22.3: ¿Por qué sucede un giroscopio?

¿Por qué un giroscopio precesa? Ahora entendemos que el par está provocando que el momento angular de giro cambie pero el movimiento sigue pareciendo misterioso. Trataremos de entender por qué el momento angular cambia de dirección examinando primero el papel de la fuerza y el impulso en una sola partícula giratoria y luego generalizarlo a un disco giratorio.

Desviación de una Partícula por un Pequeño Impulso

Figura 22.9 (a) Desviación de una partícula por un pequeño impulso, (b) cambio en el momento angular alrededor del origen

Comenzamos considerando primero cómo una partícula con impulso\(\overrightarrow{\mathbf{p}}_{1}\) sufre una deflexión debido a un pequeño impulso (Figura 22.9a). Si el impulso\(|\overrightarrow{\mathbf{I}}|<\left\langle\overrightarrow{\mathbf{p}}_{1}\right|\), el efecto primario es rotar el momento\(\overrightarrow{\mathbf{p}}_{1}\) alrededor del eje x en un pequeño ángulo θ, con\(\overrightarrow{\mathbf{p}}_{2}=\overrightarrow{\mathbf{p}}_{1}+\Delta \overrightarrow{\mathbf{p}}\). La aplicación de\(\overrightarrow{\mathbf{I}}\) provoca un cambio en el momento angular\(\overrightarrow{\mathbf{L}}_{O, 1}\) alrededor del origen\(S\), de acuerdo con la ecuación de par,\(\Delta \overrightarrow{\mathbf{L}}_{s}=\overrightarrow{\mathfrak{\tau}}_{\text {ave }, s} \Delta t=\left(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{s} \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{\text {ave }}\right) \Delta t\). Porque\(\overrightarrow{\mathbf{I}}=\Delta \overrightarrow{\mathbf{p}}=\overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{ave}} \Delta t\) tenemos eso\(\Delta \overrightarrow{\mathbf{L}}_{s}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{s} \times \overrightarrow{\mathbf{I}}\). Como resultado,\(\Delta \overrightarrow{\mathbf{L}}_{s}\) gira alrededor del eje x en un pequeño ángulo θ, a un nuevo momento angular\(\overrightarrow{\mathbf{L}}_{s, 2}=\overrightarrow{\mathbf{L}}_{s, 1}+\Delta \overrightarrow{\mathbf{L}}_{s}\). Obsérvese que aunque\(\overrightarrow{\mathbf{L}}_{s}\) está en la dirección z,\(\Delta \overrightarrow{\mathbf{L}}_{s}\) está en la dirección y negativa (Figura 22.9b).

Efecto del Pequeño Impulso en el Objeto Atado

Figura 22.10a Pequeño impulso en el objeto sometido a movimiento circular, (b) cambio en el momento angular

Consideremos ahora un objeto que está unido a una cuerda y está rotando alrededor de un punto fijo\(S\) con impulso\(\overrightarrow{\mathbf{p}}_{1}\). Al objeto se le da un impulso\(\overline{\mathbf{I}}\) perpendicular a\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{S}\) y a\(\overrightarrow{\mathbf{p}}_{1}\). Negligencia por gravedad. Como resultado\(\Delta \overrightarrow{\mathbf{L}}_{s}\) gira alrededor del eje x un pequeño ángulo θ (Figura 22.10a). Obsérvese que aunque\(\overrightarrow{\mathbf{I}}\) está en la dirección z,\(\Delta \overrightarrow{\mathbf{L}}_{s}\) está en la dirección y negativa (Figura 22.10b). Tenga en cuenta que aunque\(\overline{\mathbf{I}}\) está en la dirección z, el plano en el que se mueve la bola también gira alrededor del eje x en el mismo ángulo (Figura 22.11).

Figura 22.11 El plano del objeto gira alrededor del eje x

Ejemplo 22.2 Efecto del Impulso Grande en el Objeto Atado

Figura 22.12 Ejemplo 22.2

¿Qué impulso, se le\(\overline{\mathbf{I}}\) debe dar a la pelota para que gire su órbita 90 grados como se muestra sin cambiar su velocidad (Figura 21.12)?

Solución: h. El impulso\(\overrightarrow{\mathbf{I}}\) debe detener el impulso\(\overrightarrow{\mathbf{p}}_{1}\) y proporcionar un impulso\(\overrightarrow{\mathbf{p}}_{2}\) de igual magnitud a lo largo de la dirección z tal que\(\overrightarrow{\mathbf{I}}=\Delta \overrightarrow{\mathbf{p}}\).

Figura 22.13 Impulso y par sobre S

El impulso angular sobre\(S\) debe ser igual al cambio en el momento angular alrededor de S

\[\vec{\tau}_{S} \Delta t=\vec{r}_{S} \times \vec{I}=\left(\vec{r}_{S} \times \Delta \vec{p}\right)=\Delta \vec{L}_{S} \nonumber \]

El cambio en el momento angular,\(\Delta \overrightarrow{\mathbf{L}}_{s}\) debido al par alrededor\(S\), cancela el componente z\(\overrightarrow{\mathbf{L}}_{s}\) y agrega un componente de la misma magnitud en la dirección y negativa (Figura 22.13).

Efecto de Pareja de Impulso Pequeño en Bastón

Figura 22.14 (a) y (b)

Ahora considere dos masas iguales en los extremos de una varilla sin masa, que gira alrededor de su centro. Aplicamos una pareja impulsiva para asegurar que no haya movimiento del centro de masa. Nuevamente note que el par de impulsos se aplica en la dirección z (Figura 22.14a). El par resultante\(S\) se encuentra a lo largo de la dirección y negativa y el plano de rotación se inclina alrededor del eje x (Figura 22.14b).

Efecto de Pareja de Impulso Pequeño en Eje de Bastón Sin Masas

Figura 22.15 Aplicar par de impulsos a (a) objetos y (b) eje

En lugar de aplicar el par de impulsos\(\overrightarrow{\mathbf{I}}_{a}\) a las masas (Figura 21.15a), se podría aplicar el mismo par de impulsos\(\overrightarrow{\mathbf{I}}_{b}=\overrightarrow{\mathbf{I}}_{a}\) al eje vertical sin masa que está conectado a la porra (Figura 22.15b) para lograr el mismo resultado.

Figura 22.16 La torsión del eje hace que el eje y el plano giren alrededor del eje x

Torcer el eje alrededor del eje y hace que el eje y el plano en el que se mueve la porra roten alrededor del eje x.

Efecto de una Pareja de Impulsos Pequeños en un Disco Giratorio

Figura 22.17 El par de impulsos hace que un disco gire alrededor del eje x.

Ahora consideremos un disco giratorio. El plano de un disco giratorio y su eje se comportan igual que el plano del bastón giratorio y su eje cuando se intenta torcer el eje alrededor del eje y. El plano del disco gira alrededor del eje x (Figura 22.17). Este resultado inesperado se debe al gran momento angular preexistente sobre S,\(\overrightarrow{\mathbf{L}}_{1}\) debido al disco giratorio. No importa a dónde a lo largo del eje se aplique el par de impulsos, siempre y cuando se cree el mismo par alrededor\(S\).

Efecto de un Par de Fuerza en un Disco Giratorio

Figura 22.18 Una serie de pequeños pares de impulsos hace que la punta del eje ejecute un movimiento circular alrededor del eje x

Una serie de pequeños pares de impulsos, o equivalentemente un par de fuerza continua (con fuerza\(\overrightarrow{\mathbf{F}}\) hace que la punta del eje ejecute un movimiento circular alrededor del eje x (Figura 22.18). La magnitud del momento angular sobre\(S\) los cambios de acuerdo a\(\left|d \overrightarrow{\mathbf{L}}_{s}\right|=\left|\overrightarrow{\mathbf{L}}_{s}\right| \Omega d t=I \omega \Omega d t\). Recordemos que el par y el momento angular cambiante alrededor\(S\) están relacionados por\(\overrightarrow{\boldsymbol{\tau}}_{S}=d \overrightarrow{\mathbf{L}}_{S} / d t\). Por lo tanto,\(\left|\vec{\tau}_{s}\right|=\left|\overrightarrow{\mathbf{L}}_{s}\right| \Omega=I \omega \Omega\) La tasa de precesión del eje es la relación de la magnitud del par al momento angular\(\Omega=\left|\vec{\tau}_{s}\right| /\left|\overrightarrow{\mathbf{L}}_{s}\right|=\left|\vec{\tau}_{s}\right| / I \omega\).

Figura 22.19 Giroscopio de precesión con objeto colgante

Así podemos explicar el movimiento de un giroscopio de precesión en el que el par alrededor del centro de masa es proporcionado por la fuerza de gravedad sobre el objeto colgante (Figura 22.19).

Efecto de un pequeño par de impulsos en un disco no giratorio

Figura 22.20 El par de impulsos en el disco no giratorio hace que el eje gire alrededor del eje y negativo.

Si el disco no está rotando para empezar, también\(\Delta \overrightarrow{\mathbf{L}}_{s}\) es el final\(\overrightarrow{\mathbf{L}}_{S}\). El eje se mueve en la dirección en la que es empujado (Figura 22.20).