber \]

La conservación del impulso lineal surge de la Segunda Ley de Newton aplicada a los sistemas,

\[\overrightarrow{\mathbf{F}}^{\mathrm{ext}}=\sum_{i=1}^{N} \frac{d}{d t} \overrightarrow{\mathbf{p}}_{i}=\frac{d}{d t} \overrightarrow{\mathbf{p}}_{\mathrm{sys}} \nonumber \]

Así, si la fuerza externa en cualquier dirección es cero, entonces el componente del impulso del sistema en esa dirección es una constante. Por ejemplo, si no hay fuerzas externas en las direcciones x e y entonces

\ [\ begin {array} {l}
\ overrightarrow {\ mathbf {0}} =\ left (\ overrightarrow {\ mathbf {F}} ^ {\ mathrm {ext}}\ derecha) _ {x} =\ frac {d} {d} {d t}\ izquierda (\ overrightarrow {\ mathbf {p}} _ {\ mathrm {sys}} derecha) _ {x}\
\\ overrightarrow {\ mathbf {0}} =\ left (\ overrightarrow {\ mathbf {F}} ^ {\ mathrm {ext}}\ derecha) _ {y} =\ frac {d} {d t} \ left (\ overrightarrow {\ mathbf {p}} _ {\ mathrm {sys}}\ derecha) _ {y}
\ end {array}\ nonumber\]

Ahora podemos usar nuestra relación entre el par alrededor de un punto\(S\) y el cambio del momento angular sobre\(S\), Ecuación (19.3.9), para introducir una nueva ley de conservación. Supongamos que podemos encontrar un punto\(S\) tal que el par alrededor del punto\(S\) sea cero,

\[\overrightarrow{\mathbf{0}}=\vec{\tau}_{S}=\frac{d \overrightarrow{\mathbf{L}}_{S}}{d t} \nonumber \]

entonces el momento angular alrededor del punto\(S\) es un vector constante, y así el cambio en el momento angular es cero,

\[\Delta \overrightarrow{\mathbf{L}}_{s} \equiv \overrightarrow{\mathbf{L}}_{S, f}-\overrightarrow{\mathbf{L}}_{S, i}=\overrightarrow{\mathbf{0}} \nonumber \]

Así, cuando el par alrededor de un punto\(S\) es cero, el momento angular final aproximadamente\(S\) es igual al momento angular inicial,

\[\overrightarrow{\mathbf{L}}_{S, f}=\overrightarrow{\mathbf{L}}_{S, i} \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Meteor Flyby of Earth

Un meteoro de masa m se acerca a la Tierra como se muestra en la figura. El radio de la Tierra es\(R_{E}\). La masa de la Tierra es\(M_{E}\). Supongamos que el meteoro comenzó muy lejos de la Tierra con velocidad\(v_{i}\) y a una distancia perpendicular h del eje de simetría de la órbita. En algún momento posterior el meteoro apenas roza a la Tierra (Figura 19.9). Puede ignorar todas las demás fuerzas gravitacionales excepto debido a la Tierra. Encuentra la distancia h. Pista: ¿Qué cantidades son constantes para esta órbita?

Figura 19.9 Meteoro sobrevolador de la tierra

Solución

En este problema tanto la energía como el momento angular alrededor del centro de la Tierra son constantes (ver abajo para justificación).

La masa del meteoro es tan pequeña que la masa de la Tierra que asumiremos que el movimiento de la tierra no se ve afectado por el meteoro. También tendremos que descuidar cualquier resistencia del aire cuando el meteoro se acerque a la Tierra. Elija el centro de la Tierra, (punto\(S\)) para calcular el par y el momento angular. La fuerza en el meteoro es

\[\overrightarrow{\mathbf{F}}_{E, m}^{G}=-\frac{G m M_{E}}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \nonumber \]

El vector desde el centro de la Tierra hasta el meteoro es\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{S}=r \hat{r}\). El par sobre\(S\) es cero porque dos vectores son antiparalelos

\[\vec{\tau}_{S}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{S} \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{E, m}^{G}=r \hat{\mathbf{r}} \times-\frac{G m M_{E}}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}}=\overrightarrow{\mathbf{0}} \nonumber \]

Por lo tanto, el momento angular alrededor del centro de la Tierra es una constante.

El momento angular inicial es

\[\overrightarrow{\mathbf{L}}_{S, i}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{S, i} \times m \overrightarrow{\mathbf{v}}_{i}=\left(x_{i} \hat{\mathbf{i}}+h \hat{\mathbf{j}}\right) \times m v \hat{\mathbf{i}}=-h m v \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Cuando el meteoro simplemente roza a la Tierra, el momento angular es

\[\overrightarrow{\mathbf{L}}_{S, E}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{S, E} \times m \overrightarrow{\mathbf{v}}_{p}=R_{E} \hat{\mathbf{i}} \times m v_{p}(-\hat{\mathbf{j}})=-R_{E} m v_{p} \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

donde hemos utilizado\(v_{p}\) para la velocidad del meteoro en su aproximación más cercana a la Tierra. La constancia del momento angular requiere que

\[m v_{i} h=m v_{p} R_{E} \nonumber \]

Para resolver por h, necesitamos encontrar\(v_{p}\). Debido a que estamos descuidando todas las fuerzas en el meteoro que no sean la gravedad de la Tierra, la energía mecánica es constante, y

\[\frac{1}{2} m v_{i}^{2}=\frac{1}{2} m v_{p}^{2}-\frac{G m M_{E}}{R_{E}} \nonumber \]

donde hemos llevado el meteoro para tener velocidad\(v_{i}\) a una distancia “muy lejos de la Tierra” para significar que descuidamos cualquier energía potencial gravitacional en el sistema Meteoro-Tierra, cuando\(r \rightarrow \infty, U(r)=-G m M_{E} / r \rightarrow 0\). A partir de la condición de momento angular,\(v_{p}=v_{i} h / R_{E}\) y por lo tanto la condición de energía se puede reescribir como

\[v_{i}^{2}=v_{i}^{2}\left(\frac{h}{R_{E}}\right)^{2}-\frac{2 G M_{E}}{R_{E}} \nonumber \]

que resolvemos para el parámetro de impacto h

\[h=\sqrt{R_{E}^{2}+\frac{2 G M_{E} R_{E}}{v_{i}^{2}}} \nonumber \]